Taylor-Formel
Die Taylor-Formel (auch Satz von Taylor) ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor. Man kann diese Formel verwenden, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch Polynome, die sogenannten Taylorpolynome, anzunähern. Man spricht auch von der Taylor-Näherung. Die Taylor-Formel ist aufgrund ihrer relativ einfachen Anwendbarkeit und Nützlichkeit ein Hilfsmittel in vielen Ingenieur-, Sozial- und Naturwissenschaften geworden. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch ein Taylorpolynom geringen Grades (oftmals gut) angenähert werden, z. B. in der Physik oder bei der Ausgleichung geodätischer Netze. Die oft verwendete Kleinwinkelnäherung des Sinus ist eine nach dem ersten Glied abgebrochene Taylorreihe dieser Funktion. Eng verwandt mit der Taylor-Formel ist die sogenannte Taylorreihe (Taylor-Entwicklung).
Die Taylor-Formel (auch Satz von Taylor) ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor. Man kann diese Formel verwenden, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch Polynome, die sogenannten Taylorpolynome,[1] anzunähern. Man spricht auch von der Taylor-Näherung. Die Taylor-Formel ist aufgrund ihrer relativ einfachen Anwendbarkeit und Nützlichkeit ein Hilfsmittel in vielen Ingenieur-, Sozial- und Naturwissenschaften geworden. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch ein Taylorpolynom geringen Grades (oftmals gut) angenähert werden, z. B. in der Physik oder bei der Ausgleichung geodätischer Netze. Die oft verwendete Kleinwinkelnäherung des Sinus ist eine nach dem ersten Glied abgebrochene Taylorreihe dieser Funktion.
Eng verwandt mit der Taylor-Formel ist die sogenannte Taylorreihe (Taylor-Entwicklung).
Motivation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Annäherung durch Tangente
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Näherung für eine differenzierbare Funktion
f
{\displaystyle f}
-
T
1
f
(
x
;
a
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
{\displaystyle T_{1}f(x;a)=f(a)+f'(a)(x-a)}
.
Sie lässt sich dadurch charakterisieren, dass an der Stelle
x
=
a
{\displaystyle x=a}
Wenn man den Rest
R
1
f
(
x
;
a
)
:=
f
(
x
)
−
T
1
f
(
x
;
a
)
{\displaystyle R_{1}f(x;a):=f(x)-T_{1}f(x;a)}
-
(
1
)
lim
x
→
a
R
1
f
(
x
;
a
)
x
−
a
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
−
T
1
f
(
x
;
a
)
x
−
a
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
−
f
(
a
)
x
−
a
−
f
′
(
a
)
=
0
{\displaystyle (1)~\lim _{x\to a}{\frac {R_{1}f(x;a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-T_{1}f(x;a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-f'(a)=0}
(siehe bei der Definition der Ableitung).
Annäherung durch Schmiegparabel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Man kann vermuten, dass man für zweimal differenzierbares
f
{\displaystyle f}
-
T
2
f
(
x
;
a
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
1
2
f
″
(
a
)
(
x
−
a
)
2
{\displaystyle T_{2}f(x;a)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}}
.
Diese Näherungsfunktion bezeichnet man auch als Schmiegparabel.
Man definiert nun dazu den passenden Rest
R
2
f
(
x
;
a
)
:=
f
(
x
)
−
T
2
f
(
x
;
a
)
{\displaystyle R_{2}f(x;a):=f(x)-T_{2}f(x;a)}
-
lim
x
→
a
R
2
f
(
x
;
a
)
(
x
−
a
)
2
=
lim
x
→
a
f
(
x
)
−
f
(
a
)
−
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
(
x
−
a
)
2
−
1
2
f
″
(
a
)
=
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
−
f
′
(
a
)
2
(
x
−
a
)
−
1
2
f
″
(
a
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {R_{2}f(x;a)}{(x-a)^{2}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{(x-a)^{2}}}-{\frac {1}{2}}f''(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)-f'(a)}{2(x-a)}}-{\frac {1}{2}}f''(a)=0}
gilt.
Annäherung durch Polynome vom Grad n
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieses Vorgehen lässt sich nun leicht auf Polynome
n
{\displaystyle n}
-
T
n
f
(
a
;
a
)
=
f
(
a
)
,
T
n
′
f
(
a
;
a
)
=
f
′
(
a
)
,
…
,
T
n
(
n
)
f
(
a
;
a
)
=
f
(
n
)
(
a
)
{\displaystyle T_{n}f(a;a)=f(a),\ T_{n}'f(a;a)=f'(a),\ \ldots ,\ T_{n}^{(n)}f(a;a)=f^{(n)}(a)}
.
Es ergibt sich
-
T
n
f
(
x
;
a
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
⋯
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle T_{n}f(x;a)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\dotsb +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
.
