Forma differenziale

In geometria differenziale e nel calcolo differenziale a più variabili, una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili.

Su una n {\displaystyle n} -varietà differenziabile, ad esempio un aperto dello spazio euclideo R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , una forma differenziale ω {\displaystyle \omega } ha una dimensione k {\displaystyle k} minore o uguale a n {\displaystyle n} . Per questa ragione, viene anche indicata brevemente come k {\displaystyle k} -forma. Nel caso k = 0 {\displaystyle k=0} , la forma ω {\displaystyle \omega } è un'ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza ω {\displaystyle \omega } è la possibilità di effettuare l'integrale di ω {\displaystyle \omega } su un qualsiasi oggetto geometrico Γ {\displaystyle \Gamma } , di analoga dimensione k {\displaystyle k} , di una generica n {\displaystyle n} -varietà differenziabile. Il risultato di questa integrazione è indicato con

∫ Γ ω {\displaystyle \int _{\Gamma }\omega }

Pertanto, una 1-forma è integrabile su una curva, una 2-forma su una superficie, e così via.

Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell'analisi matematica, e in particolare in analisi complessa.

La nozione di forma differenziale può essere introdotta in modi diversi.

In molti contesti, per utilizzare le forme differenziali è sufficiente basarsi su una definizione simile a quella di polinomio: una forma differenziale è semplicemente una scrittura formale di un certo tipo. Si definiscono quindi operazioni come quella di somma, prodotto e integrale su un insieme opportuno.

Le forme differenziali possono però essere definite in modo più intrinseco usando l'algebra lineare ed i concetti di tensore e fibrato tangente. In questo modo le forme risultano definite in contesti più ampi: ad esempio, il loro dominio non è necessariamente un aperto di R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , ma una qualsiasi varietà differenziabile.

Sia A {\displaystyle A} un aperto di R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . Sia k {\displaystyle k} un intero con

0 ⩽ k ⩽ n . {\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n.}

Una k {\displaystyle k} -forma differenziale è una scrittura del tipo:^[1]

ω = ∑ 1 ⩽ i 1 < … < i k ⩽ n a i 1 , … , i k ( x ) d x i 1 ∧ … ∧ d x i k {\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}

dove

a i 1 , … , i k : A → R {\displaystyle a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}:A\to \mathbb {R} }

è una funzione differenziabile e:

∧ {\displaystyle \wedge }

è chiamato prodotto wedge o prodotto esterno, da non confondere con il prodotto vettoriale × {\displaystyle \times } , che viene talvolta indicato con lo stesso simbolo del prodotto wedge e chiamato anch'esso prodotto esterno, ma che non gode delle stesse proprietà. In particolare, il prodotto wedge è associativo, il prodotto vettoriale no. A volte, per brevità, i simboli ∧ {\displaystyle \wedge } sono omessi.

Una 0-forma è semplicemente una funzione differenziabile definita su A {\displaystyle A} .
Una 1-forma in R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} si scrive come

ω = a 1 ( x 1 , . . . , x n ) d x 1 + … + a n ( x 1 , . . . , x n ) d x n , {\displaystyle \omega =a_{1}(x_{1},...,x_{n})dx_{1}+\ldots +a_{n}(x_{1},...,x_{n})dx_{n},\,\!}

dove le a i {\displaystyle a_{i}} sono opportune funzioni differenziabili. Per esempio le scritture seguenti sono 1-forme definite su R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} .

ω 1 = 2 d x − 3 d y , ω 2 = e x d x , ω 3 = x y d x − y 2 d y . {\displaystyle \omega _{1}=2dx-3dy,\quad \omega _{2}=e^{x}dx,\quad \omega _{3}=xydx-y^{2}dy.}

dove nel primo esempio, i coefficienti sono funzioni costanti.
Una 2-forma in R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} si scrive come

ω = a ( x , y , z ) d x ∧ d y + b ( x , y , z ) d y ∧ d z + c ( x , y , z ) d x ∧ d z . {\displaystyle \omega =a(x,y,z)dx\wedge dy+b(x,y,z)dy\wedge dz+c(x,y,z)dx\wedge dz.}

Per esempio la scrittura seguente è una 2-forma su R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} :

ω = 2 d x ∧ d y − x z d y ∧ d z . {\displaystyle \omega =2dx\wedge dy-xzdy\wedge dz.}

In generale una n {\displaystyle n} -forma su R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} si scrive sempre usando un unico addendo

ω = a ( x 1 , . . . , x n ) d x 1 ∧ … ∧ d x n {\displaystyle \omega =a(x_{1},...,x_{n})dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}}

dove a ( x 1 , . . . , x n ) {\displaystyle a(x_{1},...,x_{n})} è una funzione differenziabile.

