Tensor metryczny

Tensor metryczny – tensor drugiego rzędu (o dwóch indeksach), symetryczny, charakterystyczny dla danego układu współrzędnych. Jest podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej, znajduje zastosowanie np. w elektrodynamice, w ogólnej teorii względności i innych teoriach, korzystających z geometrii różniczkowej.

Tensor metryczny można zdefiniować na dwa sposoby:

• za pomocą iloczynu skalarnego,
• za pomocą elementu liniowego.

W artykule opisano oba sposoby.

Niech x i , i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle x^{i},i=1,2,\dots ,n} oznaczają współrzędne (na ogół krzywoliniowe), zdefiniowane na rozmaitości M , {\displaystyle M,} przy czym n {\displaystyle n} jest wymiarem rozmaitości. Wektory styczne do linii współrzędnych oblicza się ze wzoru

e i = ∂ x ∂ x i , i = 1 , 2 , … , n , {\displaystyle e_{i}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial x^{i}}},\quad i=1,2,\dots ,n,}

gdzie x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x^{1},\dots ,x^{n})} jest wektorem wodzącym punktu na rozmaitości. Wektory te definiują lokalną bazę, określoną dla przestrzeni stycznej T M x {\displaystyle TM_{x}} w punkcie x {\displaystyle x} rozmaitości M . {\displaystyle M.} (Odtąd będziemy skrótowo mówić „punkt x {\displaystyle x} ” zamiast „punkt o wektorze wodzącym x {\displaystyle x} ”. Zauważmy jednak, że wektor wodzący zależy od przyjętego początku układu współrzędnych, punkt zaś jest niezależnym od tego wyboru elementem rozmaitości.) Dla każdego punktu rozmaitości da się określić lokalną, unikalną bazę.

Niech dana będzie n-wymiarowa rozmaitość różniczkowa M {\displaystyle M} ze zdefiniowanym w niej iloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny jest symetrycznym, dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym^[1] φ : M × M → K , {\displaystyle \varphi \colon M\times M\to K,} gdzie K = R {\displaystyle K=R} lub K = C {\displaystyle K=C} (ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Tensor metryczny rozmaitości definiuje się poprzez iloczyny skalarne wektorów bazy układu współrzędnych (w ogólności współrzędnych krzywoliniowych), tj.:

g i j = e i e j , i , j = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle g_{ij}=e_{i}e_{j},\quad i,j=1,2,\dots ,n.}

Tensor ten ma więc n × n {\displaystyle n\times n} elementów. Jest to postać kowariantna (o dolnych indeksach) tensora.

Postać kontrawariantną (o górnych indeksach) otrzymuje się jako macierz odwrotną z macierzy ( g i j ) , {\displaystyle (g_{ij}),} czyli:

( g i j ) = ( g i j ) − 1 . {\displaystyle (g^{ij})=(g_{ij})^{-1}.}

Współrzędne g i j {\displaystyle g_{ij}} tensora metrycznego są więc równe iloczynom skalarnym wektorów bazowych e i , e j {\displaystyle e_{i},e_{j}} lokalnego układu współrzędnych^[2].

Aby obniżyć wskaźniki dowolnego wektora trzeba pomnożyć go przez tensor metryczny g i j {\displaystyle g_{ij}}

A i = g i j A j {\displaystyle A_{i}=g_{ij}A^{j}}

– przy czym sumuje się po powtarzającym się indeksie j = 1 , … , n . {\displaystyle j=1,\dots ,n.}

Aby podwyższyć wskaźniki, trzeba wykorzystać tensor g i j : {\displaystyle g^{ij}{:}}

A i = g i j A j . {\displaystyle A^{i}=g^{ij}A_{j}.}

Iloczyn skalarny dowolnych dwóch wektorów wyraża się przez tensor metryczny i współrzędne wektorów w jeden z trzech równoważnych sposobów:

• A ⋅ B = g i j A i B j , {\displaystyle A\cdot B=g_{ij}A^{i}B^{j},}
• A ⋅ B = A i B i , {\displaystyle A\cdot B=A^{i}B_{i},}
• A ⋅ B = A i B i , {\displaystyle A\cdot B=A_{i}B^{i},}

gdzie:

g i j {\displaystyle g_{ij}} – tensor metryczny,

A i , B i {\displaystyle A^{i},B^{i}} – współrzędne kontrawariantne (o górnych indeksach) wektorów A , B , {\displaystyle A,B,}

A i , B i {\displaystyle A_{i},B_{i}} – współrzędne kowariantne (o dolnych indeksach) wektorów A , B . {\displaystyle A,B.}

