Operator unitarny

Operator unitarny – operator normalny, którego złożenie z jego operatorem sprzężonym jest identycznością.

Niech H {\displaystyle H} będzie zespoloną przestrzenią Hilberta. Liniowy i ciągły operator T : H → H {\displaystyle T\colon H\to H} nazywamy unitarnym wtedy i tylko wtedy, gdy T T ⋆ = T ⋆ T = I . {\displaystyle TT^{\star }=T^{\star }T=I.}

Jeżeli T : H → H {\displaystyle T\colon H\to H} jest ciągłym operatorem liniowym, to następujące dwa warunki są równoważne temu, że T {\displaystyle T} jest unitarny:

1. cl T ( H ) = H , {\displaystyle {\mbox{cl}}T(H)=H,}
2. ( T x | T y ) = ( x | y ) , x , y ∈ H . {\displaystyle (Tx|Ty)=(x|y),\;x,y\in H.}

Widmo operatora unitarnego zawiera się w okręgu jednostkowym.

• Jeśli H {\displaystyle H} jest zespoloną przestrzenią Hilberta, to identyczność id ( x ) = x , x ∈ H {\displaystyle {\mbox{id}}(x)=x,\;x\in H} jest operatorem unitarnym.
• Jeśli H = C {\displaystyle H=\mathbb {C} } to mnożenie przez ustalony skalar λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } taki, że | λ | = 1 {\displaystyle |\lambda |=1} jest operatorem unitarnym.
• W skończenie wymiarowej zespolonej przestrzeni Hilberta, przekształcenie liniowe reprezentowane przez macierz unitarną jest operatorem unitarnym.
• Transformacja Fouriera.
• Transformacja parzystości P.