Una k {\displaystyle k} -forma è una sezione liscia della k {\displaystyle k} -esima algebra esterna del fibrato cotangente di una varietà differenziabile M {\displaystyle M} :

ω : M → Λ k ( T ∗ ( M ) ) . {\displaystyle \omega :M\rightarrow \Lambda ^{k}(T^{*}(M)).}

In altre parole, per ogni punto x {\displaystyle x} di M {\displaystyle M} è data una funzione multilineare antisimmetrica

ω ( x ) : T x M × ⋯ × T x M ⏟ k → R {\displaystyle \omega (x)\colon \underbrace {T_{x}M\times \cdots \times T_{x}M} _{k}\to \mathbb {R} }

dove T x M {\displaystyle T_{x}M} è lo spazio tangente a M {\displaystyle M} in x {\displaystyle x} . La funzione ω ( x ) {\displaystyle \omega (x)} varia in modo liscio (cioè è differenziabile infinite volte) al variare di x {\displaystyle x} . Equivalentemente, ω {\displaystyle \omega } è un campo tensoriale che associa ad ogni punto x {\displaystyle x} di M {\displaystyle M} un tensore antisimmetrico di tipo ( 0 , k ) {\displaystyle (0,k)} .

Ad esempio, una 1-forma è un campo tensoriale di tipo ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} , cioè una sezione del fibrato cotangente.

Se M {\displaystyle M} è un insieme aperto di R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , in ogni punto lo spazio tangente T x ( M ) {\displaystyle T_{x}(M)} è identificato con R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . La base canonica per R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} induce quindi una base per lo spazio vettoriale Λ k ( ( R n ) ∗ ) {\displaystyle \Lambda ^{k}((\mathbb {R} ^{n})^{*})} del tipo

B = { d x i 1 ∧ … ∧ d x i k   |   1 ⩽ i 1 < … < i k ⩽ n } {\displaystyle {\mathcal {B}}={\big \{}dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}\ |\ 1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n{\big \}}}

dove l'elemento d x i 1 ∧ … ∧ d x i k {\displaystyle dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}} rappresenta una particolare funzione multilineare antisimmetrica. Quindi l'elemento ω ( x ) {\displaystyle \omega (x)} è descritto univocamente come combinazione lineare di elementi di questa base

ω = ∑ 1 ⩽ i 1 < … < i k ⩽ n a i 1 , … , i k ( x ) d x i 1 ∧ … ∧ d x i k {\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}

tramite dei coefficienti

a i 1 , … , i k ( x ) {\displaystyle a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)}

che variano in modo liscio rispetto a x {\displaystyle x} . La definizione qui introdotta coincide quindi con quella formale descritta precedentemente.

Ad esempio, se k = 1 {\displaystyle k=1} allora

Λ 1 ( ( R n ) ∗ ) = ( R n ) ∗ {\displaystyle \Lambda ^{1}((\mathbb {R} ^{n})^{*})=(\mathbb {R} ^{n})^{*}}

è lo spazio duale dei funzionali lineari su R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} e B {\displaystyle {\mathcal {B}}} è la base duale d x 1 , … , d x n {\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}} della base canonica. Una 1-forma associa ad ogni punto x {\displaystyle x} un funzionale lineare.

Se M {\displaystyle M} è una varietà qualsiasi, fissata una carta intorno ad un punto x {\displaystyle x} , ogni k {\displaystyle k} -forma ω {\displaystyle \omega } è rappresentata come sopra. La rappresentazione dipende ovviamente dalla carta scelta.

Due k {\displaystyle k} -forme possono essere sommate, dando luogo ad una nuova k {\displaystyle k} -forma. Una k {\displaystyle k} -forma può inoltre essere moltiplicata per uno scalare. Con queste operazioni l'insieme delle k {\displaystyle k} -forme su un aperto A {\displaystyle A} forma uno spazio vettoriale.