Dla przestrzeni euklidesowej mamy: g i i = 1 , {\displaystyle g_{ii}=1,} g i j = 0. {\displaystyle g_{ij}=0.} Wtedy współrzędne kowariantne równe są kontrawariantnym oraz

A ⋅ B = A i B i = A i B i = A i B i . {\displaystyle A\cdot B=A^{i}B^{i}=A^{i}B_{i}=A_{i}B^{i}.}

Dowód:

• e i e j = g i j {\displaystyle e_{i}e_{j}=g_{ij}} – wartość iloczynu skalarnego wektorów bazy e i , e j , {\displaystyle e_{i},e_{j},}
• A = ∑ i = 1 n A i e i , {\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}A^{i}e_{i},} B = ∑ j = 1 n B j e j {\displaystyle B=\sum _{j=1}^{n}B^{j}e_{j}} – zapis wektorów A , B {\displaystyle A,B} w bazie { e i } . {\displaystyle \{e_{i}\}.}

Stąd otrzymamy:

A ⋅ B = ( ∑ i = 1 n A i e i ) ( ∑ j = 1 n B j e j ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n   e i e j A i B j = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n g i j A i B j . {\displaystyle A\cdot B=\left(\sum _{i=1}^{n}A^{i}e_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}B^{j}e_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\ e_{i}e_{j}A^{i}B^{j}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}A^{i}B^{j}.}

Stosując konwencję sumacyjną oraz zasady podwyższania/obniżania wskaźników, otrzymamy:

A ⋅ B = g i j A i B j = A j B j = A i B i , {\displaystyle A\cdot B=g_{ij}A^{i}B^{j}=A_{j}B^{j}=A^{i}B_{i},} c.n.d.

(1) Niech będą dane dwa układy współrzędnych w n-wymiarowej rozmaitości różniczkowej:

• kartezjański { x i } i = 1 n , {\displaystyle \{x^{i}\}_{i=1}^{n},}
• krzywoliniowy { q i } i = 1 n . {\displaystyle \{q^{i}\}_{i=1}^{n}.}

(2) Definiujmy element liniowy jako^[3] 

d s 2 = ( d x 1 ) 2 + … + ( d x n ) 2 = ∑ i = 1 n ( d x i ) 2 . {\displaystyle ds^{2}=(dx^{1})^{2}+\ldots +(dx^{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}.}

(3) Można przejść od układu współrzędnych kartezjańskich do układu współrzędnych krzywoliniowych za pomocą transformacji:

x i = x i ( q 1 , … , q n ) ,   i = 1 , 2 , … , n , {\displaystyle x^{i}=x^{i}(q^{1},\dots ,q^{n}),\ i=1,2,\dots ,n,}

gdzie x i ( q 1 , … , q n ) {\displaystyle x^{i}(q^{1},\dots ,q^{n})} – funkcje wyrażające współrzędne kartezjańskie przez krzywoliniowe.

(4) Jeżeli każda funkcja x i ( q 1 , … , q n ) {\displaystyle x^{i}(q^{1},\dots ,q^{n})} ma ciągłe pochodne względem wszystkich swoich argumentów, to ze wzoru na różniczkę zupełną otrzymamy

d x i = ∑ j = 1 n ∂ x i ∂ q j d q j . {\displaystyle dx^{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}dq^{j}.}

(5) Wstawiając te różniczki do wzoru na element liniowy otrzymamy

d s 2 = ∑ i = 1 n ( d x i ) 2 = ∑ i = 1 n ( ∑ j = 1 n ∂ x i ∂ q j d q j ) ( ∑ k = 1 n ∂ x i ∂ q k d q k ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n ∂ x i ∂ q j ∂ x i ∂ q k d q j d q k . {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}dq^{j}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}dq^{k}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}.}

(6) Tensorem metrycznym nazywa się występujące w powyższym wzorze wielkości^[4] 

g j k ≡ ∑ i = 1 n ∂ x i ∂ q j ∂ x i ∂ q k {\displaystyle g_{jk}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}}

(7) Wzór na element liniowy we współrzędnych krzywoliniowych przyjmie postać (przy czym zmieniono nazwy indeksów sumacyjnych)

d s 2 = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n g i j d q i d q j . {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}dq^{i}dq^{j}.}

(8) Stosując konwencję sumacyjną Einsteina, otrzymuje się uproszczony zapis

d s 2 = g i j d q i d q j . {\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}.}

(9) Uwaga:

Powyżej wyprowadzony wzór na tensor metryczny

g j k ≡ ∑ i = 1 n ∂ x i ∂ q j ∂ x i ∂ q k {\displaystyle g_{jk}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}}

jest równoważny definicji tensora metrycznego za pomocą iloczynów skalarnych wektorów bazy

g j k = e j e k , j , k = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle g_{jk}=e_{j}e_{k},\quad j,k=1,2,\dots ,n.}

Dowód:

Korzystając z definicji wektorów e i , e j {\displaystyle e_{i},e_{j}} i rozkładając je w bazie kartezjańskiej mamy

e j = ∂ x ∂ q j = ∑ i n ∂ x i ∂ q j x ^ i {\displaystyle e_{j}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{j}}}=\sum _{i}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\hat {x}}_{i}}

e k = ∂ x ∂ q k = ∑ l n ∂ x l ∂ q k x ^ l {\displaystyle e_{k}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{k}}}=\sum _{l}^{n}{\frac {\partial x^{l}}{\partial q^{k}}}{\hat {x}}_{l}}

gdzie x ^ i , x ^ l {\displaystyle {\hat {x}}_{i},{\hat {x}}_{l}} – wersory układu kartezjańskiego, takie że x ^ i x ^ l = δ i , l . {\displaystyle {\hat {x}}_{i}{\hat {x}}_{l}=\delta _{i,l}.} Mnożąc powyższe wyrażenia przez siebie otrzyma się

e j e k = ∂ x ∂ q j ∂ x ∂ q k = ∑ i = 1 n ∂ x i ∂ q j x ^ i ∑ l = 1 n ∂ x l ∂ q k x ^ l = ∑ i = 1 n ∂ x i ∂ q j ∂ x i ∂ q k {\displaystyle e_{j}e_{k}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{k}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\hat {x}}_{i}\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial x^{l}}{\partial q^{k}}}{\hat {x}}_{l}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}}

przy czym w ostatnim wzorze wykorzystano ortogonalność bazy kartezjańskiej, cnd.

Tensor metryczny pozwala obliczyć iloczyn skalarny dowolnych wektorów. W szczególności obliczymy iloczyn skalarny wektora nieskończenie małego przesunięcia. Niech:

• e i = ∂ x ∂ x i , i = 1 , … , n {\displaystyle e_{i}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial x^{i}}},\,\,i=1,\dots ,n} – wektor bazy układu współrzędnych w kierunku współrzędnej x i {\displaystyle x_{i}} ^[1],
• d x = ( d x 1 , … , d x n ) {\displaystyle d\mathbf {x} =(dx^{1},\dots ,dx^{n})} – wektor nieskończenie małego przesunięcia w przestrzeni zapisany w tej bazie.

Ponieważ ( d x 1 , … , d x n ) = ∑ i = 1 n d x i e i , {\displaystyle (dx^{1},\dots ,dx^{n})=\sum _{i=1}^{n}dx^{i}e_{i},} to kwadrat długości wektora d x {\displaystyle d\mathbf {x} } wynosi:

d s 2 ≡ d x 2 = d x   d x = , {\displaystyle ds^{2}\equiv d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {x} \ d\mathbf {x} =,}

= ( ∑ i = 1 n d x i e i ) ( ∑ j = 1 n d x j e j ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n e i e j   d x i d x j = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n g i j d x i d x j . {\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}dx^{i}e_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}dx^{j}e_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}e_{i}e_{j}\ dx^{i}dx^{j}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}.}

Korzystając z konwencji sumacyjnej Einsteina mamy ostatecznie:

d s 2 = g i j d x i d x j . {\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}.}

(1) Tensor metryczny definiuje się tak, że jest on zawsze symetryczny, tj.

g i j = g j i . {\displaystyle g_{ij}=g_{ji}.}

Jest to możliwe, gdyż w wyrażeniu d s 2 = ∑ i = 1 ∑ j = 1 g i j d x i d x j {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}\sum _{j=1}g_{ij}dx^{i}dx^{j}} dla każdej pary wskaźników i , j {\displaystyle i,j} mamy sumę dwóch wyrazów:

g i j d x i d x j + g j i d x j d x i {\displaystyle g_{ij}dx^{i}dx^{j}+g_{ji}dx^{j}dx^{i}} = ( g j i + g j i ) d x i d x j . {\displaystyle (g_{ji}+g_{ji})dx^{i}dx^{j}.}

Gdyby g i j ≠ g j i , {\displaystyle g_{ij}\neq g_{ji},} to można dokonać symetryzacji przyjmując nowe wartości g i j n o w e = g j i n o w e = g i j + g j i 2 . {\displaystyle g_{ij}^{nowe}=g_{ji}^{nowe}={\frac {g_{ij}+g_{ji}}{2}}.}

