Base duale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base duale è una particolare base costruita a partire da una base data. Il concetto di base duale è utile nello studio dello spazio duale e dei tensori.

Dato uno spazio vettoriale V {\displaystyle V} su campo K {\displaystyle K} di dimensione finita n {\displaystyle n} , lo spazio duale V ∗ {\displaystyle V^{*}} è l'insieme di tutte le applicazioni lineari da V {\displaystyle V} in K {\displaystyle K} .

Fissata per V {\displaystyle V} una base ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle ({\textbf {e}}_{1},\ldots ,{\textbf {e}}_{n})} , la base duale ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle ({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})} è una base di V ∗ {\displaystyle V^{*}} univocamente determinata dalle seguenti relazioni:

e i ( e j ) = δ i j , {\displaystyle {\textbf {e}}^{i}({\textbf {e}}_{j})=\delta _{ij},}

dove δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} è la delta di Kronecker.

Ogni vettore v {\displaystyle {\textbf {v}}} di V {\displaystyle V} può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare degli elementi della base:

v = ∑ i = 1 n v i e i = v i e i , {\displaystyle {\textbf {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\textbf {e}}_{i}=v^{i}{\textbf {e}}_{i},}

dove l'ultima notazione è quella cosiddetta di Einstein.

Il risultato dell'applicazione di e i {\displaystyle {\textbf {e}}^{i}} su v {\displaystyle {\textbf {v}}} è il seguente:

e i ( v ) = e i ( ∑ k = 1 n v k e k ) = ∑ k = 1 n v k δ i k = v i . {\displaystyle {\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})={\textbf {e}}^{i}\left(\sum _{k=1}^{n}v^{k}{\textbf {e}}_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}v^{k}\delta _{ik}=v^{i}.}

Quindi e i {\displaystyle {\textbf {e}}^{i}} è l'applicazione che "estrae" da un vettore v {\displaystyle {\textbf {v}}} la i {\displaystyle i} -ma componente v i {\displaystyle v^{i}} delle sue coordinate rispetto alla base. Tale applicazione è a volte chiamata proiettore: può infatti essere interpretata come una proiezione sulla retta generata da e i {\displaystyle {\textbf {e}}_{i}} .

Sia f {\displaystyle f} un generico elemento di V ∗ {\displaystyle V^{*}} , cioè una applicazione lineare f {\displaystyle f} da V {\displaystyle V} a K {\displaystyle K} . Applicata su un vettore

v = ∑ i = 1 n v i e i = v i e i {\displaystyle {\textbf {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\textbf {e}}_{i}=v^{i}{\textbf {e}}_{i}}

produce la relazione:

f ( v ) = ∑ i = 1 n v i f ( e i ) = v i f ( e i ) . {\displaystyle f({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}v^{i}f({\textbf {e}}_{i})=v^{i}f({\textbf {e}}_{i}).}

L'applicazione f {\displaystyle f} è quindi univocamente definita da come agisce sugli elementi della base di V {\displaystyle V} . D'altra parte la f {\displaystyle f} trasforma un vettore in un elemento del campo K {\displaystyle K} , per cui la f {\displaystyle f} è definita dagli n {\displaystyle n} "numeri":

f i = f ( e i ) . {\displaystyle f_{i}=f({\textbf {e}}_{i}).}

Di conseguenza, la f {\displaystyle f} è ottenuta come combinazione lineare degli e i {\displaystyle {\textbf {e}}^{i}} :

f = ∑ i = 1 n f i e i = f i e i . {\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\textbf {e}}^{i}=f_{i}{\textbf {e}}^{i}.}

Infatti vale la relazione:

f ( v ) = ∑ i = 1 n f i e i ( v ) = ∑ i = 1 n f i v i = f i v i . {\displaystyle f({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}v^{i}=f_{i}v^{i}.}

Ogni applicazione f {\displaystyle f} in V ∗ {\displaystyle V^{*}} può essere quindi espressa in modo univoco come combinazione lineare delle applicazioni e i {\displaystyle {\textbf {e}}^{i}} , e pertanto:

• ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle ({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})} è effettivamente una base di V ∗ {\displaystyle V^{*}} , che ha quindi dimensione n {\displaystyle n} ;
• le f i {\displaystyle f_{i}} sono le coordinate di f {\displaystyle f} rispetto a tale base.

Le basi di V {\displaystyle V} e V ∗ {\displaystyle V^{*}} presentano la seguente simmetria:

• applicando e i {\displaystyle {\textbf {e}}^{i}} a un vettore v {\displaystyle {\textbf {v}}} si ottiene la i-esima componente di v {\displaystyle {\textbf {v}}} rispetto alla base ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle ({\textbf {e}}_{1},\ldots ,{\textbf {e}}_{n})} di V {\displaystyle V} :

e i ( v ) = v i ; {\displaystyle {\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})=v^{i};}

• applicando una applicazione f {\displaystyle f} a e i {\displaystyle {\textbf {e}}_{i}} si ottiene la i-esima componente di f {\displaystyle f} rispetto alla base ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle ({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})} di V ∗ {\displaystyle V^{*}} :

f ( e i ) = f i . {\displaystyle f({\textbf {e}}_{i})=f_{i}.}

Le due relazioni esprimono una "dualità" delle due basi.

