Model AR

Model AR, model autoregresyjny (ang. autoregressive model, AR model) – parametryczny model szeregu czasowego (pewna realizacja procesu losowego), który często używany jest do modelowania i predykcji zjawisk naturalnych różnego typu. Model autoregresyjny to jedna z formuł predykcji liniowej – formuły takie dokonują predykcji wyjścia układu na podstawie wartości wejść z przeszłości. Notacja A R ( p ) {\displaystyle AR(p)} wskazuje, że chodzi o model autoregresyjny rzędu p . {\displaystyle p.} Model A R ( p ) {\displaystyle AR(p)} definiuje się jako: X t = c + ∑ i = 1 p φ i X t − i + ε t , {\displaystyle X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t},} gdzie: φ 1 , … , φ p {\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{p}} – parametry modelu, c {\displaystyle c} – stała (dla uproszczenia często pomijana), ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} – biały szum. Model autoregresyjny może być traktowany jako wyjście filtru o nieskończonej odpowiedzi ze wszystkimi biegunami, na którego wejście podawany jest szum biały. Aby model taki był stacjonarny w szerokim sensie, na wartości parametrów tego modelu należy nałożyć pewne warunki. Na przykład proces z modelem A R ( 1 ) , {\displaystyle AR(1),} gdy | φ 1 | ⩾ 1 , {\displaystyle |\varphi _{1}|\geqslant 1,} nie jest stacjonarny. Mówiąc ogólniej, aby model A R ( p ) {\displaystyle AR(p)} był stacjonarny w szerokim sensie, pierwiastki wielomianu z p − ∑ i = 1 p φ i z p − i {\displaystyle \textstyle z^{p}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}z^{p-i}} muszą leżeć wewnątrz okręgu jednostkowego, to znaczy każdy pierwiastek z i {\displaystyle z_{i}} musi spełniać warunek | z i | < 1. {\displaystyle |z_{i}|<1.} Model MA i model AR są dualne (względem siebie) – każdy proces opisany modelem AR o skończonym rzędzie można opisać modelem MA o nieskończonym rzędzie (i odwrotnie). Inne rodzaje modeli wykorzystywanych w identyfikacji: model ARX, model ARMAX, model ARMA, model ARIMA, model MA, model MAX.