Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion f : R n → R m {\displaystyle f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}\,\!} ist die m × n {\displaystyle m\times n} -Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion f {\displaystyle f} bezüglich der Standardbasen des R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} und des R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} .

Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Sei f : U ⊂ R n → R m {\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} eine Funktion, deren Komponentenfunktionen mit f 1 , … , f m {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}} bezeichnet seien und deren partielle Ableitungen alle existieren sollen. Für einen Raumpunkt x {\displaystyle x} im Urbildraum R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} seien x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} die jeweils zugehörigen Koordinaten.

Dann ist für a ∈ U {\displaystyle a\in U} die Jacobi-Matrix im Punkt a {\displaystyle a} definiert durch

J f ( a ) := ( ∂ f i ∂ x j ( a ) ) i = 1 , … , m ;   j = 1 , … , n = ( ∂ f 1 ∂ x 1 ( a ) ∂ f 1 ∂ x 2 ( a ) … ∂ f 1 ∂ x n ( a ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ( a ) ∂ f m ∂ x 2 ( a ) … ∂ f m ∂ x n ( a ) ) {\displaystyle J_{f}(a):=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right)_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{pmatrix}}} .

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktionen f 1 , … , f m {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}} von f {\displaystyle f} .

Andere übliche Schreibweisen für die Jacobi-Matrix J f ( a ) {\displaystyle J_{f}(a)} von f {\displaystyle f} an der Stelle a {\displaystyle a} sind D f ( a ) {\displaystyle Df(a)} , ∂ f ∂ x ( a ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(a)} und ∂ ( f 1 , … , f m ) ∂ ( x 1 , … , x n ) ( a ) {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}(a)} .

Die Funktion f : R 3 → R 2 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}} sei gegeben durch

f ( x , y , z ) = ( x 2 + y 2 + z ⋅ sin ⁡ x z 2 + z ⋅ sin ⁡ y ) {\displaystyle f(x,y,z)={\binom {x^{2}+y^{2}+z\cdot \sin x}{z^{2}+z\cdot \sin y}}}

Dann ist

∂ ∂ x f ( x , y , z ) = ( 2 x + z ⋅ cos ⁡ x 0 ) ∂ ∂ y f ( x , y , z ) = ( 2 y z ⋅ cos ⁡ y ) ∂ ∂ z f ( x , y , z ) = ( sin ⁡ x 2 z + sin ⁡ y ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z)&={\binom {2x+z\cdot \cos x}{0}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z)&={\binom {2y}{z\cdot \cos y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z)&={\binom {\sin x}{2z+\sin y}}\end{aligned}}}

und damit die Jacobi-Matrix

J f ( x , y , z ) = ( 2 x + z ⋅ cos ⁡ x 2 y sin ⁡ x 0 z ⋅ cos ⁡ y 2 z + sin ⁡ y ) {\displaystyle J_{f}(x,y,z)=\left({\begin{array}{ccc}2x+z\cdot \cos x&2y&\sin x\\0&z\cdot \cos y\,&2z+\sin y\end{array}}\right)}

• Ist die Funktion f : U ⊂ R n → R m {\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} total differenzierbar, dann ist ihr totales Differential D f a {\displaystyle Df_{a}} an der Stelle a = ( a 1 , … , a n ) ∈ U {\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in U} die lineare Abbildung

D f a : R n → R m , D f a ( h ) = J f ( a ) ⋅ h {\displaystyle Df_{a}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\quad Df_{a}(h)=J_{f}(a)\cdot h} .

Die Jacobi-Matrix an der Stelle a {\displaystyle a} ist also die Abbildungsmatrix von D f a {\displaystyle Df_{a}} .

• Für m = 1 {\displaystyle m=1} entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von f {\displaystyle f} . Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.

• Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für eine Stelle a = ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})} ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von f {\displaystyle f} in der Nähe von a {\displaystyle a} verwendet werden:

f ( x ) ≈ f ( a ) + J f ( a ) ⋅ ( x − a ) . {\displaystyle f(x)\approx f(a)+J_{f}(a)\cdot (x-a).}

Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).