Il prodotto esterno

ω ∧ η {\displaystyle \omega \wedge \eta }

di una k {\displaystyle k} -forma ω {\displaystyle \omega } e di una h {\displaystyle h} -forma η {\displaystyle \eta } è una ( k + h ) {\displaystyle (k+h)} -forma. L'operazione di prodotto è definita svolgendo il prodotto usando le usuali relazioni fra somma e prodotto presenti in un anello, quali la proprietà distributiva del prodotto con la somma e la proprietà associativa del prodotto esterno. Per definizione, il prodotto esterno non è però commutativo ma anticommutativo; vale cioè la relazione seguente:

d x i ∧ d x j = − d x j ∧ d x i ∀ i , j {\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}\,\forall i,\,j}

La proprietà anticommutativa implica che

d x i ∧ d x i = 0. {\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{i}=0.}

I coefficienti dei d x i {\displaystyle dx_{i}} però commutano fra loro e con i d x i {\displaystyle dx_{i}} . Ad esempio, se

ω = x d y − y d x , η = x d x ∧ d z {\displaystyle \omega =xdy-ydx,\quad \eta =xdx\wedge dz}

sono una 1-forma e una 2-forma su R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , il loro prodotto esterno è

ω ∧ η = ( x d y − y d x ) ∧ ( x d x ∧ d z ) = x 2 d y ∧ d x ∧ d z − x y d x ∧ d x ∧ d z = − x 2 d x ∧ d y ∧ d z . {\displaystyle \omega \wedge \eta =(xdy-ydx)\wedge (xdx\wedge dz)=x^{2}dy\wedge dx\wedge dz-xydx\wedge dx\wedge dz=-x^{2}dx\wedge dy\wedge dz.}

Esiste una versione del prodotto esterno nel caso in cui ω {\displaystyle \omega } e η {\displaystyle \eta } siano definiti come tensori. Tale definizione sfrutta il prodotto tensoriale ⊗ {\displaystyle \otimes } , ma non è ad esso equivalente. Ad esempio, nel caso in cui ω {\displaystyle \omega } e η {\displaystyle \eta } sono due 1-forme, è definita nel modo seguente

ω ∧ η = 1 2 ( ω ⊗ η − η ⊗ ω ) . {\displaystyle \omega \wedge \eta ={\frac {1}{2}}(\omega \otimes \eta -\eta \otimes \omega ).}

Nel caso generale la definizione è un po' più complicata:

ω 1 ∧ ⋯ ∧ ω k = 1 k ! ∑ σ ∈ S k ( sgn ⁡ σ ) ω σ 1 ⊗ ⋯ ⊗ ω σ k . {\displaystyle \omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{k}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}(\operatorname {sgn} \sigma )\omega _{\sigma 1}\otimes \dots \otimes \omega _{\sigma k}.}

Il prodotto wedge è associativo: per questo motivo si possono omettere le parentesi nella scrittura.

Il prodotto è distributivo rispetto alla somma (sia a destra che a sinistra):

h ∧ ( f + g ) = h ∧ f + h ∧ g . {\displaystyle h\wedge (f+g)=h\wedge f+h\wedge g.}

L'anticommutatività usata nella definizione si estende al prodotto di due forme qualsiasi di tipo k {\displaystyle k} e h {\displaystyle h} , con un segno che però dipende dal prodotto k h {\displaystyle kh} :

f ∧ g = ( − 1 ) k h g ∧ f . {\displaystyle f\wedge g=(-1)^{kh}g\wedge f.}

La derivata di una k {\displaystyle k} -forma è una ( k + 1 ) {\displaystyle (k+1)} -forma. Questa è chiamata a volte differenziale o derivata esterna. La derivata esterna d ω {\displaystyle d\omega } di una k {\displaystyle k} -forma differenziale

ω = ∑ 1 ⩽ i 1 < … < i k ⩽ n a i 1 , … , i k ( x ) d x i 1 ∧ … ∧ d x i k {\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x)dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}

è la ( k + 1 ) {\displaystyle (k+1)} -forma^[2]

d ω = ∑ i = 1 n ∑ 1 ⩽ i 1 < … < i k ⩽ n ∂ a i 1 , … , i k ∂ x i ( x ) d x i ∧ d x i 1 ∧ … ∧ d x i k . {\displaystyle d\omega =\sum _{i=1}^{n}\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{i}}}(x)dx_{i}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}.}

La derivata esterna di una 0-forma, cioè di una funzione differenziabile, coincide con il differenziale della funzione.

