Logaritmo complesso
Il logaritmo complesso è un'estensione della funzione logaritmo al campo dei numeri complessi. Per i numeri reali si ha la seguente relazione: y = ln ( x ) ⇔ x = e y con x ∈ R + , y ∈ R . {\displaystyle y=\ln(x)\Leftrightarrow x=e^{y}{\text{ con }}x\in \mathbb {R} ^{+},y\in \mathbb {R} .} Tale relazione può essere utilizzata per estendere il logaritmo al campo complesso: w = ln ( z ) ⇔ z = e w con w , z ∈ C , {\displaystyle w=\ln(z)\Leftrightarrow z=e^{w}{\text{ con }}w,z\in \mathbb {C} ,} con l'unica condizione z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} . Quest'ultima relazione permette di ottenere un'espressione esplicita per ln ( z ) {\displaystyle \ln(z)} . Scrivendo z {\displaystyle z} in forma esponenziale z = ρ e i θ , {\displaystyle z=\rho e^{i\theta },} segue che ρ e i θ = z = e w = e u + i v = e u ⋅ e i v , {\displaystyle \rho e^{i\theta }=z=e^{w}=e^{u+iv}=e^{u}\cdot e^{iv},} dove u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} rappresentano, rispettivamente, parte reale e immaginaria dell'incognita ln ( z ) {\displaystyle \ln(z)} . Dalla precedente catena di uguaglianze seguono le seguenti relazioni che determinano u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} : | z | = ρ = e u ⟹ u = ln | z | {\displaystyle |z|=\rho =e^{u}\Longrightarrow u=\ln |z|} e i θ = e i v ⟹ v = arg ( z ) {\displaystyle e^{i\theta }=e^{iv}\Longrightarrow v=\arg(z)} Si può quindi scrivere ln ( z ) = ln | z | + i arg ( z ) . {\displaystyle \ln(z)=\ln |z|+i\arg(z).} Si nota che il logaritmo complesso assume infiniti valori dato che arg ( z ) {\displaystyle \arg(z)} contiene tutti i numeri del tipo θ + 2 k π {\displaystyle \theta +2k\pi } , con k ∈ Z . {\displaystyle k\in \mathbb {Z} .} Per tale motivo esso non è propriamente una funzione ma una cosiddetta funzione polidroma.

Il logaritmo complesso è un'estensione della funzione logaritmo al campo dei numeri complessi.
Per i numeri reali si ha la seguente relazione:
Tale relazione può essere utilizzata per estendere il logaritmo al campo complesso:
con l'unica condizione . Quest'ultima relazione permette di ottenere un'espressione esplicita per . Scrivendo in forma esponenziale
segue che
dove e rappresentano, rispettivamente, parte reale e immaginaria dell'incognita . Dalla precedente catena di uguaglianze seguono le seguenti relazioni che determinano e :
Si può quindi scrivere
Si nota che il logaritmo complesso assume infiniti valori dato che contiene tutti i numeri del tipo , con Per tale motivo esso non è propriamente una funzione ma una cosiddetta funzione polidroma.
Curiosità sul logaritmo complesso
[modifica | modifica wikitesto]Ricordando l'Identità di Eulero: , è facile ottenere una curiosa, quanto affascinante, definizione di : applicando il logaritmo si ha infatti:
Il numero trascendente è così descritto in termini di quantità complesse, e logaritmi apparentemente impossibili. Per spiegare l'impossibilità solo apparente di ciò, si può all'inverso applicare la definizione di logaritmo complesso principale a :
e si ricava nuovamente
Logaritmo principale
[modifica | modifica wikitesto]Per poter considerare il logaritmo complesso come una funzione è necessario definire il suo valore principale:
Il Logaritmo principale è analitico su tutto escluso l'origine (dove il logaritmo non è definito) e il semiasse reale negativo (dove l'argomento ha un salto di discontinuità pari a ).