Mit der Regel von de L’Hospital finden wir außerdem:
-
lim
x
→
a
f
(
x
)
−
T
n
f
(
x
;
a
)
(
x
−
a
)
n
=
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
−
T
n
′
f
(
x
;
a
)
n
(
x
−
a
)
n
−
1
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-T_{n}f(x;a)}{(x-a)^{n}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)-T_{n}'f(x;a)}{n(x-a)^{n-1}}}}
.
Daher ergibt sich mit vollständiger Induktion über
n
{\displaystyle n}
-
lim
x
→
a
R
n
f
(
x
;
a
)
(
x
−
a
)
n
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {R_{n}f(x;a)}{(x-a)^{n}}}=0}
.
Qualitative Taylorformel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ist
f
{\displaystyle f}
-
f
(
x
)
=
T
n
f
(
x
;
a
)
+
R
n
f
(
x
;
a
)
=
T
n
f
(
x
;
a
)
+
o
(
|
x
−
a
|
n
)
,
x
→
a
,
{\displaystyle f(x)=T_{n}f(x;a)+R_{n}f(x;a)=T_{n}f(x;a)+o(|x-a|^{n}),\quad x\rightarrow a,}
wobei
o
{\displaystyle o}
Ist
f
{\displaystyle f}
-
f
(
x
)
=
T
n
f
(
x
;
a
)
+
R
n
f
(
x
;
a
)
=
T
n
f
(
x
;
a
)
+
O
(
|
x
−
a
|
n
+
1
)
,
x
→
a
,
{\displaystyle f(x)=T_{n}f(x;a)+R_{n}f(x;a)=T_{n}f(x;a)+{\mathcal {O}}(|x-a|^{n+1}),\quad x\rightarrow a,}
wobei
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
Aus beiden Darstellungen folgt: Je näher
x
{\displaystyle x}
Definitionen und Satz
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Im Folgenden wird die Taylor-Formel mit Integralrestglied vorgestellt. Die Taylor-Formel existiert auch in Varianten mit anderem Restglied; diese Formeln folgen jedoch aus der Taylor-Formel mit Integralrestglied. Sie stehen unten im Abschnitt Restgliedformeln.
Sei
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }
Taylorpolynom
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das
n
{\displaystyle n}
-
T
n
f
(
x
;
a
)
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
…
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}f(x;a)=&\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}\\=&f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}}}
Damit gehört es zu den Potenzreihen.
Integralrestglied
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das
n
{\displaystyle n}
-
R
n
f
(
x
;
a
)
=
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
n
!
f
(
n
+
1
)
(
t
)
d
t
{\displaystyle R_{n}f(x;a)=\int \limits _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t}
Satz (Taylorformel mit Integralrestglied)
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für alle
a
{\displaystyle a}
-
f
(
x
)
=
T
n
f
(
x
;
a
)
+
R
n
f
(
x
;
a
)
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
+
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
n
!
f
(
n
+
1
)
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=&T_{n}f(x;a)+R_{n}f(x;a)\\=&\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\int \limits _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}
Beweis
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Beweis der Taylor-Formel mit Integralrestglied erfolgt durch vollständige Induktion über
n
{\displaystyle n}
Der Induktionsanfang
n
=
0
{\displaystyle n=0}
-
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
∫
a
x
f
′
(
t
)
d
t
=
T
0
f
(
x
;
a
)
+
R
0
f
(
x
;
a
)
{\displaystyle f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d} t=T_{0}f(x;a)+R_{0}f(x;a)}
Der Induktionsschritt
n
→
n
+
1
{\displaystyle n\rightarrow n+1}
-
f
(
n
+
1
)
(
a
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
n
+
1
+
R
n
+
1
f
(
x
;
a
)
=
f
(
n
+
1
)
(
a
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
n
+
1
+
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
+
1
(
n
+
1
)
!
f
(
n
+
2
)
(
t
)
d
t
=
f
(
n
+
1
)
(
a
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
n
+
1
+
[
(
x
−
t
)
n
+
1
(
n
+
1
)
!
f
(
n
+
1
)
(
t
)
]
t
=
a
t
=
x
−
∫
a
x
−
(
x
−
t
)
n
n
!
f
(
n
+
1
)
(
t
)
d
t
=
(
x
−
a
)
n
+
1
(
n
+
1
)
!
f
(
n
+
1
)
(
a
)
−
(
x
−
a
)
n
+
1
(
n
+
1
)
!
f
(
n
+
1
)
(
a
)
+
R
n
f
(
x
;
a
)
=
R
n
f
(
x
;
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}+R_{n+1}f(x;a)\\=&{\frac {f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}+\int \limits _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+2)}(t)\,\mathrm {d} t\\=&{\frac {f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}+\left[{\frac {(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(t)\right]_{t=a}^{t=x}-\int \limits _{a}^{x}{\frac {-(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t\\=&{\frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(a)-{\frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(a)+R_{n}f(x;a)\\=&R_{n}f(x;a)\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}+R_{n+1}f(x;a)\\=&{\frac {f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}+\int \limits _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+2)}(t)\,\mathrm {d} t\\=&{\frac {f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}+\left[{\frac {(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(t)\right]_{t=a}^{t=x}-\int \limits _{a}^{x}{\frac {-(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t\\=&{\frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(a)-{\frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(a)+R_{n}f(x;a)\\=&R_{n}f(x;a)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc95cc12360fa9829b2cb47b06fb938625435f4)
und somit
-
T
n
+
1
f
(
x
;
a
)
+
R
n
+
1
f
(
x
;
a
)
=
T
n
f
(
x
;
a
)
+
R
n
f
(
x
;
a
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}f(x;a)+R_{n+1}f(x;a)=T_{n}f(x;a)+R_{n}f(x;a)=f(x)}
.
