Complementar

Em teoria dos conjuntos, o complementar de um subconjunto A {\displaystyle A\,} se refere a elementos que não estão no conjunto A {\displaystyle A\,} . Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo U {\displaystyle U\,} , sendo o conjunto A c {\displaystyle A^{c}\,} o complementar de A {\displaystyle A\,} formado pelos elementos de U {\displaystyle U\,} que não pertencem a A {\displaystyle A\,} . De maneira mais geral, define-se o complementar de A {\displaystyle A\,} em relação a B {\displaystyle B\,} , também chamado de diferença de conjuntos, como o conjunto dos elementos de B {\displaystyle B\,} que não estão em A {\displaystyle A\,} .

Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B ^[1], também conhecido como diferença de B e A ^[2], é o conjunto de elementos de B que não estão em A.

A diferença de B para A é geralmente denotada B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} . Às vezes é escrito  B − A {\displaystyle B-A} , mas esta notação é ambígua, já que, em alguns contextos, pode ser interpretada como o conjunto de todos os elementos de b - a, onde b é tomado a partir de B e a a partir de A.

Formalmente:

B ∖ A = { x ∈ B ∣ x ∉ A } . {\displaystyle B\setminus A=\{x\in B\mid x\notin A\}.}

• { 1 , 2 , 3 } ∖ { 2 , 3 , 4 } = { 1 } {\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}} .

• { 2 , 3 , 4 } ∖ { 1 , 2 , 3 } = { 4 } {\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}} .

• Se  R {\displaystyle \mathbb {R} }  é o conjunto de números reais e  Q {\displaystyle \mathbb {Q} }  é o conjunto dos números racionais, então  R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }  é o conjunto dos números irracionais.

Sejam A, B e C três conjuntos. As seguintes identidades mostram propriedades importantes da diferença de conjuntos, que podem ser demonstradas com poucos passos usando a própria definição de diferença de conjuntos, junto com as Leis de De Morgan:

• C ∖ ( A ∩ B ) = ( C ∖ A ) ∪ ( C ∖ B ) {\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)} ;

• C ∖ ( A ∪ B ) = ( C ∖ A ) ∩ ( C ∖ B ) = ( C ∖ A ) ∖ B = ( C ∖ B ) ∖ A {\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)=(C\setminus A)\setminus B=(C\setminus B)\setminus A} ;
• ( A ∪ B ) ∖ C = ( A ∖ C ) ∪ ( B ∖ C ) {\displaystyle (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)} ;
• C ∖ ( B ∖ A ) = ( C ∩ A ) ∪ ( C ∖ B ) {\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)} ;
• Com o caso especialmente importante de que C ∖ ( C ∖ A ) = ( C ∩ A ) {\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}  demonstrando que a interseção pode ser expressa usando apenas a operação de diferença de conjuntos;
• ( B ∖ A ) ∩ C = ( B ∩ C ) ∖ A = B ∩ ( C ∖ A ) {\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)} ;
• ( B ∖ A ) ∪ C = ( B ∪ C ) ∖ ( A ∖ C ) {\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)} ;
• A ∖ A = ∅ {\displaystyle A\setminus A=\emptyset } ;
• ∅ ∖ A = ∅ {\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset } ;
• A ∖ ∅ = A {\displaystyle A\setminus \emptyset =A} .

Se A é um conjunto, então o complementar de A é o conjunto de elementos que não estão em A. Em outras palavras, se U é o universo que contém todos os conjuntos que estão sendo estudados no problema de modo que não é necessário mencioná-lo quando ele é óbvio e único, então o complementar de A é a diferença entre os conjuntos U e A, sendo representado normalmente como:

A ∁ = U ∖ A {\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A} .

