Jacobi-Operator

Ein Jacobi-Operator, nach Carl Gustav Jakob Jacobi (1804–1851), ist ein symmetrischer linearer Operator, der auf Folgen operiert und der in der durch Kronecker-Deltas gegebenen Standardbasis durch eine tridiagonale Matrix, die Jacobi-Matrix, dargestellt wird.

Der wichtigste Fall ist der von selbstadjungierten Jacobi-Operatoren im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen über den positiven ganzen Zahlen ℓ 2 ( N ) {\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )} . In diesem Fall ist J : ℓ 2 ( N ) → ℓ 2 ( N ) , f ↦ J f {\displaystyle J:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ),\,f\mapsto J\,f} durch

( J f ) n = { a 1 f 2 + b 1 f 1 , n = 1 , a n f n + 1 + a n − 1 f n − 1 + b n f n , n > 1 , {\displaystyle (J\,f)_{n}={\begin{cases}a_{1}f_{2}+b_{1}f_{1},&n=1,\\a_{n}f_{n+1}+a_{n-1}f_{n-1}+b_{n}f_{n},&n>1,\end{cases}}}

gegeben, wobei die Koeffizienten

a n > 0 , b n ∈ R {\displaystyle a_{n}>0,\quad b_{n}\in \mathbb {R} }

erfüllen. Der zugehörige Operator ist genau dann beschränkt, wenn es die Koeffizienten sind. Im unbeschränkten Fall muss ein geeigneter Definitionsbereich gewählt werden.

Jacobi-Operatoren sind eng mit der Theorie der orthogonalen Polynome verknüpft: Die Lösung P n ( z ) {\displaystyle P_{n}(z)} der Differenzengleichung

J P n ( z ) = z P n ( z ) , P 1 ( z ) = 1 , {\displaystyle J\,P_{n}(z)=z\,P_{n}(z),\qquad P_{1}(z)=1,}

ist ein Polynom vom Grad n {\displaystyle n} und diese Polynome sind orthonormal bezüglich des Spektralmaßes das zum ersten Basisvektor δ 1 , n {\displaystyle \delta _{1,n}} gehört.

Jacobi-Operatoren treten in vielen Bereichen der Mathematik und Physik auf. Der Fall a n = 1 {\displaystyle a_{n}=1} ist als diskreter eindimensionaler Schrödingeroperator bekannt. Sie treten auch im Lax-Paar des Toda-Gitters auf.

• G. Teschl, Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Mathematical Surveys and Monographs 72, Amer. Math. Soc., Providence, 2000. ISBN 0-8218-1940-2 (freie Online-Version)