Restgliedformeln
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es gibt außer der Integralformel noch andere Darstellungen des Restgliedes.
Schlömilch-Restglied und dessen Herleitung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ergibt sich für jede natürliche Zahl
p
{\displaystyle p}
-
∫
a
x
f
(
n
+
1
)
(
t
)
(
x
−
t
)
n
+
1
−
p
n
!
⋅
(
x
−
t
)
p
−
1
d
t
=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
x
−
ξ
)
n
+
1
−
p
n
!
⋅
∫
a
x
(
x
−
t
)
p
−
1
d
t
⏟
=
(
x
−
a
)
p
p
{\displaystyle \int \limits _{a}^{x}{f^{(n+1)}(t){\frac {(x-t)^{n+1-p}}{n!}}\cdot (x-t)^{p-1}\,\mathrm {d} t}={\frac {f^{(n+1)}(\xi )(x-\xi )^{n+1-p}}{n!}}\cdot \underbrace {\int \limits _{a}^{x}{(x-t)^{p-1}\,\mathrm {d} t}} _{={\frac {(x-a)^{p}}{p}}}}
Damit folgt die Schlömilchsche Restgliedform:
-
R
n
f
(
x
;
a
)
=
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
n
!
f
(
n
+
1
)
(
t
)
d
t
=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
p
⋅
n
!
(
x
−
ξ
)
n
+
1
−
p
(
x
−
a
)
p
{\displaystyle R_{n}f(x;a)=\int \limits _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{p\cdot n!}}(x-\xi )^{n+1-p}(x-a)^{p}}
für ein
ξ
{\displaystyle \xi }
Spezialfälle des Schlömilch-Restglieds
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Spezialfall, nämlich der mit
p
=
1
{\displaystyle p=1}
-
R
n
f
(
x
;
a
)
=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
n
!
(
x
−
ξ
)
n
(
x
−
a
)
{\displaystyle R_{n}f(x;a)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}(x-a)}
für ein
ξ
{\displaystyle \xi }
Im Spezialfall
p
=
n
+
1
{\displaystyle p=n+1}
-
R
n
f
(
x
;
a
)
=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
n
+
1
{\displaystyle R_{n}f(x;a)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}}
für ein
ξ
{\displaystyle \xi }
Peano-Restglied
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Mit der Taylorformel mit Lagrange-Restglied erhält man für
n
{\displaystyle n}
-
f
(
x
)
=
T
n
−
1
f
(
x
;
a
)
+
f
(
n
)
(
ξ
)
n
!
(
x
−
a
)
n
=
T
n
f
(
x
;
a
)
+
f
(
n
)
(
ξ
)
−
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle f(x)=T_{n-1}f(x;a)+{\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}(x-a)^{n}=T_{n}f(x;a)+{\frac {f^{(n)}(\xi )-f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
Darum kann man als Restglied auch
-
R
n
f
(
x
;
a
)
=
f
(
n
)
(
ξ
)
−
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle R_{n}f(x;a)={\frac {f^{(n)}(\xi )-f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
verwenden, wobei
f
{\displaystyle f}
Weitere Darstellung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Setzt man
Θ
=
ξ
−
a
x
−
a
{\displaystyle \Theta ={\tfrac {\xi -a}{x-a}}}
-
R
n
f
(
x
;
a
)
=
f
(
n
+
1
)
(
a
+
Θ
(
x
−
a
)
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
n
+
1
{\displaystyle R_{n}f(x;a)={\frac {f^{(n+1)}(a+\Theta (x-a))}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}}
,
die Schlömilchsche
-
R
n
f
(
x
;
a
)
=
f
(
n
+
1
)
(
a
+
Θ
(
x
−
a
)
)
p
⋅
n
!
(
1
−
Θ
)
n
+
1
−
p
(
x
−
a
)
n
+
1
{\displaystyle R_{n}f(x;a)={\frac {f^{(n+1)}(a+\Theta (x-a))}{p\cdot n!}}(1-\Theta )^{n+1-p}(x-a)^{n+1}}
,
und die Cauchysche
-
R
n
f
(
x
;
a
)
=
f
(
n
+
1
)
(
a
+
Θ
(
x
−
a
)
)
n
!
