Matriz flecha

Na álgebra linear, uma matriz flecha ou matriz ponta de flecha é uma matriz quadrada que contém zeros em todas as entradas, exceto na primeira linha, primeira coluna e diagonal principal, essas entradas podem ser qualquer número.^[1][2] Em outras palavras, a matriz tem a forma

A = [ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ∗ 0 ∗ 0 0 ∗ 0 0 ∗ 0 ∗ 0 0 0 ∗ ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}\,\!*&*&*&*&*\\\,\!*&*&0&0&0\\\,\!*&0&*&0&0\\\,\!*&0&0&*&0\\\,\!*&0&0&0&*\end{bmatrix}}.}

Qualquer permutação simétrica da matriz ponta de flecha, P T A P {\displaystyle P^{T}AP} , onde P {\displaystyle P} é uma matriz de permutação, é uma matriz ponta de flecha (permutada). Matrizes ponta de flecha reais simétricas são usadas em alguns algoritmos para encontrar autovalores e autovetores.^[3]

Seja A {\displaystyle A} uma matriz ponta de flecha real simétrica (permutada) da forma

A = [ D z z T α ] , {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cc}D&z\\z^{T}&\alpha \end{array}}\right],}

onde D = d i a g ⁡ ( d 1 , d 2 , … , d n − 1 ) {\displaystyle D=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n-1})} é a matriz diagonal de ordem n-1,

z = [ ζ 1 ζ 2 ⋯ ζ n − 1 ] T {\displaystyle z={\begin{bmatrix}\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n-1}\end{bmatrix}}^{T}} é um vetor e α {\displaystyle \alpha } é um escalar. Seja

A = V Λ V T {\displaystyle A=V\Lambda V^{T}}

a decomposição de autovalores de A {\displaystyle A} , onde Λ = d i a g ⁡ ( λ 1 , λ 2 , … , λ n ) {\displaystyle \Lambda =\mathop {\mathrm {diag} } (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})}

é uma matriz diagonal cujos elementos diagonais são os autovalores de A {\displaystyle A} , e V = [ v 1 ⋯ v n ] {\displaystyle V={\begin{bmatrix}v_{1}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}}

é uma matriz ortonormal cujas colunas são os autovetores correspondentes. O seguinte é válido:

• Se ζ i = 0 {\displaystyle \zeta _{i}=0} para algum i {\displaystyle i} , então o par ( d i , e i ) {\displaystyle (d_{i},e_{i})} , onde e i {\displaystyle e_{i}} é o i-ésimo vetor de base canônica, é um par próprio de A {\displaystyle A} . Assim, todas essas linhas e colunas podem ser excluídas, deixando a matriz com todos ζ i ≠ 0 {\displaystyle \zeta _{i}\neq 0} .
• O teorema do entrelaçamento de Cauchy implica que os autovalores classificados de A {\displaystyle A} entrelaçam os elementos classificados d i {\displaystyle d_{i}} : se d 1 ≥ d 2 ≥ ⋯ ≥ d n − 1 {\displaystyle d_{1}\geq d_{2}\geq \cdots \geq d_{n-1}} (isso pode ser alcançado por permutação simétrica de linhas e colunas sem perda de generalidade), e se os λ i {\displaystyle \lambda _{i}} s são classificados de acordo, então λ 1 ≥ d 1 ≥ λ 2 ≥ d 2 ≥ ⋯ ≥ λ n − 1 ≥ d n − 1 ≥ λ n {\displaystyle \lambda _{1}\geq d_{1}\geq \lambda _{2}\geq d_{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}\geq d_{n-1}\geq \lambda _{n}} .
• Se d i = d j {\displaystyle d_{i}=d_{j}} , para algum i ≠ j {\displaystyle i\neq j} , a desigualdade acima implica que d i {\displaystyle d_{i}} é um valor próprio de A {\displaystyle A} . O tamanho do problema pode ser reduzido pela aniquilação de ζ j {\displaystyle \zeta _{j}} com uma rotação de Givens no plano- ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} e procedendo como acima.

