Rotacja

Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy w teorii pola, który działając na pole wektorowe tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez rot {\displaystyle \operatorname {rot} } lub curl {\displaystyle \operatorname {curl} } (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako d F . {\displaystyle dF.} ^[1].

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe ma potencjał (i odwrotnie: pole dla którego nie można określić potencjału jest polem wirowym).

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla ∇ {\displaystyle \nabla } i wektora F : {\displaystyle \mathbf {F} {:}}

B = rot ⁡ ( F ) = ∇ × F . {\displaystyle \mathbf {B} =\operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} .}

W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:

d ( G ∘ F ) = i rot ⁡ ( F ) Ω , {\displaystyle d(G\circ F)=i_{\operatorname {rot} (F)}\Omega ,}

gdzie:

( G ∘ F ) = g ( F , ∙ ) , {\displaystyle (G\circ F)=g(F,\bullet ),}

g {\displaystyle g} – tensor metryczny,

i rot ⁡ ( F ) Ω {\displaystyle i_{\operatorname {rot} (F)}\Omega } – zwężenie formy objętości Ω {\displaystyle \Omega } z rot(F).

W kartezjańskim układzie współrzędnych F = [ F x , F y , F z ] {\displaystyle F=[F_{x},F_{y},F_{z}]} mamy więc

[ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ] × F = [ ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial y}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial z}}\end{bmatrix}}\times F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}}.}

Notacja macierzowa

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

| i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z | , {\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}},}

gdzie i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } są wersorami osi x , y , z {\displaystyle x,y,z} układu współrzędnych.

Całość rozpisujemy w następujący sposób:

( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) i + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) j + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) k . {\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}

W układzie współrzędnych walcowych^[2]:

∇ × F ( ρ , φ , z ) = ( 1 ρ ∂ F z ∂ φ − ∂ F φ ∂ z ) e ρ + ( ∂ F ρ ∂ z − ∂ F z ∂ ρ ) e φ + ( 1 ρ ∂ ρ F φ ∂ ρ − 1 ρ ∂ F ρ ∂ φ ) e z {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\rho ,\varphi ,z)=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{\rho }+\left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right)\mathbf {e} _{\varphi }+\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho F_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \varphi }}\right)\mathbf {e} _{z}}

W układzie współrzędnych sferycznych^[2]:

∇ × F ( r , φ , θ ) = [ 1 r sin ⁡ θ ( ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ F φ ) − ∂ F θ ∂ φ ) ] e r + [ 1 r ∂ ( r F θ ) ∂ r − 1 r ∂ F r ∂ θ ] e φ + [ 1 r sin ⁡ θ ∂ F r ∂ φ − 1 r ( ∂ ∂ r ( r F φ ) ) ] e θ {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (r,\varphi ,\theta )=\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta F_{\varphi })-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)\right]\mathbf {e} _{r}+\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rF_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right]\mathbf {e} _{\varphi }+\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{\varphi })\right)\right]\mathbf {e} _{\theta }}

W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:

∇ × F → = 1 det g ε i j k ( ∂ F j ∂ ξ i − Γ ℓ i j F ℓ ) e → k . {\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\varepsilon ^{ijk}({\frac {\partial F_{j}}{\partial \xi ^{i}}}-{\Gamma ^{\ell }}_{ij}F_{\ell }){\vec {e}}_{k}.}

Oznaczając przez F , G {\displaystyle F,G} pola wektorowe, przez f {\displaystyle f} pole skalarne dla a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } zachodzą następujące własności:

• rotacja jest operatorem liniowym dla liczb rzeczywistych

∇ × ( a F + b G ) = a ∇ × F + b ∇ × G , {\displaystyle \nabla \times (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\nabla \times \mathbf {F} +b\nabla \times \mathbf {G} ,}

• rotacja gradientu jest zerowa

∇ × ∇ f = 0 , {\displaystyle \nabla \times \nabla f=\mathbf {0} ,}

• rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:

∇ × ( f F ) = ∇ f × F + f ∇ × F , {\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {F} )=\nabla f\times \mathbf {F} +f\nabla \times \mathbf {F} ,}

• rotacja z iloczynu wektorowego dwóch pól wektorowych:

∇ × ( F × G ) = ( G ⋅ ∇ ) F − ( F ⋅ ∇ ) G + F ( ∇ ⋅ G ) − G ( ∇ ⋅ F ) , {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\mathbf {G} \cdot \nabla )\mathbf {F} -(\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {G} +\mathbf {F} (\nabla \cdot \mathbf {G} )-\mathbf {G} (\nabla \cdot \mathbf {F} ),}

• rotacja z rotacji pola wektorowego F : {\displaystyle F{:}}

∇ × ( ∇ × F ) = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − Δ F , {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\Delta \mathbf {F} ,}

• każde pole o zerowej rotacji ( ∇ × F = 0 ) {\displaystyle (\nabla \times F=0)} można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że F = − ∇ V {\displaystyle F=-\nabla V} ); zob. twierdzenie Helmholtza.

• Curl (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].