(
1
−
Θ
)
n
(
x
−
a
)
n
+
1
{\displaystyle R_{n}f(x;a)={\frac {f^{(n+1)}(a+\Theta (x-a))}{n!}}(1-\Theta )^{n}(x-a)^{n+1}}
jeweils für ein
Θ
{\displaystyle \Theta }
Restgliedabschätzung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Liegt das Intervall
(
a
−
r
,
a
+
r
)
{\displaystyle (a-r,a+r)}
-
|
R
n
f
(
x
;
a
)
|
=
|
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
n
+
1
|
≤
sup
ξ
∈
(
a
−
r
,
a
+
r
)
|
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
n
+
1
|
{\displaystyle |R_{n}f(x;a)|=\left|{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}\right|\leq \sup _{\xi \in (a-r,a+r)}\left|{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}\right|}
Gilt
|
f
(
n
+
1
)
(
x
)
|
≤
M
n
{\displaystyle |f^{(n+1)}(x)|\leq M_{n}}
-
∀
x
∈
(
a
−
r
,
a
+
r
)
:
|
R
n
f
(
x
;
a
)
|
≤
M
n
|
x
−
a
|
n
+
1
(
n
+
1
)
!
≤
M
n
r
n
+
1
(
n
+
1
)
!
{\displaystyle \forall x\in (a-r,a+r):|R_{n}f(x;a)|\leq M_{n}{\frac {|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}}\leq M_{n}{\frac {r^{n+1}}{(n+1)!}}}
.
Restgliedabschätzungen sind nicht auf den „reellen Fall“ beschränkt. Ist
D
⊆
K
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {K} }
-
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
x
)
k
!
(
x
−
a
)
k
+
R
n
(
f
,
a
)
(
x
)
,
x
∈
D
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x)}{k!}}(x-a)^{k}+R_{n}(f,a)(x),\qquad x\in D.}
Das Restglied genügt für
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
-
|
R
n
(
f
,
a
)
(
x
)
|
≤
|
x
−
a
|
n
(
n
−
1
)
!
sup
0
<
t
<
1
|
f
(
n
)
(
a
+
t
(
x
−
a
)
)
−
f
(
n
)
(
a
)
|
.
{\displaystyle |R_{n}(f,a)(x)|\leq {\frac {|x-a|^{n}}{(n-1)!}}\sup _{0<t<1}|f^{(n)}(a+t(x-a))-f^{(n)}(a)|.}
Näherungsformeln für Sinus und Kosinus
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Anwendung der Taylorformel sind Näherungsformeln, hier vorgestellt am Beispiel Sinus und Kosinus (wobei das Argument im Bogenmaß angegeben wird).
Für
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sin(x)}
-
T
4
sin
(
x
;
0
)
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
x
+
1
2
f
″
(
0
)
x
2
+
1
6
f
‴
(
0
)
x
3
+
1
24
f
⁗
(
0
)
x
4
=
x
−
x
3
6
.
{\displaystyle T_{4}\sin(x;0)=f(0)+f'(0)x+{\frac {1}{2}}f''(0)x^{2}+{\frac {1}{6}}f'''(0)x^{3}+{\frac {1}{24}}f''''(0)x^{4}=x-{\frac {x^{3}}{6}}.}
Aus
f
(
5
)
(
x
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle f^{(5)}(x)=\cos(x)}
Liegt
x
{\displaystyle x}
Tatsächlich genügt für die Annäherung des Sinus auf diese Genauigkeit sogar schon das Taylorpolynom 3. Ordnung, da
f
⁗
(
0
)
=
0
{\displaystyle f''''(0)=0}
-
|
T
4
sin
(
x
;
0
)
−
sin
(
x
)
|
≤
x
4
24
{\displaystyle |T_{4}\sin(x;0)-\sin(x)|\leq {\frac {x^{4}}{24}}}
Die folgende Abbildung zeigt die Graphen einiger Taylorpolynome des Sinus um Entwicklungsstelle 0 für
n
=
1
,
3
,
5
,
15
{\displaystyle n=1,3,5,15}
Approximation des Sinus durch Taylorpolynome T 1 sin ( x ; 0 ) {\displaystyle T_{1}\sin(x;0)} bis T 40 sin ( x ; 0 ) {\displaystyle T_{40}\sin(x;0)}
Das vierte Taylorpolynom
T
4
cos
(
x
;
0
)
{\displaystyle T_{4}\cos(x;0)}
-
cos
(
x
)
≈
T
4
cos
(
x
;
0
)
=
(
x
2
12
−
1
)
⋅
x
2
2
+
1
{\displaystyle \cos(x)\approx T_{4}\cos(x;0)=\left({\frac {x^{2}}{12}}-1\right)\cdot {\frac {x^{2}}{2}}+1}
Liegt x zwischen
−
π
4
{\displaystyle -{\frac {\pi }{4}}}
Auch für Kotangens und Tangens kann man diese Formeln nutzen, denn es ist
-
tan
(
x
)
∼
t
(
x
)
=
T
3
sin
(
x
;
0
)
T
4
cos
(
x
;
0
)
{\displaystyle \tan(x)\sim t(x)={\frac {T_{3}\sin(x;0)}{T_{4}\cos(x;0)}}}
mit einer relativen Abweichung von unter 0,5 % für
|
x
|
<
π
4
{\displaystyle \left|x\right|<{\frac {\pi }{4}}}
Braucht man eine noch höhere Genauigkeit für seine Näherungsformeln, dann kann man auf höhere Taylorpolynome zurückgreifen, die die Funktionen noch besser approximieren.