Un altro modo per esprimere questa dualità si ottiene considerando lo spazio duale di V ∗ {\displaystyle V^{*}} , detto anche spazio biduale di V {\displaystyle V} , che si indica con V ∗ ∗ {\displaystyle V^{**}} ed è costituito dall'insieme di tutte le applicazioni lineari su V ∗ {\displaystyle V^{*}} . Poiché V ∗ {\displaystyle V^{*}} , come si è visto, è uno spazio vettoriale di dimensione n {\displaystyle n} , anche V ∗ ∗ {\displaystyle V^{**}} lo è.

Ora risulta cruciale osservare che ogni elemento di V ∗ ∗ {\displaystyle V^{**}} resta "naturalmente" associato ad un vettore di V {\displaystyle V} . Infatti, è possibile associare ad un vettore v {\displaystyle {\textbf {v}}} di V {\displaystyle V} l'applicazione F v {\displaystyle F_{v}} di V ∗ ∗ {\displaystyle V^{**}} che agendo sull'applicazione f {\displaystyle f} produce lo stesso scalare che produce f {\displaystyle f} agendo su v {\displaystyle {\textbf {v}}} :

F v ( f ) = f ( v ¯ ) . {\displaystyle F_{v}(f)=f({\bar {\textbf {v}}}).}

L'applicazione da V {\displaystyle V} in V ∗ ∗ {\displaystyle V^{**}} definita da

v ↦ F v {\displaystyle {\textbf {v}}\mapsto F_{v}}

è un isomorfismo canonico, che non dipende cioè dalla scelta delle basi. Gli spazi V {\displaystyle V} e V ∗ ∗ {\displaystyle V^{**}} sono quindi naturalmente identificati. Analogamente, gli spazi V ∗ {\displaystyle V^{*}} e V ∗ ∗ ∗ {\displaystyle V^{***}} sono naturalmente identificati.

Questa dualità fra spazi riflette quella fra le basi: la base duale di ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle ({\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n})} è effettivamente ( F e 1 , … , F e n ) {\displaystyle (F_{e_{1}},\ldots ,F_{e_{n}})} . Infatti:

F e i ( f ) = f ( e i ) = f i . {\displaystyle F_{e_{i}}(f)=f({\textbf {e}}_{i})=f_{i}.}

La dualità può essere espressa in modo più evidente interpretando l'applicazione di un funzionale f {\displaystyle f} ad un vettore v {\displaystyle {\textbf {v}}} - che fino ad ora abbiamo scritto come f ( v ) {\displaystyle f({\textbf {v}})} mettendo in evidenza che f {\displaystyle f} è una applicazione da V {\displaystyle V} a K {\displaystyle K} - come una applicazione bilineare da V ∗ × V {\displaystyle V^{*}\times V} a K {\displaystyle K} , definita nel modo seguente:

⟨ , ⟩ : V ∗ × V → K {\displaystyle \langle ,\rangle :V^{*}\times V\to K}

⟨ f , v ⟩ = f ( v ) = F v ( f ) . {\displaystyle \langle f,{\textbf {v}}\rangle =f({\textbf {v}})=F_{v}(f).}

L'applicazione bilineare associa ad ogni coppia di elementi di V ∗ {\displaystyle V^{*}} e di V {\displaystyle V} uno scalare. L'operazione ⟨ f , v ⟩ {\displaystyle \langle f,{\textbf {v}}\rangle } può essere intesa in duplice senso: come una applicazione f {\displaystyle f} che agisce su un vettore v {\displaystyle {\textbf {v}}} o come un vettore v {\displaystyle {\textbf {v}}} (anzi, F v {\displaystyle F_{v}} ) che agisce su una applicazione f {\displaystyle f} .

Così facendo le dualità degli spazi e delle basi possono essere espresse in forma "simmetrica" e sintetica nel modo seguente:

⟨ e i , v ⟩ = v i , ⟨ f , e i ⟩ = f i . {\displaystyle \langle {\textbf {e}}^{i},{\textbf {v}}\rangle =v^{i},\qquad \langle f,{\textbf {e}}_{i}\rangle =f_{i}.}

In particolare se tali relazioni si applicano agli elementi delle due basi, si ottiene la relazione originaria:

⟨ e i , e j ⟩ = δ i j . {\displaystyle \langle {\textbf {e}}^{i},{\textbf {e}}_{j}\rangle =\delta _{ij}.}

In matematica, un isomorfismo è naturale se la sua costruzione è univoca, non dipende cioè da nessuna scelta. Come visto sopra, esiste un isomorfismo naturale fra V {\displaystyle V} e V ∗ ∗ {\displaystyle V^{**}} . Invece in generale non esiste un modo altrettanto naturale di associare gli elementi di V {\displaystyle V} a quelli di V ∗ {\displaystyle V^{*}} . Trattandosi di spazi aventi le stesse dimensioni, esiste (per il teorema della dimensione) un isomorfismo fra questi: tuttavia questo isomorfismo, per essere determinato concretamente, dovrà fare riferimento a qualche scelta determinante. La scelta può consistere nella costruzione di una base o di un prodotto scalare per V {\displaystyle V} .

