Model ARX
Model ARX (ang. AutoRegressive with eXogenous input – model autoregresywny z zewnętrznym wejściem) – dyskretny model wejściowo-wyjściowy dla procesów stochastycznych. Model ten jest wyrażony wzorem: y ( i ) = z − k B ( z − 1 ) A ( z − 1 ) u ( i ) + 1 A ( z − 1 ) e ( i ) . {\displaystyle y(i)=z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}u(i)+{\frac {1}{A(z^{-1})}}e(i).} Znaczenie poszczególnych symboli użytych w powyższym wzorze jest następujące y ( i ) {\displaystyle y(i)} , u ( i ) {\displaystyle u(i)} oraz e ( i ) {\displaystyle e(i)} – dyskretne ciągi wartości, a zatem ciągi wartości równo odległych w czasie (na przykład 0; 0,5; 1; 0; −0,5; ... itd.), y ( i ) {\displaystyle y(i)} – ciąg wartości sygnału wyjściowego – w skrócie ciąg wyjściowy lub wyjście, u ( i ) {\displaystyle u(i)} – ciąg wartości sygnału wejściowego – w skrócie ciąg wejściowy, wejście albo pobudzenie, z − k {\displaystyle z^{-k}} – opóźnienie (przesunięcie wstecz) sygnału o k {\displaystyle k} wartości, tak że z − k u ( i ) = u ( i − k ) ; {\displaystyle z^{-k}u(i)=u(i-k);} parametr k {\displaystyle k} jest zwany (dyskretnym) czasem opóźnienia i przybiera wartości całkowite większe lub równe 1, A ( z − 1 ) {\displaystyle A(z^{-1})} i B ( z − 1 ) {\displaystyle B(z^{-1})} – wielomiany różnicowe (patrz poniżej), człon z − k B ( z − 1 ) A ( z − 1 ) u ( i ) {\displaystyle z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}u(i)} – tor sterowania, e ( i ) {\displaystyle e(i)} – ciąg wartości dyskretnego białego szumu zakłócającego obiekt (w skrócie szum biały), człon 1 A ( z − 1 ) e ( i ) {\displaystyle {\frac {1}{A(z^{-1})}}e(i)} – tor zakłócenia, modeluje wszelkie niemierzalne zakłócenia stochastyczne działające w obiekcie w postaci białego szumu przefiltrowanego (czyli przepuszczonego) przez odpowiednią transmitancję. Wielomiany różnicowe występujące w modelu ARX dane są wzorami: A ( z − 1 ) = 1 + a 1 z − 1 + a 2 z − 2 + … + a d A z − d A ; B ( z − 1 ) = b 0 + b 1 z − 1 + b 2 z − 2 + … + b d B z − d B . {\displaystyle {\begin{matrix}A(z^{-1})&=&1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\ldots +a_{dA}z^{-dA};\\B(z^{-1})&=&b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\ldots +b_{dB}z^{-dB}.\end{matrix}}} Wartości a j {\displaystyle a_{j}} i b j {\displaystyle b_{j}} zwane są parametrami wielomianów, a wartości d A {\displaystyle dA} i d B {\displaystyle dB} stopniami wielomianów. O wielomianie A ( z − 1 ) {\displaystyle A(z^{-1})} mówi się, że jest on wielomianem monicznym, co oznacza, że parametr a 0 {\displaystyle a_{0}} tego wielomanu zawsze ma wartość równą 1. Strukturę modelu ARX określa trójka parametrów: k , d A , d B . {\displaystyle k,dA,dB.} Inne rodzaje modeli wykorzystywanych w identyfikacji: Model AR, model ARMAX, model ARMA, model ARIMA, Model MA, model MAX.
Model ARX (ang. AutoRegressive with eXogenous input – model autoregresywny z zewnętrznym wejściem) – dyskretny model wejściowo-wyjściowy dla procesów stochastycznych. Model ten jest wyrażony wzorem:
Znaczenie poszczególnych symboli użytych w powyższym wzorze jest następujące
- , oraz – dyskretne ciągi wartości, a zatem ciągi wartości równo odległych w czasie (na przykład 0; 0,5; 1; 0; −0,5; ... itd.),
- – ciąg wartości sygnału wyjściowego – w skrócie ciąg wyjściowy lub wyjście,
- – ciąg wartości sygnału wejściowego – w skrócie ciąg wejściowy, wejście albo pobudzenie,
- – opóźnienie (przesunięcie wstecz) sygnału o wartości, tak że parametr jest zwany (dyskretnym) czasem opóźnienia i przybiera wartości całkowite większe lub równe 1,
- i – wielomiany różnicowe (patrz poniżej),
- człon – tor sterowania,
- – ciąg wartości dyskretnego białego szumu zakłócającego obiekt (w skrócie szum biały),
- człon – tor zakłócenia, modeluje wszelkie niemierzalne zakłócenia stochastyczne działające w obiekcie w postaci białego szumu przefiltrowanego (czyli przepuszczonego) przez odpowiednią transmitancję.
Wielomiany różnicowe występujące w modelu ARX dane są wzorami:
Wartości i zwane są parametrami wielomianów, a wartości i stopniami wielomianów. O wielomianie mówi się, że jest on wielomianem monicznym, co oznacza, że parametr tego wielomanu zawsze ma wartość równą 1.
Strukturę modelu ARX określa trójka parametrów:
Inne rodzaje modeli wykorzystywanych w identyfikacji:
- Model AR, model ARMAX, model ARMA, model ARIMA,
- Model MA, model MAX.