(2) Ponieważ tensor o górnych wskaźnikach otrzymuje się dokonując obliczenia macierzy odwrotnej do macierzy ( g i j ) , {\displaystyle (g_{ij}),} to implikuje to natychmiast, że tensor g i j {\displaystyle g^{ij}} jest symetryczny, tj.

g i j = g j i . {\displaystyle g^{ij}=g^{ji}.}

Z tensora g i j {\displaystyle g_{ij}} można otrzymać tensory g   j i {\displaystyle g_{\ j}^{i}} oraz g j   i {\displaystyle g_{j}^{\ i}} odpowiednio przez podwyższenie pierwszego lub drugiego wskaźnika:

g   j i = g i k g k j , {\displaystyle g_{\ j}^{i}=g^{ik}g_{kj},}

g j   i = g k i g j k . {\displaystyle g_{j}^{\ i}=g^{ki}g_{jk}.}

Ponieważ tensory g i j {\displaystyle g_{ij}} oraz g i j {\displaystyle g^{ij}} są symetryczne, to g i k g k j = g k i g j k {\displaystyle g^{ik}g_{kj}=g^{ki}g_{jk}} i z powyższych dwóch wzorów otrzymamy:

g   j i = g j   i , {\displaystyle g_{\ j}^{i}=g_{j}^{\ i},}

co oznacza, że istnieje symetria związaną z zamianą wskaźników góra-dół na dół-góra tensora metrycznego.

Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować wtedy można współczynniki Lamego:

h i 2 = g i i {\displaystyle h_{i}^{2}=g_{ii}} (nie ma sumowania).

Element liniowy 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach, translacjach, odbiciach układu współrzędnych, tj. odległości punktów P 1 {\displaystyle P_{1}} i P 2 {\displaystyle P_{2}} obliczone w danym układzie i po dokonaniu transformacji

d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 , {\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}

oraz

d s ′ 2 = d x ′ 2 + d y ′ 2 + d z ′ 2 . {\displaystyle ds^{'2}=dx^{'2}+dy^{'2}+dz^{'2}.}

będą identyczne. Z tego względu d s 2 {\displaystyle ds^{2}} stanowi niezmiennik geometrii. Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:

g i j = g j i = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) . {\displaystyle g_{ij}=g^{ji}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}

Można pokazać, że dowolna transformacja z wyżej wymienionych, np. obrót układu współrzędnych, nie zmienia tensora metrycznego.

Element liniowy n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach i translacjach układu współrzędnych, tj.

d s 2 = ( d x 1 ) 2 + … + ( d x n ) 2 . {\displaystyle ds^{2}=(dx^{1})^{2}+\ldots +(dx^{n})^{2}.}

Stąd tensor metryczny ma postać diagonalną:

g i j = δ i j = g i j , {\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}=g^{ij},}

gdzie:

δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} – delta Kroneckera.

Z postaci tego tensora wynika też, że w n-wymiarowym układzie kartezjańskim współrzędne kontra- i kowariantne są takie same.

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni (opisywanej przez szczególną teorię względności) interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Niezmienniczość ta jest konsekwencją postulatu Einsteina o identyczności prędkości światła we wszystkich układach nieinercjalnych i stanowi punkt wyjścia teorii względności: mierząc odległości czasowe i przestrzenne impulsu światła, rozchodzącego się między danymi dwoma obiektami w danym układzie i układzie poruszającym się otrzymamy identyczne wartości, tj. jeśli w dwóch poruszających się względem siebie układach obliczy się interwały

d s 2 = c 2 d t 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 , {\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},}

d s ′ 2 = c 2 d t ′ 2 − d x ′ 2 − d y ′ 2 − d z ′ 2 , {\displaystyle ds^{'2}=c^{2}dt^{'2}-dx^{'2}-dy^{'2}-dz^{'2},}

to wyniki te będą identyczne, tj.

d s 2 = d s ′ 2 . {\displaystyle ds^{2}=ds^{'2}.}

mimo że wielkości d t , d x , d y , d z {\displaystyle dt,dx,dy,dz} oraz d t ′ , d x ′ , d y ′ , d z ′ {\displaystyle dt',dx',dy',dz'} w ogólności będą się różnić. Fakt, iż powyższa wielkość jest niezmiennikiem implikuje, że geometria rzeczywistego świata fizycznego jest geometrią nieeuklidesową: czas i przestrzeń wiążą się ze sobą nierozerwalnie w czasoprzestrzeń, wielkość d s = d s ′ {\displaystyle ds=ds'} stanowi element liniowy geometrii czasoprzestrzeni, niezmienniczy względem transformacji Lorentza.