Taylor-Formel im Mehrdimensionalen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei nun im Folgenden
f
:
R
d
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }
Sei ferner wie in der Multiindex-Notation
D
α
=
∂
|
α
|
∂
x
1
α
1
⋯
∂
x
d
α
d
{\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{d}^{\alpha _{d}}}}}
Mehrdimensionales Taylorpolynom
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Mit der mehrdimensionalen Kettenregel und Induktion erhält man, dass
-
F
(
n
)
(
t
)
=
∑
|
α
|
=
n
(
n
α
)
(
x
−
a
)
α
D
α
f
(
a
+
t
h
)
{\displaystyle F^{(n)}(t)=\sum _{|\alpha |=n}\left({\begin{matrix}n\\\alpha \end{matrix}}\right)(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a+th)}
,
wobei
(
n
α
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}n\\\alpha \end{matrix}}\right)}
Stellt man
F
{\displaystyle F}
-
T
n
f
(
x
;
a
)
:=
T
n
F
(
1
;
0
)
=
∑
|
α
|
=
0
n
(
x
−
a
)
α
α
!
D
α
f
(
a
)
{\displaystyle T_{n}f(x;a):=T_{n}F(1;0)=\sum _{|\alpha |=0}^{n}{\frac {(x-a)^{\alpha }}{\alpha !}}D^{\alpha }f(a)}
Hierbei wurde verwendet, dass
(
n
α
)
⋅
1
n
!
=
1
α
!
{\displaystyle \left({\begin{matrix}n\\\alpha \end{matrix}}\right)\cdot {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{\alpha !}}}
Schmiegquadrik
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das zweite Taylorpolynom einer skalarwertigen Funktion in mehr als einer Variable kann bis zur zweiten Ordnung kompakter geschrieben werden als:
-
T
2
f
(
x
;
a
)
=
f
(
a
)
+
∇
f
(
a
)
T
(
x
−
a
)
+
1
2
(
x
−
a
)
T
H
f
(
a
)
(
x
−
a
)
{\displaystyle T_{2}f(x;a)=f(a)+\nabla f(a)^{\mathrm {T} }(x-a)+{\frac {1}{2}}(x-a)^{\mathrm {T} }\operatorname {H} _{f}(a)(x-a)}
Dabei ist
∇
f
(
a
)
{\displaystyle \nabla f(a)}
Das zweite Taylorpolynom nennt man auch Schmiegquadrik.
Mehrdimensionales Integralrestglied
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ebenso definiert man das mehrdimensionale Restglied mithilfe der Multiindex-Notation:
-
R
n
f
(
x
;
a
)
:=
R
n
F
(
1
;
0
)
=
∫
0
1
(
1
−
t
)
n
n
!
F
(
n
+
1
)
(
t
)
d
t
=
(
n
+
1
)
∫
0
1
∑
|
α
|
=
n
+
1
(
1
−
t
)
n
(
x
−
a
)
α
α
!
D
α
f
(
a
+
t
h
)
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}f(x;a):=&R_{n}F(1;0)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}F^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t\\=&(n+1)\int \limits _{0}^{1}\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(1-t)^{n}(x-a)^{\alpha }}{\alpha !}}D^{\alpha }f(a+th)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}
Mehrdimensionale Taylor-Formel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Aus der eindimensionalen Taylor-Formel folgt, dass
-
F
(
1
)
=
T
n
F
(
1
;
0
)
+
R
n
F
(
1
;
0
)
{\displaystyle F(1)=T_{n}F(1;0)+R_{n}F(1;0)}
Nach der obigen Definition von
F
(
t
)
{\displaystyle F(t)}
-
f
(
x
)
=
T
n
f
(
x
;
a
)
+
R
n
f
(
x
;
a
)
{\displaystyle f(x)=T_{n}f(x;a)+R_{n}f(x;a)}
Mehrdimensionale Restgliedformeln
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Man kann auch die eindimensionalen Nicht-Integral-Restgliedformeln mithilfe der Formel für
F
(
n
)
(
t
)
{\displaystyle F^{(n)}(t)}
Das Schlömilch-Restglied wird so zu
-
R
n
f
(
x
;
a
)
=
(
n
+
1
)
(
1
−
θ
)
n
+
1
−
p
p
∑
|
α
|
=
n
+
1
(
x
−
a
)
α
D
α
f
(
a
+
θ
h
)
α
!
