Cykloida

Cykloida – rodzaj krzywej płaskiej, który można definiować ruchem okręgu. Cykloida to tor (trajektoria) punktu na okręgu toczącym się – bez poślizgu – po prostej^[1]. Równoważna definicja opiera się na geometrii analitycznej – opisie tego ruchu w układzie współrzędnych. Odpowiednie wzory – dla układu kartezjańskiego – podano niżej.

Rozważania cykloidy zaczęto najpóźniej w XVII wieku – pisał o niej Galileusz^[1]. Dzięki pracom różnych matematyków i wynalazców poznano między innymi:

• zastosowania tej krzywej, np. do konstrukcji wahadeł^[1];
• specjalne narzędzie do rysunku takich linii – cykloidograf^[2];
• uogólnienia jak te opisane niżej oraz epicykloidy, hipocykloidy i inne krzywe cykliczne.

Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi postaci^[3]:

x = r ( t − sin ⁡ t ) {\displaystyle x=r{\begin{pmatrix}t-\sin t\end{pmatrix}}}

y = r ( 1 − cos ⁡ t ) , {\displaystyle y=r{\begin{pmatrix}1-\cos t\end{pmatrix}},}

gdzie:

t ∈ R ,   r > 0. {\displaystyle t\in \mathbb {R} ,\ r>0.}

Rozwiązując równania ogólne dla t , {\displaystyle t,} otrzymuje się:

x = 2 π r k ± ( r arccos ⁡ ( 1 − y r ) − y ( 2 r − y ) ) , {\displaystyle x=2\pi rk\pm \left(r\,\arccos \left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}}\right),}

gdzie:

k ∈ Z ,   r > 0 ,   0 ⩽ y ⩽ 2 r . {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,\ r>0,\ 0\leqslant y\leqslant 2r.}

Cykloida jest też związana z zagadnieniem:

• krzywej najkrótszego spadku (brachistochrony) będącej fragmentem łuku cykloidy,
• krzywej będącej odwróconą cykloidą (tautochroną), po której masa punktowa stacza się do najniższego punktu krzywej w takim samym czasie, niezależnie od punktu startowego na tej krzywej.

Uogólnieniem zwykłej cykloidy są cykloidy skrócone i wydłużone, zdefiniowane niżej. Bywają nazywane trochoidami^[4], ale to słowo ma też inne znaczenia – m.in. dużo szersze, obejmujące także cykloidę i inne krzywe cykliczne^[5].

Równania ogólne postaci^[6][7]:

x = r t − c ⋅ sin ⁡ t {\displaystyle x=rt-c\cdot \sin t}

y = r − c ⋅ cos ⁡ t , {\displaystyle y=r-c\cdot \cos t,}

gdzie:

t ∈ R ,   r > 0 ,   c > 0. {\displaystyle t\in \mathbb {R} ,\ r>0,\ c>0.}

Zależność odległości c {\displaystyle c} punktu zakreślającego krzywą od środka toczącego się koła i promienia r {\displaystyle r} tego koła jest następująca:

• dla c < r {\displaystyle c<r} cykloidę skróconą^[4], zakreślaną przez ustalony punkt leżący wewnątrz toczącego się koła^[6] (linia czerwona na poniższym rysunku),
• dla c > r {\displaystyle c>r} cykloidę wydłużoną^[4], zakreślaną przez ustalony punkt leżący na zewnątrz koła^[7] (linia niebieska).
• dla c = r {\displaystyle c=r} zwykłą cykloidę, zakreślaną przez punkt na brzegu koła (linia zielona).

Informacje w projektach siostrzanych

Multimedia w Wikimedia Commons

Definicje słownikowe w Wikisłowniku

• traktrysa

• Agnieszka Prusińska, Cykloida i okolice, rocznik „Matematyka Poglądowa”, Ośrodek Kultury Matematycznej – Uniwersytet w Siedlcach (OKM UwS), 2019 [dostęp 2026-02-06].
• Cycloid (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-19].
• Cycloid (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].