Subconjunto

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Em teoria dos conjuntos, quando todo elemento de um conjunto A {\displaystyle A} é também elemento de um conjunto B {\displaystyle B} , dizemos que A {\displaystyle A} é um subconjunto de B {\displaystyle B} , denotado A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} (também dito " A {\displaystyle A} é uma parte de B {\displaystyle B} " ou " A {\displaystyle A} está contido em B {\displaystyle B} "). De forma complementar, B {\displaystyle B} é chamado um superconjunto de A {\displaystyle A} , simbolizado como B ⊇ A {\displaystyle B\supseteq A} (também dito " B {\displaystyle B} contém A {\displaystyle A} " ou " B {\displaystyle B} tem A {\displaystyle A} como parte").^[1] Esta relação é conhecida por inclusão de conjuntos. Em linguagem simbólica, utilizando a noção de quantificação universal (∀), temos: A ⊆ B = = d e f ∀ x ( x ∈ A → x ∈ B ) . {\displaystyle A\subseteq B{\stackrel {\mathbf {def} }{=\!=}}\forall x(x\in A\rightarrow x\in B).}

• A inclusão de conjuntos é uma relação reflexiva, ou seja, A ⊆ A {\displaystyle A\subseteq A} qualquer que seja o conjunto A . {\displaystyle A.}

  Realmente, a condicional p → p {\displaystyle p\rightarrow p} é uma tautologia. Assim, x ∈ A → x ∈ A {\displaystyle x\in A\rightarrow x\in A} tanto se x ∈ A {\displaystyle x\in A} como também se x ∉ A . {\displaystyle x\not \in A.} E, por definição, ∀ x ( x ∈ A → x ∈ A ) ⇒ A ⊆ A . {\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow x\in A)\Rightarrow A\subseteq A.}

• A inclusão de conjuntos é uma relação transitiva, ou seja, se A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} e B ⊆ C , {\displaystyle B\subseteq C,} então A ⊆ C . {\displaystyle A\subseteq C.}

  Se A = ∅ , {\displaystyle A=\varnothing ,} A ⊆ C {\displaystyle A\subseteq C} (e assumir que B ⊆ C {\displaystyle B\subseteq C} é irrelevante). Então, assuma que A ≠ ∅ {\displaystyle A\neq \varnothing } e seja x ∈ A . {\displaystyle x\in A.} Por hipótese, A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} e, pela definição de inclusão, x ∈ B . {\displaystyle x\in B.} Assim, B ≠ ∅ . {\displaystyle B\neq \varnothing .} Também por hipótese B ⊆ C , {\displaystyle B\subseteq C,} isto é, se y ∈ B {\displaystyle y\in B} também y ∈ C . {\displaystyle y\in C.} Em particular, para y = x {\displaystyle y=x} temos x ∈ C . {\displaystyle x\in C.} Como x ∈ A {\displaystyle x\in A} era arbitrário, todo elemento de A {\displaystyle A} é também elemento de C , {\displaystyle C,} ou seja, A ⊆ C . {\displaystyle A\subseteq C.}

• A inclusão de conjuntos é uma relação antissimétrica, ou seja, se A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} e B ⊆ A , {\displaystyle B\subseteq A,} então A = B . {\displaystyle A=B.}

  De fato, isto é o que diz o axioma da extensão.

• Pelas três propriedades acima, dado um conjunto não-vazio A {\displaystyle A} e uma coleção C {\displaystyle {\mathcal {C}}} de subconjuntos de A , {\displaystyle A,} a relação de inclusão ⊆ {\displaystyle \subseteq } é uma relação de ordem parcial em C . {\displaystyle {\mathcal {C}}.}

  A inclusão de conjuntos é a relação de ordem parcial canônica — no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado (X, ⪯ {\displaystyle \preceq } ) é isomorfo a alguma coleção de conjuntos ordenada pela inclusão. Os números ordinais constituem um exemplo simples — se cada ordinal n {\displaystyle n} é identificado com o conjunto [ n ] {\displaystyle [n]} de todos os ordinais menores ou igual a n , {\displaystyle n,} então a ≤ b {\displaystyle a\leq b} se e somente se [ a ] ⊆ [ b ] . {\displaystyle [a]\subseteq [b].}

Dizemos que um conjunto B {\displaystyle B} é um subconjunto próprio de um conjunto A {\displaystyle A} se B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} ( B {\displaystyle B} é subconjunto de A {\displaystyle A} ) e B ≠ A {\displaystyle B\neq A} ( B {\displaystyle B} é diferente de A {\displaystyle A} ). Explicitamos este fato com a notação especial B ⊊ A ; {\displaystyle B\subsetneq A;} ou ainda A ⊋ B {\displaystyle A\supsetneq B} (lê-se: A é um superconjunto próprio de B). Isto quer dizer que B {\displaystyle B} está estritamente contido em A , {\displaystyle A,} ou seja, existe pelo menos um x ∈ A {\displaystyle x\in A} tal que x ∉ B . {\displaystyle x\not \in B.} Em particular, o conjunto vazio é um subconjunto próprio de todo conjunto não-vazio. E, evidentemente, A {\displaystyle A} é o único subconjunto de um conjunto A ≠ ∅ {\displaystyle A\neq \varnothing } que não é próprio. Assim, dizemos que A {\displaystyle A} é um subconjunto impróprio (superconjunto impróprio) de A . {\displaystyle A.}

• O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto dado.
• O conjunto {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3}.
• O conjunto {x : x é um número primo maior do que 10} é um subconjunto próprio de {x : x é um número ímpar maior do que 10}.
• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade.
• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.

• Conjunto potência
• Função inclusão

• Jech, Thomas (2002). Set Theory. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2 

• "Subset", "Superset", "Proper Subset" e "Improper Subset" in MathWorld (em inglês)
• "Subset" in ProofWiki (em inglês)

• Portal da matemática