La derivazione esterna è un'operazione lineare. In altre parole,

d ( a ω + b μ ) = a ⋅ d ω + b ⋅ d μ {\displaystyle d(a\omega +b\mu )=a\cdot d\omega +b\cdot d\mu }

dove però a , b {\displaystyle a,b} sono scalari e non funzioni. Rispetto al prodotto esterno si comporta nel modo seguente:

d ( ω ∧ η ) = d ω ∧ η + ( − 1 ) d e g ω ( ω ∧ d η ) . {\displaystyle d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{{\rm {deg\,}}\omega }(\omega \wedge d\eta ).}

Infine, la proprietà forse più importante della derivazione è la seguente

d 2 = 0 {\displaystyle d^{2}=0}

che segue dal teorema di Schwarz.

Una forma differenziale ω {\displaystyle \omega } è chiusa se la sua derivata esterna è nulla:

d ω = 0 {\displaystyle d\omega =0}

Ad esempio, ogni forma avente coefficienti costanti è chiusa.

Una k {\displaystyle k} -forma ω {\displaystyle \omega } è invece esatta se esiste una ( k − 1 ) {\displaystyle (k-1)} -forma η {\displaystyle \eta } tale che

d η = ω . {\displaystyle d\eta =\omega .}

La forma η {\displaystyle \eta } è detta primitiva di ω {\displaystyle \omega } .

Le forme differenziali chiuse e le forme differenziali esatte sono rispettivamente nel nucleo e nell'immagine della derivata esterna.

Poiché d 2 η = 0 {\displaystyle d^{2}\eta =0} , ogni forma esatta è chiusa. D'altra parte, esistono forme chiuse che non sono esatte: l'esistenza di queste forme dipende fortemente dalla topologia dell'aperto A {\displaystyle A} di definizione. A tal proposito, il lemma di Poincaré stabilisce che se X ⊂ R n {\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}} è un sottoinsieme aperto e contraibile allora ogni p-forma differenziale chiusa e liscia definita su X {\displaystyle X} è una forma differenziale esatta per ogni intero p > 0 {\displaystyle p>0} .

Una 1-forma differenziale

ω = a 1 d x 1 + … + a n d x n , {\displaystyle \omega =a_{1}dx_{1}+\ldots +a_{n}dx_{n},}

è chiusa se e solo se vale l'uguaglianza

∂ a j ∂ x i = ∂ a i ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}}

per ogni i , j {\displaystyle i,j} .

La condizione di chiusura è di tipo locale (alcune uguaglianze devono essere verificate puntualmente), mentre quella di esattezza è di tipo globale (esistenza di una primitiva definita su tutto l'aperto A {\displaystyle A} ). La differenza fra le due condizioni dipende dalle differenze fra proprietà locali e globali dell'aperto A {\displaystyle A} , ovvero dalla sua topologia.

Se A {\displaystyle A} è semplicemente connesso, allora ogni 1-forma chiusa è esatta. Questo accade ad esempio se A {\displaystyle A} è la parte interna di un disco o di un più generale insieme convesso o stellato in R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . In questo caso le proprietà topologiche globali non sono molto differenti da quelle locali.

D'altra parte, la forma seguente

ω = y x 2 + y 2 d x − x x 2 + y 2 d y {\displaystyle \omega ={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx-{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy}

definita nell'aperto del piano

A = R 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } {\displaystyle A=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}

è chiusa ma non esatta. L'aperto A {\displaystyle A} non è semplicemente connesso: ha un "buco", ed il suo gruppo fondamentale è Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . Questa forma è nota come "vortice", per la particolare forma assunta dai vettori del campo vettoriale associato.

