Punkt Fermata

Punkt Fermata (punkt Torricellego) – punkt w trójkącie, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych. Pierwszy raz problem konstrukcji takiego punktu został rozwiązany przez Fermata w prywatnym liście.

W przypadku, gdy wszystkie kąty trójkąta mają miary mniejsze niż 120 ∘ , {\displaystyle 120^{\circ },} punkt Fermata jest punktem przecięcia odcinków łączących wierzchołki trójkąta z tymi wierzchołkami trójkątów równobocznych zbudowanych na przeciwległych bokach, które nie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta.

Gdy jeden z kątów ma miarę co najmniej 120 ∘ , {\displaystyle 120^{\circ },} łatwo zauważyć (z nierówności trójkąta), że wierzchołek przy kącie rozwartym ma mniejszą sumę odległości od wierzchołków, niż punkt otrzymany w powyższej konstrukcji. Wierzchołek ten ma wtedy najmniejszą możliwą z takich sum.

Dla dowolnego punktu F {\displaystyle F} wewnątrz Δ A B C , {\displaystyle \Delta ABC,} gdy obrócimy Δ B F C {\displaystyle \Delta BFC} wokół punktu B {\displaystyle B} zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt 60 ∘ , {\displaystyle 60^{\circ },} to otrzymamy Δ B G D {\displaystyle \Delta BGD} (według oznaczeń na rysunku obok), gdzie G {\displaystyle G} jest punktem wewnątrz Δ B C D {\displaystyle \Delta BCD} spełniającym

| G D | = | F C | , {\displaystyle |GD|=|FC|,} | G B | = | F B | {\displaystyle |GB|=|FB|} oraz ∠ F B G = 60 ∘ , {\displaystyle \angle FBG=60^{\circ },}

więc Δ G B F {\displaystyle \Delta GBF} jest równoboczny, czyli | B F | = | G F | . {\displaystyle |BF|=|GF|.}

Stąd | A F | + | B F | + | C F | = | A F | + | F G | + | G D | . {\displaystyle |AF|+|BF|+|CF|=|AF|+|FG|+|GD|.} Zatem wartość sumy | A F | + | B F | + | C F | {\displaystyle |AF|+|BF|+|CF|} najmniejsza, gdy punkty A , {\displaystyle A,} F , {\displaystyle F,} G , {\displaystyle G,} D {\displaystyle D} są współliniowe.

Prowadząc analogiczne rozumowanie, obracając Δ C F A {\displaystyle \Delta CFA} i Δ A F B {\displaystyle \Delta AFB} wokół odpowiednich punktów, otrzymujemy, że punkt F {\displaystyle F} o minimalnej wartości sumy | A F | + | B F | + | C F | {\displaystyle |AF|+|BF|+|CF|} leży na pozostałych dwóch odcinkach łączących wierzchołki trójkąta wyjściowego z odpowiednimi wierzchołkami trójkątów równobocznych. Jest to jednocześnie dowód na współpękowość tych trzech odcinków.

• Punkt Fermata jest jednocześnie punktem przecięcia okręgów opisanych na trójkątach równobocznych zbudowanych na bokach danego trójkąta.
• Z punktu Fermata każdy bok widać pod tym samym kątem 120 ∘ . {\displaystyle 120^{\circ }.}
• Odcinki zaznaczone na górnym rysunku na czerwono mają równe długości.

Oznaczenia jak na najniższym rysunku. Gdy obrócimy Δ B A Q {\displaystyle \Delta BAQ} wokół punktu A {\displaystyle A} zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt 60 ∘ , {\displaystyle 60^{\circ },} to otrzymamy Δ R A C . {\displaystyle \Delta RAC.} Stąd | B Q | = | C R | . {\displaystyle |BQ|=|CR|.} Analogicznie | B Q | = | A P | = | C R | . {\displaystyle |BQ|=|AP|=|CR|.}

Z przystawania tych trójkątów wynika też, że ∠ A R C = ∠ A B Q , {\displaystyle \angle ARC=\angle ABQ,} oraz ∠ A C R = ∠ A Q B . {\displaystyle \angle ACR=\angle AQB.} Stąd

∠ R F B = 180 ∘ − ∠ F R B − ∠ F B R = 60 ∘ . {\displaystyle \angle RFB=180^{\circ }-\angle FRB-\angle FBR=60^{\circ }.}

Podobnie ∠ R F A = ∠ A F Q = ∠ Q F C = ∠ C F P = ∠ P F B = 60 ∘ {\displaystyle \angle RFA=\angle AFQ=\angle QFC=\angle CFP=\angle PFB=60^{\circ }}

Zatem ∠ A F B = ∠ A F C = 120 ∘ , {\displaystyle \angle AFB=\angle AFC=120^{\circ },} czyli sumy przeciwległych kątów w tych czworokątach wynoszą 180 ∘ . {\displaystyle 180^{\circ }.} Stąd na czworokątach A F B R {\displaystyle AFBR} oraz A F C Q {\displaystyle AFCQ} można opisać okręgi. Podobnie pokazujemy, że przez punkt Fermata przechodzi okrąg opisany na Δ B C P . {\displaystyle \Delta BCP.}

• twierdzenie Napoleona
• drzewo Steinera

• Punkt Fermata-Torricellego czyli ciekawy problem lokalizacji, blog beta-iks.pl, 10 lutego 2024 [dostęp 2024-03-03].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., First Fermat Point, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-10-30].