Un isomorfismo tra V {\displaystyle V} e V ∗ {\displaystyle V^{*}} può essere costruito a partire da una base ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle ({\textbf {e}}_{1},\ldots ,{\textbf {e}}_{n})} per V {\displaystyle V} . Questa determina una base duale e 1 , … , e n {\displaystyle {\textbf {e}}^{1},\ldots ,{\textbf {e}}^{n}} , e l'isomorfismo fra V {\displaystyle V} e V ∗ {\displaystyle V^{*}} associa al vettore v {\displaystyle {\textbf {v}}} avente componenti v i {\displaystyle v^{i}} l'applicazione f {\displaystyle f} avente uguali componenti f i = v i {\displaystyle f_{i}=v^{i}} rispetto a e i {\displaystyle {\textbf {e}}^{i}} .

Prendendo un'altra base di partenza, l'applicazione associata a v {\displaystyle {\textbf {v}}} non è però più necessariamente la stessa f {\displaystyle f} : in questo senso, l'isomorfismo non è naturale.

È possibile definire un isomorfismo tra V {\displaystyle V} e V ∗ {\displaystyle V^{*}} a partire da un prodotto scalare per V {\displaystyle V} , cioè una particolare applicazione bilineare:

⟨ , ⟩ : V × V → K {\displaystyle \langle ,\rangle \colon V\times V\to K}

⟨ , ⟩ : ( w , v ) → ⟨ w , v ⟩ . {\displaystyle \langle ,\rangle \colon ({\textbf {w}},{\textbf {v}})\to \langle {\textbf {w}},{\textbf {v}}\rangle .}

Grazie a questo prodotto scalare è possibile associare ad un vettore w {\displaystyle {\textbf {w}}} di V {\displaystyle V} l'applicazione f w {\displaystyle f_{w}} tale che:

f w ( v ) = ⟨ w , v ⟩ . {\displaystyle f_{w}({\textbf {v}})=\langle {\textbf {w}},{\textbf {v}}\rangle .}

In questa relazione, l'applicazione bilineare di sinistra è quella naturale definita precedentemente, mentre quella di destra è il prodotto scalare su V {\displaystyle V} . Qualora si identifichi V {\displaystyle V} e V ∗ {\displaystyle V^{*}} in questo modo, anche queste due applicazioni bilineari risultano essere identificate.

Anche in questo caso, l'isomorfismo non è naturale, perché dipende dalla scelta di un prodotto scalare per V {\displaystyle V} .

La base standard di R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} (il piano cartesiano) è:

{ e 1 , e 2 } = { ( 1 0 ) , ( 0 1 ) } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}

mentre la base standard del suo duale R 2 ∗ {\displaystyle {\mathbb {R} ^{2}}^{*}} è:

{ e 1 , e 2 } = { ( 1 0 ) , ( 0 1 ) } . {\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}.}

In tre dimensioni, per una data base { e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}} si può trovare la base duale (o biortogonale) { e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\mathbf {e} ^{3}\}} con le formule:

e 1 = ( e 2 × e 3 V ) T ,   e 2 = ( e 3 × e 1 V ) T ,   e 3 = ( e 1 × e 2 V ) T , {\displaystyle \mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{T},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{T},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{T},}

dove l'apice T {\displaystyle T} indica la trasposta e

V = det ( e 1 ; e 2 ; e 3 ) = e 1 ⋅ ( e 2 × e 3 ) = e 2 ⋅ ( e 3 × e 1 ) = e 3 ⋅ ( e 1 × e 2 ) {\displaystyle V=\det \left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)=\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})=\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})=\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}

è il volume orientato del parallelepipedo formato dai vettori e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}} , e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} e e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}} .

• (EN) P.M. Cohn, Algebra, Wiley (1982)
• (EN) Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Tensor Analysis With Applications to Mechanics. World Scientific. ISBN 978-981431312-4

• Base (algebra lineare)
• Covarianza e controvarianza
• Prodotto scalare
• Spazio duale
• Spazio riflessivo
• Spazio vettoriale
• Spazio euclideo
• Tensore

• (EN) Eric W. Weisstein, Dual Basis, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Base duale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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