Model ARMAX

Model ARMAX (ang. AutoRegressive Moving Average with eXogenous input, model autoregresywny ze średnią ruchomą i zewnętrznym wejściem) – w automatyce, dyskretny model wejściowo-wyjściowy dla procesów stochastycznych. Model ten jest wyrażony wzorem: y ( i ) = z − k B ( z − 1 ) A ( z − 1 ) u ( i ) + C ( z − 1 ) A ( z − 1 ) e ( i ) . {\displaystyle y(i)=z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}\,u(i)+{\frac {C(z^{-1})}{A(z^{-1})}}\,e(i).} Znaczenie poszczególnych symboli w powyższym wzorze jest następujące: y ( i ) , {\displaystyle y(i),} u ( i ) {\displaystyle u(i)} oraz e ( i ) {\displaystyle e(i)} – dyskretne ciągi wartości, a zatem ciągi wartości równo odległych w czasie (na przykład 0; 0,5; 1; 0; −0.5; ... itd.), y ( i ) {\displaystyle y(i)} – ciąg wartości sygnału wyjściowego – w skrócie ciąg wyjściowy lub wyjście, u ( i ) {\displaystyle u(i)} – ciąg wartości sygnału wejściowego – w skrócie ciąg wejściowy, wejście albo pobudzenie, z − k {\displaystyle z^{-k}} – opóźnienie (przesunięcie wstecz) sygnału o k {\displaystyle k} wartości, tak że z − k u ( i ) = u ( i − k ) ; {\displaystyle z^{-k}u(i)=u(i-k);} parametr k {\displaystyle k} jest zwany (dyskretnym) czasem opóźnienia i przybiera wartości całkowite większe lub równe 1, A ( z − 1 ) , B ( z − 1 ) {\displaystyle A(z^{-1}),\ B(z^{-1})} i C ( z − 1 ) {\displaystyle C(z^{-1})} – wielomiany różnicowe (patrz poniżej), człon z − k B ( z − 1 ) A ( z − 1 ) u ( i ) {\displaystyle z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}u(i)} – tor sterowania, e ( i ) {\displaystyle e(i)} – ciąg wartości dyskretnego białego szumu zakłócającego obiekt (w skrócie szum biały), człon C ( z − 1 ) A ( z − 1 ) e ( i ) {\displaystyle {\frac {C(z^{-1})}{A(z^{-1})}}e(i)} – tor zakłócenia, modeluje wszelkie niemierzalne zakłócenia stochastyczne działające w obiekcie w postaci białego szumu przefiltrowanego (czyli przepuszczonego) przez odpowiednią transmitancję. Wielomiany różnicowe występujące w modelu ARMAX dane są wzorami: A ( z − 1 ) = 1 + a 1 z − 1 + a 2 z − 2 + … + a d A z − d A , {\displaystyle A(z^{-1})=1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\ldots +a_{dA}z^{-dA},} B ( z − 1 ) = b 0 + b 1 z − 1 + b 2 z − 2 + … + b d B z − d B , {\displaystyle B(z^{-1})=b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\ldots +b_{dB}z^{-dB},} C ( z − 1 ) = c 0 + c 1 z − 1 + c 2 z − 2 + … + c d C z − d C . {\displaystyle C(z^{-1})=c_{0}+c_{1}z^{-1}+c_{2}z^{-2}+\ldots +c_{dC}z^{-dC}.} Wartości a j , b j {\displaystyle a_{j},\,b_{j}} i c j {\displaystyle c_{j}} zwane są parametrami wielomianów, a wartości d A , d B {\displaystyle dA,\,dB} i d C {\displaystyle dC} stopniami wielomianów. O wielomianie A ( z − 1 ) {\displaystyle A(z^{-1})} mówi się, że jest on wielomianem monicznym, co oznacza, że parametr a 0 {\displaystyle a_{0}} tego wielomianu zawsze ma wartość równą 1. Strukturę modelu ARMAX określają cztery parametry: k , d A , d B , d C . {\displaystyle k,dA,dB,dC.} Inne rodzaje modeli wykorzystywanych w identyfikacji: model AR, model ARX, model ARMA, model ARIMA, model MA, model MAX.