Model MA

Model MA, model ze średnią ruchomą (ang. moving average model, MA model) – parametryczny model szeregu czasowego (pewna realizacja procesu losowego), często stosowany w analizie szeregów czasowych z jedną zmienną. Notacja M A ( q ) {\displaystyle MA(q)} odnosi się do modelu M A {\displaystyle MA} rzędu q : {\displaystyle q{:}} X t = μ + ε t + θ 1 ε t − 1 + … + θ q ε t − q {\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\ldots +\theta _{q}\varepsilon _{t-q}} co można zapisać też: X t = μ + ε t + ∑ i = 1 q θ i ε t − i , {\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i},} gdzie: μ {\displaystyle \mu } – średnia szeregu czasowego, czyli wartość oczekiwana X t {\displaystyle X_{t}} (często przyjmuje się, że równa jest zero), θ 1 , … , θ q {\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{q}} – parametry modelu, ε t , ε t − 1 , … {\displaystyle \varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1},\dots } – wyrażenia odpowiadające błędowi szumu białego. q {\displaystyle q} – rząd modelu MA. Pojęciowo model MA jest regresją liniową bieżącej wartości szeregów w odniesieniu do poprzednich (niezaobserwowanych) czynników błędu, związanych z białym szumem, lub przypadkowych zaburzeń. Zakłada się, że takie przypadkowe zaburzenia w każdym z punktów, pochodzą z tego samego rozkładu, zwykle rozkładu normalnego z umiejscowieniem w zerze i stałą skalą. Charakterystyczna dla tego modelu jest propagacja losowych zaburzeń do przyszłych wartości szeregów czasowych. Dopasowywanie estymat w tym modelu zachodzi w znacznie bardziej skomplikowany sposób niż w modelach AR, czyli modelach autoregresyjnych, ponieważ wyrażenia związane z błędem są nieobserwowalne. Oznacza to, że muszą być stosowane nieliniowe, iteracyjne procedury dopasowania zamiast liniowych procedur najmniejszych kwadratów. Interpretacja modeli MA jest mniej oczywista niż w przypadku modeli AR. Niekiedy funkcja autokorelacji i funkcja częściowej autokorelacji sugeruje, że model MA byłby bardziej odpowiedni, a czasami zarówno wyrażenie odpowiadające modelowi AR, jak i modelowi MA powinno być użyte w tym samym modelu. Jednak wyrażenia związane z błędem po dopasowaniu modelu powinny być niezależne i powinny spełniać standardowe założenia dla procesów z jedną zmienną: losowe wykresy z ustalonego rozkładu z rozkładem posiadającym ustaloną lokalizację i z dystrybucją posiadającą stałą zmienność. Model MA jest zasadniczo filtrem o skończonej odpowiedzi impulsowej, na który nałożono pewną dodatkową interpretację. Ponadto model ten i model AR są dualne (względem siebie) – każdy proces opisany modelem AR o skończonym rzędzie można opisać modelem MA o nieskończonym rzędzie (i odwrotnie). Inne rodzaje modeli wykorzystywanych w identyfikacji: model AR, model ARX, model ARMAX, model ARMA, model ARIMA, model MAX.