{\displaystyle R_{n}f(x;a)={\frac {(n+1)(1-\theta )^{n+1-p}}{p}}\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a+\theta h)}{\alpha !}}}
,
das Lagrange-Restglied zu
-
R
n
f
(
x
;
a
)
=
∑
|
α
|
=
n
+
1
(
x
−
a
)
α
D
α
f
(
a
+
θ
h
)
α
!
{\displaystyle R_{n}f(x;a)=\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a+\theta h)}{\alpha !}}}
,
und das Cauchy-Restglied zu
-
R
n
f
(
x
;
a
)
=
(
n
+
1
)
(
1
−
θ
)
n
∑
|
α
|
=
n
+
1
(
x
−
a
)
α
D
α
f
(
a
+
θ
h
)
α
!
{\displaystyle R_{n}f(x;a)=(n+1)(1-\theta )^{n}\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a+\theta h)}{\alpha !}}}
für jeweils ein
θ
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \theta \in [0,1]}
![{\displaystyle \theta \in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fead1e7dceab4be5ab2e91f5108144722daa8c36)
Qualitative Taylorformel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Nach der mehrdimensionalen Taylorformel ergibt sich mit dem Lagrange-Restglied:
-
|
R
n
f
(
x
;
a
)
|
=
|
f
(
x
)
−
T
n
f
(
x
;
a
)
|
=
|
∑
|
α
|
=
n
+
1
(
x
−
a
)
α
D
α
f
(
a
+
θ
h
)
α
!
|
≤
‖
x
−
a
‖
n
+
1
∑
|
α
|
=
n
+
1
|
D
α
f
(
a
+
θ
h
)
α
!
|
≤
C
n
‖
x
−
a
‖
n
+
1
sup
y
∈
U
(
a
)
,
|
α
|
=
n
+
1
|
D
α
f
(
y
)
|
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|R_{n}f(x;a)\right|=&\left|f(x)-T_{n}f(x;a)\right|\\=&\left|\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a+\theta h)}{\alpha !}}\right|\\\leq &\left\|x-a\right\|^{n+1}\sum _{|\alpha |=n+1}\left|{\frac {D^{\alpha }f(a+\theta h)}{\alpha !}}\right|\\\leq &C_{n}\left\|x-a\right\|^{n+1}\sup _{y\in U(a),\left|\alpha \right|=n+1}\left|D^{\alpha }f(y)\right|,\end{aligned}}}
wobei im vorletzten Schritt die Dreiecksungleichung und
|
x
i
−
a
i
|
≤
‖
x
−
a
‖
{\displaystyle |x_{i}-a_{i}|\leq \|x-a\|}
-
sup
|
α
|
=
n
+
1
‖
D
α
f
‖
L
∞
(
U
(
a
)
)
:=
sup
y
∈
U
(
a
)
,
|
α
|
=
n
+
1
|
D
α
f
(
y
)
|
<
∞
,
{\displaystyle \sup _{\left|\alpha \right|=n+1}\left\|D^{\alpha }f\right\|_{L^{\infty }(U(a))}:=\sup _{y\in U(a),\left|\alpha \right|=n+1}\left|D^{\alpha }f(y)\right|<\infty ,}
da
U
(
a
)
¯
{\displaystyle {\overline {U(a)}}}
Auf analoge Weise erhält man für den Fehler des
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
-
|
R
n
+
1
f
(
x
;
a
)
|
=
|
f
(
x
)
−
T
n
+
1
f
(
x
;
a
)
|
=
|
∑
|
α
|
=
n
+
1
(
x
−
a
)
α
D
α
f
(
a
+
θ
h
)
α
!
−
∑
|
α
|
=
n
+
1
(
x
−
a
)
α
D
α
f
(
a
)
α
!
|
≤
‖
x
−
a
‖
n
+
1
⋅
|
∑
|
α
|
=
n
+
1
D
α
f
(
a
+
θ
h
)
−
D
α
f
(
a
)
α
!