Wektor położenia punktu w czasoprzestrzeni – to 4-wektor, mający współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne. W mechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać 4-wektory i tensory za pomocą indeksów greckich, np. μ , ν . {\displaystyle \mu ,\nu .}

Stosując tę konwencję przyjmuje się następujące indeksowanie współrzędnych: x 0 = c t , x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z . {\displaystyle x^{0}=ct,x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z.} Wtedy niezmiennik przyjmie postać:

d s 2 = ( d x 0 ) 2 − ( d x 1 ) 2 − ( d x 2 ) 2 − ( d x 3 ) 2 . {\displaystyle ds^{2}=(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}.}

Z postaci niezmiennika d s 2 {\displaystyle ds^{2}} natychmiast wynika postać tensora metrycznego:

g μ ν = g μ ν = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle g_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}

Tensor ten implikuje, że 4-wymiarowa czasoprzestrzeń (przestrzeń Minkowskiego) jest przestrzenią płaską (niezakrzywioną). Nie jest to jednak przestrzeń euklidesową, ze względu na przeciwne znaki przy trzech współrzędnych (przestrzennych) w relacji do współrzędnej czasowej. Przestrzeń taką nazywa przestrzenią pseudoeuklidesową.

W ogólnej teorii względności rozważa się inne tensory metryczne opisujące zakrzywienie przestrzeni, np. dla metryki Schwarzschilda we współrzędnych ( c t , r , θ , ϕ ) {\displaystyle (ct,r,\theta ,\phi )} tensor ten ma postać:

g μ ν = ( 1 − r s r 0 0 0 0 − 1 1 − r s r 0 0 0 0 − r 2 0 0 0 0 − r 2 sin 2 ⁡ θ ) {\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1-{\frac {r_{s}}{r}}&0&0&0\\0&-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}

Współrzędne sferyczne ( r , ϕ , θ ) {\displaystyle (r,\phi ,\theta )} są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:

{ x = r cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ , y = r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , z = r cos ⁡ θ . {\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \phi \sin \theta ,\\y=r\sin \phi \sin \theta ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}

Aby obliczyć tensor metryczny kowariantny w układzie współrzędnych sferycznych można

1) albo obliczyć najpierw bazę wektorów stycznych e r , e θ , e ϕ {\displaystyle e_{r},e_{\theta },e_{\phi }} do krzywych współrzędnych, a następnie obliczyć ich iloczyny skalarne

2) albo wykorzystać bezpośrednio wzór g j k = ∑ i = 1 n ∂ x i ∂ q j ∂ x i ∂ q k , {\displaystyle g_{jk}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}},} przyjmując

x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z {\displaystyle x_{1}=x,\,\,x_{2}=y,\,\,x_{3}=z}

oraz

q 1 = r , q 2 = ϕ , q 3 = θ {\displaystyle q_{1}=r,\,\,q_{2}=\phi ,\,\,q_{3}=\theta }

Z obliczeń otrzyma się:

g i j = ( 1 0 0 0 r 2 sin 2 ⁡ θ 0 0 0 r 2 ) {\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}\sin ^{2}\theta &0\\0&0&r^{2}\end{pmatrix}}}

Tensor metryczny kontrawariantny otrzyma się obliczając macierz odwrotną do macierzy g i j {\displaystyle g_{ij}} (co jest trywialne, gdyż g i j {\displaystyle g_{ij}} jest macierzą diagonalną – wystarczy odwrócić wyrazy na diagonali):

g i j = ( 1 0 0 0 1 r 2 0 0 0 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ) {\displaystyle g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}}

Element liniowy w tych współrzędnych ma postać

d s 2 = d r 2 + r 2 sin 2 ⁡ ( θ ) d ϕ 2 + r 2 d θ 2 {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )d\phi ^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}

Zobacz publikację Definicja tensora metrycznego w Wikibooks

Zobacz publikację Tensor metryczny w STW w Wikibooks

Zobacz publikację Interwał czasoprzestrzenny w OTW w Wikibooks

• sygnatura metryki
• symbole Christoffela
• teoria Kaluzy-Kleina

• James B. Hartle: Grawitacja. Wprowadzenie do ogólnej teorii względności Einsteina. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-2350476-4.
• P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1958.
• John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: PWN, 1964.
• Grzegorz Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975, s. 14–26.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Metric Tensor, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-11-18].