Matrizes pontas de flecha simétricas surgem em descrições de transições sem radiação em moléculas isoladas e osciladores vibracionalmente acoplados a um líquido de Fermi.^[4]

Uma matriz ponta de flecha simétrica é irredutível se ζ i ≠ 0 {\displaystyle \zeta _{i}\neq 0} para todo i {\displaystyle i} e d i ≠ d j {\displaystyle d_{i}\neq d_{j}} para todo i ≠ j {\displaystyle i\neq j} . Os valores próprios de uma matriz ponta de flecha real simétrica irredutível são os zeros da equação secular

f ( λ ) = α − λ − ∑ i = 1 n − 1 ζ i 2 d i − λ ≡ α − λ − z T ( D − λ I ) − 1 z = 0 {\displaystyle f(\lambda )=\alpha -\lambda -\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\zeta _{i}^{2}}{d_{i}-\lambda }}\equiv \alpha -\lambda -z^{T}(D-\lambda I)^{-1}z=0}

que pode ser, por exemplo, calculado pelo método da bisseção. Os autovetores correspondentes são iguais a

v i = x i ‖ x i ‖ 2 , x i = [ ( D − λ i I ) − 1 z − 1 ] , i = 1 , … , n . {\displaystyle v_{i}={\frac {x_{i}}{\|x_{i}\|_{2}}},\quad x_{i}={\begin{bmatrix}\left(D-\lambda _{i}I\right)^{-1}z\\-1\end{bmatrix}},\quad i=1,\ldots ,n.}

A aplicação direta da fórmula acima pode produzir autovetores que não são numericamente suficientemente ortogonais.^[1] O algoritmo progressivo estável que calcula cada autovalor e cada componente do autovetor correspondente com precisão quase total está descrito.^[2] A versão Julia do software está disponível.^[5]

Seja A {\displaystyle A} uma matriz irredutível ponta de flecha simétrica real. E se d i = 0 {\displaystyle d_{i}=0} para algum i {\displaystyle i} , a inversa é uma matriz ponta de seta simétrica real irredutível permutada:

A − 1 = [ D 1 − 1 w 1 0 0 w 1 T b w 2 T 1 / ζ i 0 w 2 D 2 − 1 0 0 1 / ζ i 0 0 ] {\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}D_{1}^{-1}&w_{1}&0&0\\w_{1}^{T}&b&w_{2}^{T}&1/\zeta _{i}\\0&w_{2}&D_{2}^{-1}&0\\0&1/\zeta _{i}&0&0\end{bmatrix}}}

onde

D 1 = d i a g ⁡ ( d 1 , d 2 , … , d i − 1 ) , D 2 = d i a g ⁡ ( d i + 1 , d i + 2 , … , d n − 1 ) , z 1 = [ ζ 1 ζ 2 ⋯ ζ i − 1 ] T , z 2 = [ ζ i + 1 ζ i + 2 ⋯ ζ n − 1 ] T , w 1 = − D 1 − 1 z 1 1 ζ i , w 2 = − D 2 − 1 z 2 1 ζ i , b = 1 ζ i 2 ( − a + z 1 T D 1 − 1 z 1 + z 2 T D 2 − 1 z 2 ) . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}D_{1}&=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{i-1}),\\D_{2}&=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{i+1},d_{i+2},\ldots ,d_{n-1}),\\z_{1}&={\begin{bmatrix}\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{i-1}\end{bmatrix}}^{T},\\z_{2}&={\begin{bmatrix}\zeta _{i+1}&\zeta _{i+2}&\cdots &\zeta _{n-1}\end{bmatrix}}^{T},\\w_{1}&=-D_{1}^{-1}z_{1}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\w_{2}&=-D_{2}^{-1}z_{2}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\b&={\frac {1}{\zeta _{i}^{2}}}\left(-a+z_{1}^{T}D_{1}^{-1}z_{1}+z_{2}^{T}D_{2}^{-1}z_{2}\right).\end{alignedat}}}

Se d i ≠ 0 {\displaystyle d_{i}\neq 0} para todo i {\displaystyle i} , a inversa é uma modificação de posto-um de uma matriz diagonal (diagonal-mais-posto-um ou DMP1):

A − 1 = [ D − 1 0 ] + ρ u u T , {\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}D^{-1}&\\&0\end{bmatrix}}+\rho uu^{T},}

onde

u = [ D − 1 z − 1 ] , ρ = 1 α − z T D − 1 z . {\displaystyle u={\begin{bmatrix}D^{-1}z\\-1\end{bmatrix}},\quad \rho ={\frac {1}{\alpha -z^{T}D^{-1}z}}.}

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