|
⏟
→
0
,
x
→
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|R_{n+1}f(x;a)\right|=&\left|f(x)-T_{n+1}f(x;a)\right|\\=&\left|\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a+\theta h)}{\alpha !}}-\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a)}{\alpha !}}\right|\\\leq &\|x-a\|^{n+1}\cdot \underbrace {\left|\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {D^{\alpha }f(a+\theta h)-D^{\alpha }f(a)}{\alpha !}}\right|} _{\to 0{\text{, }}x\to a}\end{aligned}}}
Der letzte Teil geht gegen null, da die partiellen Ableitungen vom Grad
n
+
1
{\displaystyle n+1}
Aus den beiden Abschätzungen folgt die sogenannte „(mehrdimensionale) qualitative Taylorformel“:
-
f
(
x
)
=
T
n
f
(
x
;
a
)
+
O
(
‖
x
−
a
‖
n
+
1
)
=
T
n
+
1
f
(
x
;
a
)
+
o
(
‖
x
−
a
‖
n
+
1
)
{\displaystyle f(x)=T_{n}f(x;a)+{\mathcal {O}}(\|x-a\|^{n+1})=T_{n+1}f(x;a)+{\mathcal {o}}(\|x-a\|^{n+1})}
für
x
→
a
{\displaystyle x\to a}
Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es soll die Funktion
-
f
:
{
(
x
1
,
x
2
)
∈
R
2
,
x
2
<
1
}
→
R
,
(
x
1
,
x
2
)
↦
exp
(
x
1
−
x
2
)
⋅
log
(
1
−
x
2
)
{\displaystyle f:\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2},\ x_{2}<1\}\to \mathbb {R} ,~(x_{1},x_{2})\mapsto \exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})}
um den Punkt
a
=
(
a
1
,
a
2
)
=
(
1
,
0
)
∈
R
2
{\displaystyle a=(a_{1},a_{2})=(1,0)\in \mathbb {R} ^{2}}
In diesem Beispiel soll die Funktion bis zum zweiten Grad entwickelt werden, d. h., man will ein Taylorpolynom zweiter Ordnung berechnen, also die sog. Schmiegquadrik. Es gilt also
n
=
2
{\displaystyle n=2}
-
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
2
(
a
)
=
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
1
(
a
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}(a)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}(a)}
.
Die partiellen Ableitungen der Funktion lauten:
-
∂
f
∂
x
1
(
a
)
=
[
exp
(
x
1
−
x
2
)
⋅
log
(
1
−
x
2
)
]
x
=
(
1
,
0
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})\right]_{x=(1,0)}=0}
-
∂
f
∂
x
2
(
a
)
=
[
−
exp
(
x
1
−
x
2
)
⋅
(
log
(
1
−
x
2
)
+
1
1
−
x
2
)
]
x
=
(
1
,
0
)
=
−
e
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a)=\left[-\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \left(\log(1-x_{2})+{\frac {1}{1-x_{2}}}\right)\right]_{x=(1,0)}=-e}
-
∂
2
f
∂
x
1
2
(
a
)
=
[
exp
(
x
1
−
x
2
)
⋅
log
(
1
−
x
2
)
]
x
=
(
1
,
0
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(a)=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})\right]_{x=(1,0)}=0}
-
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
2
(
a
)
=
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
1
(
a
)
=
[
−
exp
(
x
1
−
x
2
)
⋅
(
log
(
1
−
x
2
)
+
1
1
−
x
2
)
]
x
=
(
1
,
0
)
=
−
e
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}(a)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}(a)=\left[-\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \left(\log(1-x_{2})+{\frac {1}{1-x_{2}}}\right)\right]_{x=(1,0)}=-e}
-
∂
2
f
∂
x
2
2
(
a
)
=
[
exp
(
x
1
−
x
2
)
(
log
(
1
−
x
2
)
+
2
1
−
x
2
−
1
(
1
−
x
2
)
2
)
]
x
=
(
1
,
0
)
=
e
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}(a)=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\left(\log(1-x_{2})+{\frac {2}{1-x_{2}}}-{\frac {1}{(1-x_{2})^{2}}}\right)\right]_{x=(1,0)}=e}
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})\right]_{x=(1,0)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80a34287647244879f4bda63a4390809aa833d72)
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a)=\left[-\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \left(\log(1-x_{2})+{\frac {1}{1-x_{2}}}\right)\right]_{x=(1,0)}=-e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55df47c8d0210eccaca74dfbca03dc43fca5b193)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(a)=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})\right]_{x=(1,0)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5198d1f21234848dbe1c5d6be6e181b9a802a337)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}(a)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}(a)=\left[-\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \left(\log(1-x_{2})+{\frac {1}{1-x_{2}}}\right)\right]_{x=(1,0)}=-e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a0aacab491129d05df9cc391f1ebb60c3f8273)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}(a)=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\left(\log(1-x_{2})+{\frac {2}{1-x_{2}}}-{\frac {1}{(1-x_{2})^{2}}}\right)\right]_{x=(1,0)}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3366467863d74db9df78415e6feb044861bc6964)
Es folgt mit der mehrdimensionalen Taylor-Formel:
-
f
(
x
)
≈
f
(
a
)
+
1
1
!
∂
f
∂
x
1
(
a
)
(
x
1
−
a
1
)
+
1
1
!
∂
f
∂
x
2
(
a
)
(
x
2
−
a
2
)
+
1
2
!
∂
2
f
∂
x
1
2
(
a
)
(
x
1
−
a
1
)
2
+
1
1
!
1
!
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
2
(
a
)
(
x
1
−
a
1
)
(
x
2
−
a
2
)
+
1
2
!
