Logaritmo complesso

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Il logaritmo complesso è un'estensione della funzione logaritmo al campo dei numeri complessi.

Per i numeri reali si ha la seguente relazione:

y = ln ⁡ ( x ) ⇔ x = e y  con  x ∈ R + , y ∈ R . {\displaystyle y=\ln(x)\Leftrightarrow x=e^{y}{\text{ con }}x\in \mathbb {R} ^{+},y\in \mathbb {R} .}

Tale relazione può essere utilizzata per estendere il logaritmo al campo complesso:

w = ln ⁡ ( z ) ⇔ z = e w  con  w , z ∈ C , {\displaystyle w=\ln(z)\Leftrightarrow z=e^{w}{\text{ con }}w,z\in \mathbb {C} ,}

con l'unica condizione z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} . Quest'ultima relazione permette di ottenere un'espressione esplicita per ln ⁡ ( z ) {\displaystyle \ln(z)} . Scrivendo z {\displaystyle z} in forma esponenziale

z = ρ e i θ , {\displaystyle z=\rho e^{i\theta },}

segue che

ρ e i θ = z = e w = e u + i v = e u ⋅ e i v , {\displaystyle \rho e^{i\theta }=z=e^{w}=e^{u+iv}=e^{u}\cdot e^{iv},}

dove u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} rappresentano, rispettivamente, parte reale e immaginaria dell'incognita ln ⁡ ( z ) {\displaystyle \ln(z)} . Dalla precedente catena di uguaglianze seguono le seguenti relazioni che determinano u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} :

| z | = ρ = e u ⟹ u = ln ⁡ | z | {\displaystyle |z|=\rho =e^{u}\Longrightarrow u=\ln |z|}

e i θ = e i v ⟹ v = arg ⁡ ( z ) {\displaystyle e^{i\theta }=e^{iv}\Longrightarrow v=\arg(z)}

Si può quindi scrivere

ln ⁡ ( z ) = ln ⁡ | z | + i arg ⁡ ( z ) . {\displaystyle \ln(z)=\ln |z|+i\arg(z).}

Si nota che il logaritmo complesso assume infiniti valori dato che arg ⁡ ( z ) {\displaystyle \arg(z)} contiene tutti i numeri del tipo θ + 2 k π {\displaystyle \theta +2k\pi } , con k ∈ Z . {\displaystyle k\in \mathbb {Z} .} Per tale motivo esso non è propriamente una funzione ma una cosiddetta funzione polidroma.

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Ricordando l'Identità di Eulero: e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1} , è facile ottenere una curiosa, quanto affascinante, definizione di π {\displaystyle \pi } : applicando il logaritmo si ha infatti:

ln ⁡ ( e i π ) = ln ⁡ ( − 1 ) {\displaystyle \ln(e^{i\pi })=\ln(-1)}

i π = ln ⁡ ( − 1 ) {\displaystyle i\pi =\ln(-1)}

π = ln ⁡ ( − 1 ) i {\displaystyle \pi ={\frac {\ln(-1)}{i}}}

π = − i ln ⁡ ( − 1 ) . {\displaystyle \pi =-i\ln(-1).}

Il numero trascendente π {\displaystyle \pi } è così descritto in termini di quantità complesse, e logaritmi apparentemente impossibili. Per spiegare l'impossibilità solo apparente di ciò, si può all'inverso applicare la definizione di logaritmo complesso principale a − 1 {\displaystyle -1} :

ln ⁡ ( − 1 ) = ln ⁡ | − 1 | + i  arg ( − 1 ) = ln ⁡ 1 + i π = 0 + i π = i π {\displaystyle \ln(-1)=\ln \vert -1\vert +i\!{\text{ arg}}(-1)=\ln 1+i\pi =0+i\pi =i\pi }

e si ricava nuovamente

ln ⁡ ( − 1 ) i = π . {\displaystyle {\frac {\ln(-1)}{i}}=\pi .}

Per poter considerare il logaritmo complesso come una funzione è necessario definire il suo valore principale:

Ln ( z ) = ln ⁡ | z | + i arg ⁡ ( z )  con  − π < arg ⁡ ( z ) ≤ π . {\displaystyle {\text{Ln}}(z)=\ln |z|+i\arg(z){\mbox{ con }}-\pi <\arg(z)\leq \pi .}

Il Logaritmo principale è analitico su tutto C {\displaystyle \mathbb {C} } escluso l'origine (dove il logaritmo non è definito) e il semiasse reale negativo (dove l'argomento ha un salto di discontinuità pari a 2 π {\displaystyle 2\pi } ).

• Logaritmo
• Esponenziale complesso
• Funzione di variabile complessa
• Funzione polidroma

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