• Die Fortpflanzung von Messfehlern in Form einer Kovarianzmatrix geschieht durch die Jacobi-Matrix: V f = J ⋅ V x ⋅ J T {\displaystyle V_{f}=J\cdot V_{x}\cdot J^{\text{T}}}

Sei m = n {\displaystyle m=n} , es wird also eine differenzierbare Funktion f : U ⊂ R n → R n {\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix J f ( a ) {\displaystyle J_{f}(a)} am Punkt a ∈ U {\displaystyle a\in U} eine quadratische n × n {\displaystyle n\times n} -Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix det ( J f ( a ) ) {\displaystyle \det(J_{f}(a))} bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt a {\displaystyle a} ungleich null, so ist die Funktion f {\displaystyle f} in einer Umgebung von a {\displaystyle a} invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist m ≠ n {\displaystyle m\neq n} , so kann man definitionsgemäß keine Determinante der m × n {\displaystyle m\times n} -Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.

Neben Funktionen f : U ⊂ R n → R m {\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} kann man auch Funktionen h : V ⊂ C n → C m {\displaystyle h\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}} auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion h := ( h 1 , … , h m ) : V ⊂ C n → C m {\displaystyle h:=(h_{1},\ldots ,h_{m})\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}} kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine m × n {\displaystyle m\times n} mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine 2 m × 2 n {\displaystyle 2m\times 2n} -Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die m × n {\displaystyle m\times n} -Jacobi-Matrix J h C ( z ) {\displaystyle J_{h}^{\mathbb {C} }(z)} am Punkt z := ( z 1 , … , z n ) ∈ V ⊂ C n {\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})\in V\subset \mathbb {C} ^{n}} ist durch

J h C ( z ) := ( ∂ h 1 ( z ) ∂ z 1 ⋯ ∂ h 1 ( z ) ∂ z n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ h m ( z ) ∂ z 1 ⋯ ∂ h m ( z ) ∂ z n ) {\displaystyle J_{h}^{\mathbb {C} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{n}}}\end{pmatrix}}}

definiert.

Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen u , v : C n → R m {\displaystyle u,v\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} , sodass h = u + i v {\displaystyle h=u+iv} gilt. Die Funktionen u {\displaystyle u} und v {\displaystyle v} kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien z := ( z 1 , … , z n ) {\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})} die Koordinaten in C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} und setze z j := x j + i y j {\displaystyle z_{j}:=x_{j}+iy_{j}} für alle j {\displaystyle j} . Die 2 m × 2 n {\displaystyle 2m\times 2n} -Jacobi-Matrix J h R ( z ) {\displaystyle J_{h}^{\mathbb {R} }(z)} der holomorphen Funktion h {\displaystyle h} am Punkt z ∈ V {\displaystyle z\in V} ist dann definiert durch

J h R ( z ) := ( ∂ u 1 ( z ) ∂ x 1 ⋯ ∂ u 1 ( z ) ∂ x n ∂ u 1 ( z ) ∂ y 1 ⋯ ∂ u 1 ( z ) ∂ y n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ u m ( z ) ∂ x 1 ⋯ ∂ u m ( z ) ∂ x n ∂ u m ( z ) ∂ y 1 ⋯ ∂ u m ( z ) ∂ y n ∂ v 1 ( z ) ∂ x 1 ⋯ ∂ v 1 ( z ) ∂ x n ∂ v 1 ( z ) ∂ y 1 ⋯ ∂ v 1 ( z ) ∂ y n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ v m ( z ) ∂ x 1 ⋯ ∂ v m ( z ) ∂ x n ∂ v m ( z ) ∂ y 1 ⋯ ∂ v m ( z ) ∂ y n ) {\displaystyle J_{h}^{\mathbb {R} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\\{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\end{pmatrix}}} .

Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen m = n {\displaystyle m=n} , so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich

det ( J h R ( z ) ) = | det ( J h C ( z ) ) | 2 {\displaystyle \det \left(J_{h}^{\mathbb {R} }(z)\right)=\left|\det(J_{h}^{\mathbb {C} }(z))\right|^{2}} .

• Mehrdimensionale Kettenregel
• Hesse-Matrix
• Gradient (Mathematik)

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8. (für Jacobi-Matrizen reeller Funktionen).
• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95395-7. (S. 30–31; für Jacobi-Matrizen holomorpher Funktionen).