Formalmente:

A ∁ = { x ∈ U ∣ x ∉ A } . {\displaystyle A^{\complement }=\{x\in U\mid x\notin A\}.}

Outras notações incluem A c {\displaystyle A^{c}} , A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} , A ′ {\displaystyle A'} , ∁ U A {\displaystyle \complement _{U}A} , e ∁ A {\displaystyle \complement A} .^[3]

• Assuma que o universo é o conjunto dos inteiros. Se A é o conjunto dos números ímpares, então o complementar de A é o conjunto de números pares. Se B é o conjunto de múltiplos de 3, então o complementar de B é o conjunto de números congruentes a 1 ou 2 módulo 3.

• Assuma que o universo é um baralho padrão de 52 cartas. Se o conjunto A é o naipe de espadas, então o complementar de A é a união do naipe de copas, paus, e ouros.

Sejam A e B dois conjuntos no universo U. As seguintes identidades mostram propriedades importantes de complementares:

Teoremas de De Morgan:^[1]

• ( A ∪ B ) ∁ = A ∁ ∩ B ∁ . {\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.}
• ( A ∩ B ) ∁ = A ∁ ∪ B ∁ . {\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.}

Leis de complementar:^[1]

• A ∪ A ∁ = U . {\displaystyle A\cup A^{\complement }=U.}
• A ∩ A ∁ = ∅ . {\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing .}
• ∅ ∁ = U . {\displaystyle \varnothing ^{\complement }=U.}
• U ∁ = ∅ . {\displaystyle U^{\complement }=\varnothing .}
• Se  A ⊂ B , então  B ∁ ⊂ A ∁ . {\displaystyle {\text{Se }}A\subset B{\text{, então }}B^{\complement }\subset A^{\complement }.}

Involução ou lei do duplo complementar:

• ( A ∁ ) ∁ = A . {\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.}

Relações entre o complementar e a diferença de conjuntos:

• A ∖ B = A ∩ B ∁ . {\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }.}
• ( A ∖ B ) ∁ = A ∁ ∪ B . {\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B.}
• A ∁ ∖ B ∁ = B ∖ A . {\displaystyle A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.}

As duas primeiras leis acima mostram que se A é não-vazio, subconjunto próprio de U, então {A, A^c} é uma partição de U.

Na linguagem de diagramação de textos LaTeX, o comando \setminus^[4] é normalmente o utilizado para representar o símbolo de diferença de conjuntos, similar ao comando backslash. Existe também um variante \smallsetminus disponível no pacote amssymb.

Algumas linguagens de programação permitem a manipulação de conjuntos como estruturas de dados, usar estes operadores como função para construir a diferença entre dois conjuntos a e b:

.NET Framework

a.Except(b);

C++

set_difference(a.begin(), a.end(), b.begin(), b.end(), result.begin());

Clojure

(clojure.set/difference a b)^[5]

Common Lisp

set-difference, nset-difference^[6]

F#

Set.difference a b^[7]

or

a - b^[8]

Falcon

diff = a - b^[9]

Haskell

difference a b

a \\ b^[10]

Java

diff = a.clone();

diff.removeAll(b);^[11]

Julia

setdiff^[12]

Mathematica

Complement^[13]

MATLAB

setdiff^[14]

OCaml

Set.S.diff^[15]

Octave

setdiff^[16]

PARI/GP

setminus^[17]

Pascal

SetDifference := a - b;

Perl 5

# for perl version >= 5.10
@a = grep {not $_ ~~ @b} @a;

Perl 6

$A ∖ $B
$A (-) $B # texas version

PHP

array_diff($a, $b);^[18]

Prolog

a(X),\+ b(X).

Python

diff = a.difference(b)^[19]

diff = a - b^[19]

R

setdiff^[20]

Racket

(set-subtract a b)^[21]

Ruby

diff = a - b^[22]

Scala

a.diff(b)^[23]

or

a -- b^[23]

Smalltalk (Pharo)

a difference: b

SQL

SELECT * FROM A
EXCEPT
SELECT * FROM B

Unix shell

comm -23 a b^[24]

• Conjunto
• Teoria ingênua dos conjuntos
• Diferença simétrica

• Weisstein, Eric W. «Complement». MathWorld (em inglês) 
• Weisstein, Eric W. «Complement Set». MathWorld (em inglês)