Cubottaedro

Cubottaedro
Tipo	Solido archimedeo
Forma facce	Triangoli e quadrati
Nº facce	14
Nº spigoli	24
Nº vertici	12
Valenze vertici	4
Caratteristica di Eulero	2
Notazione di Wythoff	2 | 3 4 3 3 | 2
Notazione di Schläfli	r{4,3} o { 4 3 } {\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}} rr{3,3} o r { 3 3 } {\displaystyle r{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}} t1{4,3} o t0,2{3,3}
Diagramma di Coxeter-Dynkin	o o
Duale	Dodecaedro rombico
Proprietà	non chirale
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale
Sviluppo piano
Manuale

In geometria solida, il cubottaedro è uno dei tredici poliedri archimedei, ottenuto troncando le otto cuspidi del cubo, oppure le sei cuspidi dell'ottaedro regolare.

Ha 14 facce, di cui 6 quadrate e 8 triangolari, ognuno dei suoi 24 spigoli separa una faccia quadrata da una triangolare e in ciascuno dei suoi 12 vertici concorrono due facce quadrate e due triangolari.

L'area A ed il volume V di un cubottaedro i cui spigoli hanno lunghezza a sono le seguenti:

A = ( 6 + 2 3 ) a 2 {\displaystyle A=(6+2{\sqrt {3}})a^{2}}

V = 5 3 2 a 3 {\displaystyle V={\begin{matrix}{5 \over 3}\end{matrix}}{\sqrt {2}}a^{3}}

Il poliedro duale del cubottaedro è il dodecaedro rombico.

Il gruppo delle simmetrie del cubottaedro ha 48 elementi; il gruppo delle simmetrie che preservano l'orientamento è il gruppo ottaedrale O ≅ S 4 {\displaystyle O\cong S_{4}} . Sono gli stessi gruppi di simmetria del cubo, dell'ottaedro, del cubo troncato e dell'ottaedro troncato.

Il cubottaedro è l'unico poliedro convesso in cui il raggio lungo (dal centro al vertice) è uguale alla lunghezza dello spigolo); quindi il suo diametro lungo (da un vertice al vertice opposto) è due volte la lunghezza dello spigolo. Questa simmetria equilatera radiale è una proprietà di pochi politopi, tra cui l'esagono bidimensionale, il cubottaedro tridimensionale, e i quadridimensionali 24-celle e tesseratto. I politopi "radialmente equilateri" sono quelli che possono essere costruiti, con i loro raggi lunghi, da triangoli equilateri che si incontrano al centro del politopo, ciascuno dei quali contribuisce con due raggi e un bordo. Pertanto, tutti gli elementi interni che si incontrano al centro di questi politopi hanno facce interne a triangolo equilatero, come nella dissezione del cubottaedro in 6 piramidi quadrate e 8 tetraedri. Ognuno di questi politopi radialmente equilateri si presenta anche come cellula di un caratteristico riempimento dello spazio tassellazione: la tassellazione di esagoni regolari (nido d'ape), il tassellazione dello spazio cubica rettificata (formata dall'alternarsi di cubottaedri e ottaedri), la tassellazione 24-cellare e la tassellazione tesserattica, rispettivamente. Ciascuna di queste ha una tassellazione duale in cui i vertici cellulari sono i centri cellulari della tassellazione originale.

Il cubottaedro non tassella lo spazio da solo, ma è possibile tassellare lo spazio con cubottaedri e ottaedri regolari aventi spigoli della stessa lunghezza.

I 24 spigoli del cubottaedro identificano, a gruppi di sei, 4 esagoni regolari. Tagliando lungo uno di essi, il cubottaedro viene diviso in due solidi di Johnson detti cupole triangolari. Ruotando le due cupole in modo da unire quadrati con quadrati e triangoli con triangoli si ottiene l'ortobicupola triangolare, un altro solido di Johnson. Utilizzando la stessa nomenclatura, il cubottaedro può anche essere chiamato girobicupola triangolare.

La seguente sequenza di poliedri illustra una transizione dal cubo all'ottaedro:

cubo

cubo troncato

cubottaedro

ottaedro troncato

ottaedro

• H. M. Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.

• Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.

• Cubo
• Dodecaedro rombico
• Ottaedro
• Poliedro archimedeo

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul cubottaedro

• Cubottaedro, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• Cubottaèdro, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• cubottaèdro, su sapere.it, De Agostini.
• Cubottaedro, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Cuboctahedron, su MathWorld, Wolfram Research.

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