Le 1-forme nel piano R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} sono uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Dopo aver identificato R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} con il piano complesso C {\displaystyle \mathbb {C} } , è possibile definire una 1-forma complessa

f ( z ) d z = f ( x + i y ) d x + i f ( x + i y ) d y {\displaystyle f(z)dz=f(x+iy)dx+if(x+iy)dy}

a partire da una qualsiasi funzione

f : A → C . {\displaystyle f:A\to \mathbb {C} .}

definita su un aperto A {\displaystyle A} del piano complesso. Si tratta di un'usuale 1-forma, avente però come coefficienti delle funzioni a valori complessi invece che reali. Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se f {\displaystyle f} è una funzione olomorfa su un aperto A {\displaystyle A} del piano, allora la forma f ( z ) d z {\displaystyle f(z)dz} risulta essere chiusa. Inoltre f ( z ) d z {\displaystyle f(z)dz} è esatta con primitiva g ( z ) {\displaystyle g(z)} se e solo se g ( z ) {\displaystyle g(z)} è anch'essa olomorfa con derivata complessa g ′ ( z ) = f ( z ) {\displaystyle g'(z)=f(z)} pari a f ( z ) {\displaystyle f(z)} .

In questo contesto risulta più semplice costruire una forma chiusa ma non esatta. La forma

f ( z ) = 1 z d z {\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}dz}

definita sull'aperto

A = C ∖ { 0 } {\displaystyle A=\mathbb {C} \setminus \{0\}}

è chiusa (perché 1 / z {\displaystyle 1/z} è olomorfa) ma non esatta: la funzione 1 / z {\displaystyle 1/z} non ammette infatti una primitiva su tutto A {\displaystyle A} , ma solo in un suo qualsiasi sottoinsieme semplicemente connesso. In altre parole, il logaritmo complesso, naturale candidato come primitiva di 1 / z {\displaystyle 1/z} , può essere definito solo localmente (oppure globalmente come funzione polidroma): ciò è a sua volta riconducibile al fatto che la funzione esponenziale complessa non è iniettiva.

Valgono le uguaglianze seguenti

f ( z ) d z = x − i y x 2 + y 2 d x + y + i x x 2 + y 2 d y = {\displaystyle f(z)dz={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {y+ix}{x^{2}+y^{2}}}dy=}

= [ x x 2 + y 2 d x + y x 2 + y 2 d y ] + i [ − y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y ] {\displaystyle =\left[{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dy\right]+i\left[-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\right]}

che mostrano che l'esempio dato precedentemente di forma chiusa ma non esatta è (a meno di segno) la parte immaginaria di f ( z ) d z {\displaystyle f(z)dz} .

La proprietà più importante che caratterizza una k {\displaystyle k} -forma è il fatto che possa essere integrata su una qualsiasi sottovarietà differenziabile S {\displaystyle S} di dimensione k {\displaystyle k} dell'aperto A {\displaystyle A} su cui è definita. L'integrale di ω {\displaystyle \omega } è indicato con il simbolo

∫ S ω {\displaystyle \int _{S}\omega }

ed il risultato di questa operazione è un numero reale.

Se k = 0 {\displaystyle k=0} , la forma è una funzione, S {\displaystyle S} è un'unione di punti e l'integrale di ω {\displaystyle \omega } su S {\displaystyle S} è semplicemente la somma dei valori di f {\displaystyle f} assunti sui punti.

In generale la forma è del tipo

ω = ∑ a i 1 , … , i k ( x ) d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \omega =\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(x)\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}}

Se S {\displaystyle S} ha una parametrizzazione del tipo

S ( u ) = ( x 1 ( u ) , … , x k ( u ) ) {\displaystyle S(u)=(x_{1}(u),\dots ,x_{k}(u))}

con u {\displaystyle u} variabile in un dominio D {\displaystyle D} di R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} , l'integrale è definito come^[1]

∫ S ω = ∫ D ∑ a i 1 , … , i k ( S ( u ) ) ∂ ( x i 1 , … , x i k ) ∂ ( u 1 , … , u k ) d u 1 … d u k {\displaystyle \int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(S(u)){\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}\,du_{1}\ldots du_{k}}

dove

∂ ( x i 1 , … , x i k ) ∂ ( u 1 , … , u k ) {\displaystyle {\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}}

è il determinante dello jacobiano. Con questa definizione, il risultato dell'integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta, a meno di segno. Per ottenere un segno univoco si deve fissare un'orientazione su S {\displaystyle S} e considerare solo le parametrizzazioni che preservano l'orientazione.