∂
2
f
∂
x
2
2
(
a
)
(
x
2
−
a
2
)
2
=
0
+
0
−
e
(
x
2
−
0
)
+
0
−
e
(
x
1
−
1
)
(
x
2
−
0
)
+
1
2
e
(
x
2
−
0
)
2
=
−
e
x
1
x
2
+
1
2
e
x
2
2
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)\approx &f(a)+{\frac {1}{1!}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)~(x_{1}-a_{1})+{\frac {1}{1!}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a)~(x_{2}-a_{2})\\&+{\frac {1}{2!}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(a)~(x_{1}-a_{1})^{2}+{\frac {1}{1!1!}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}(a)~(x_{1}-a_{1})(x_{2}-a_{2})\\&+{\frac {1}{2!}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}(a)~(x_{2}-a_{2})^{2}\\&=0+0-e(x_{2}-0)+0-e(x_{1}-1)(x_{2}-0)+{\frac {1}{2}}e(x_{2}-0)^{2}\\&=-ex_{1}x_{2}+{\frac {1}{2}}ex_{2}^{2}\end{aligned}}}
Benutzt man die alternative Darstellung mit Hilfe des Gradienten und der Hesse-Matrix, so erhält man:
-
f
(
x
)
≈
f
(
a
)
+
∇
f
(
a
)
T
(
x
−
a
)
+
1
2
(
x
−
a
)
T
H
f
(
a
)
(
x
−
a
)
=
f
(
a
)
+
(
∂
f
∂
x
1
(
a
)
∂
f
∂
x
2
(
a
)
)
(
x
1
−
a
1
x
2
−
a
2
)
+
1
2
(
x
1
−
a
1
x
2
−
a
2
)
(
∂
2
f
∂
x
1
2
(
a
)
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
1
(
a
)
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
2
(
a
)
∂
2
f
∂
x
2
2
(
a
)
)
(
x
1
−
a
1
x
2
−
a
2
)
=
0
+
(
0
−
e
)
(
x
1
−
1
x
2
)
+
1
2
(
x
1
−
1
x
2
)
(
0
−
e
−
e
e
)
(
x
1
−
1
x
2
)
=
−
e
x
1
x
2
+
1
2
e
x
2
2
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&\approx f(a)+\nabla f(a)^{T}(x-a)+{\frac {1}{2}}(x-a)^{T}H_{f}(a)(x-a)\\&=f(a)+{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}-a_{1}\\x_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\\&\qquad +{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}x_{1}-a_{1}&x_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(a)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}(a)\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}(a)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}(a)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}-a_{1}\\x_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\\&=0+{\begin{pmatrix}0&-e\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}-1\\x_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}x_{1}-1&x_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-e\\-e&e\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}-1\\x_{2}\end{pmatrix}}\\&=-ex_{1}x_{2}+{\frac {1}{2}}ex_{2}^{2}\end{aligned}}}
Taylor-Formel für Operatoren auf Banachräumen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Mit überraschend wenig Aufwand lässt sich die Taylor-Formel noch weiter verallgemeinern: Seien
X
,
Y
,
{\displaystyle X,Y,}
![{\displaystyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
-
f
(
a
+
h
)
=
f
(
a
)
+
∑
j
=
1
k
1
j
!
D
j
f
(
a
)
(
h
,
.
.
.
,
h
)
+
R
k
+
1
(
a
,
h
)
{\displaystyle f(a+h)=f(a)+\sum \limits _{j=1}^{k}{\frac {1}{j!}}D^{j}f(a)(h,...,h)+R_{k+1}(a,h)}
Hierbei ist
D
j
f
(
a
)
{\displaystyle D^{j}f(a)}
-
T
R
k
+
1
(
a
,
h
)
=
∫
0
1
(
1
−
t
)
k
k
!
T
D
k
+
1
f
(
a
+
t
h
)
(
h
,
.
.
.
,
h
)
d
t
{\displaystyle TR_{k+1}(a,h)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{k}}{k!}}TD^{k+1}f(a+th)(h,...,h)dt}
Beweis:
Sei
T
∈
Y
∗
{\displaystyle T\in Y^{*}}
![{\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ,t\mapsto Tf(a+th)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef2c82990ba9a89d4650f795dba1092295ec730)
-
γ
(
1
)
=
γ
(
0
)
+
∑
j
=
1
k
γ
j
(
0
)
j
!
(
1
−
0
)
+
∫
0
1
(
1
−
t
)
k
k
!
D
k
+
1
γ
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \gamma (1)=\gamma (0)+\sum \limits _{j=1}^{k}{\frac {\gamma ^{j}(0)}{j!}}(1-0)+\int \limits _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{k}}{k!}}D^{k+1}\gamma (t)dt.}
Mit Hilfe der Kettenregel für die Fréchet-Ableitung folgt hieraus die gewünschte Formel für
T
f
{\displaystyle Tf}
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Otto Forster: Analysis. Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8., verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0088-0 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
- Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7., verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
- Bernhard Heck: Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung. Klassische und moderne Methoden. Wichmann, Karlsruhe 1987, ISBN 3-87907-173-X, Kapitel 4, 7 und 13 (Mathematische Modelle und Grundlagen).
- Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.