Matrice nulla

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In matematica, una matrice nulla o matrice zero è una matrice intera i cui valori sono tutti pari a zero.

La matrice nulla con m {\displaystyle m} righe e n {\displaystyle n} colonne viene indicata con 0 m × n {\displaystyle 0_{m\times n}} , o più semplicemente con 0 {\displaystyle 0} .

Sono qui mostrate alcune matrici quadrate nulle:

[ 0 ] ,   [ 0 0 0 0 ] ,   [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ,   ⋯ ,   [ 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}}

La matrice nulla è l'elemento neutro rispetto all'operazione di somma fra matrici. In altre parole, valgono le relazioni

A + 0 = 0 + A = A {\displaystyle A+0=0+A=A}

per ogni matrice A {\displaystyle A} avente lo stesso numero di righe e colonne di 0 {\displaystyle 0} .

L'insieme M ( m , n , K ) {\displaystyle M(m,n,K)} di tutte le matrici m × n {\displaystyle m\times n} a valori in un fissato campo K {\displaystyle K} è un gruppo e uno spazio vettoriale, e la matrice nulla 0 {\displaystyle 0} è l'elemento neutro di entrambe le strutture.

Se m = n {\displaystyle m=n} , è definita anche una moltiplicazione e l'insieme M ( m , m , K ) {\displaystyle M(m,m,K)} è anche un anello: tutte queste strutture sono riassunte nella nozione di algebra su campo, e 0 {\displaystyle 0} è sempre l'elemento neutro rispetto alla somma. L'elemento neutro rispetto al prodotto è la matrice identità.

Alla matrice nulla è associata la trasformazione lineare identicamente nulla: quell'applicazione 0 : V → W {\displaystyle 0:V\to W} fra spazi vettoriali che associa ad ogni vettore v {\displaystyle v} di V {\displaystyle V} il vettore nullo di W {\displaystyle W} .

• Matrice identità

• (EN) zero matrix, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Zero Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.

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