Se la sottovarietà S {\displaystyle S} è orientabile ma non ha una parametrizzazione globale (ad esempio, un toro in R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ), l'integrale su S {\displaystyle S} è definito come somma di integrali su parametrizzazioni locali disgiunte (mantenenti l'orientazione) che coprono S {\displaystyle S} a meno di un insieme di misura nulla.

Valgono le proprietà seguenti. Come tutti gli integrali, l'integrale su due oggetti disgiunti è la somma degli integrali su ciascuno:

∫ S 1 ⊔ S 2 ω = ∫ S 1 ω + ∫ S 2 ω . {\displaystyle \int _{S_{1}\sqcup S_{2}}\omega =\int _{S_{1}}\omega +\int _{S_{2}}\omega .\,\!}

L'integrale è inoltre lineare (i coefficienti a , b {\displaystyle a,b} sono costanti):

∫ S ( a ω + b η ) = a ∫ S ω + b ∫ S η . {\displaystyle \int _{S}(a\omega +b\eta )=a\int _{S}\omega +b\int _{S}\eta .}

L'integrale cambia di segno se l'orientazione della varietà è modificata:^[3]

∫ − S = − ∫ S . {\displaystyle \int _{-S}=-\int _{S}.\,\!}

Il teorema di Stokes esprime una relazione fondamentale fra la derivazione esterna e l'integrazione. Se ω {\displaystyle \omega } è una ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} forma con supporto compatto su una varietà con bordo compatta M {\displaystyle M} , vale la relazione

∫ M d ω = ∫ ∂ M ω . {\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}

Il teorema di Stokes implica il fatto seguente: l'integrale di una k {\displaystyle k} -forma esatta su una varietà chiusa è nullo. In questo caso infatti il bordo non esiste e quindi il secondo termine è zero.

Una 1-forma ω {\displaystyle \omega } è integrabile su una qualsiasi sottovarietà orientata di dimensione 1, cioè una curva γ {\displaystyle \gamma } . L'integrale di ω {\displaystyle \omega } lungo γ {\displaystyle \gamma } può essere calcolato con la formula seguente:

∫ γ ω = ∫ c d ⟨ ω ( γ ( t ) ) , d γ d t ( t ) ⟩ d t {\displaystyle \int _{\gamma }\omega =\int _{c}^{d}\left\langle \omega (\gamma (t)),{\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle dt}

e non dipende dalla particolare parametrizzazione della curva (cambia di segno se la parametrizzazione cambia l'orientazione). Nel caso in cui l'aperto A {\displaystyle A} sia contenuto nel piano R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} , la forma è del tipo

ω = a ( x , y ) d x + b ( x , y ) d y {\displaystyle \omega =a(x,y)dx+b(x,y)dy}

e l'integrale si calcola nel modo seguente:

∫ γ ω = ∫ c d [ a ( x ( t ) , y ( t ) ) ⋅ x ′ ( t ) + b ( x ( t ) , y ( t ) ) ⋅ y ′ ( t ) ] ⋅ d t {\displaystyle \int _{\gamma }\omega =\int _{c}^{d}[a(x(t),y(t))\cdot x^{\prime }(t)+b(x(t),y(t))\cdot y^{\prime }(t)]\cdot dt}

L'integrale di linea è uno strumento strettamente collegato alle nozioni di forma chiusa e esatta. Valgono infatti i fatti seguenti.

• Se ω {\displaystyle \omega } è esatta, l'integrale di ω {\displaystyle \omega } su una curva chiusa qualsiasi è nullo. Questo discende dal teorema di Stokes.
• Conseguentemente, se ω {\displaystyle \omega } è esatta, l'integrale su una curva non chiusa dipende solo dai suoi estremi.

Ad esempio, la forma d z / z {\displaystyle dz/z} su C ∗ {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}} non è esatta, poiché

∫ γ d z z = 2 π i {\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}=2\pi i}

per ogni curva γ {\displaystyle \gamma } avente indice di avvolgimento 1 con l'origine.

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203
• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

• Derivata
• Integrale
• Curva (matematica)
• Integrale di linea
• Algebra di Grassmann
• Varietà (geometria)
• 1-forma
• Forma di volume

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «forma»

• (EN) Eric W. Weisstein, Differential k-Form, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Forma differenziale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 34083 · LCCN (EN) sh85037916 · BNF (FR) cb122737106 (data) · J9U (EN, HE) 987007552908705171 · NDL (EN, JA) 00560655