Operator normalny

Operator normalny – operator liniowy i ograniczony N : H → H {\displaystyle N\colon H\to H} na przestrzeni Hilberta H , {\displaystyle H,} który komutuje ze swoim sprzężeniem N ∗ , {\displaystyle N^{*},} tj.

N N ∗ = N ∗ N . {\displaystyle NN^{*}=N^{*}N.}

Analogicznie pojęcie elementu normalnego wprowadza się w kontekście *-algebr (w szczególności, C*-algebr) – element a *-algebry A nazywa się normalnym, gdy

a a ∗ = a ∗ a . {\displaystyle aa^{*}=a^{*}a.}

Operatory normalne opisuje twierdzenie spektralne. Operator ograniczony T {\displaystyle T} jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy

‖ T x ‖ = ‖ T ∗ x ‖ ( x ∈ H ) . {\displaystyle \|Tx\|=\|T^{*}x\|\;\;(x\in H).}

Innym warunkiem równoważnym normalności jest równość

⟨ T ∗ x , T ∗ y ⟩ = ⟨ T x , T y ⟩ ( x , y ∈ H ) . {\displaystyle \langle T^{*}x,T^{*}y\rangle =\langle Tx,Ty\rangle \;\;(x,y\in H).}

Operator sprzężony do operatora normalnego jest również normalny: N {\displaystyle N} oraz N ⋆ {\displaystyle N^{\star }} mają to samo jądro i obraz. Wynika stąd, że obraz N {\displaystyle N} jest gęsty w H {\displaystyle H} wtedy i tylko wtedy, gdy N {\displaystyle N} jest iniektywny. Poza tym

‖ N 2 ‖ = ‖ N ‖ 2 {\displaystyle \|N^{2}\|=\|N\|^{2}}

oraz

ν ( N ) = ‖ N ‖ , {\displaystyle \nu (N)=\|N\|,}

gdzie ν ( N ) {\displaystyle \nu (N)} oznacza promień spektralny operatora N . {\displaystyle N.}

Przykładami operatorów normalnych są:

• operatory unitarne ( N ∗ = N − 1 ) , {\displaystyle (N^{*}=N^{-1}),}
• operator samosprzężony ( N ∗ = N ) , {\displaystyle (N^{*}=N),}
• operatory dodatnie ( N = M M ∗ ) , {\displaystyle (N=MM^{*}),}
• operatory rzutu ortogonalnego ( N = N ∗ = N 2 ) , {\displaystyle (N=N^{*}=N^{2}),}
• macierze normalne mogą być postrzegane jako operatory normalne na n {\displaystyle n} -wymiarowej przestrzeni Hilberta C n . {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}

• operator podnormalny
• operator quasi-normalny