Teorema binomiale

In algebra, il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza n {\displaystyle n} -esima di un binomio qualsiasi mediante la formula^[1]

( a + b ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k {\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}} ,

in cui il fattore ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}} . Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.^[2]

Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi relativi a n = 2 {\displaystyle n=2} , n = 3 {\displaystyle n=3} ed n = 4 {\displaystyle n=4} :

( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}

( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 {\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}

( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 . {\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}

Nel caso in cui n {\displaystyle n} sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di n {\displaystyle n} reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).

È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di ( a + b ) {\displaystyle (a+b)} in una sommatoria nella forma

( a + b ) n = ( n 0 ) a n b 0 + ( n 1 ) a n − 1 b 1 + ( n 2 ) a n − 2 b 2 + ( n 3 ) a n − 3 b 3 + ⋯ ⋯ + ( n n − 1 ) a 1 b n − 1 + ( n n ) a 0 b n , {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)^{n}&={n \choose 0}a^{n}b^{0}+{n \choose 1}a^{n-1}b^{1}+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+{n \choose 3}a^{n-3}b^{3}+\cdots \\&{}\qquad \cdots +{n \choose n-1}a^{1}b^{n-1}+{n \choose n}a^{0}b^{n},\end{aligned}}}

dove ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:

( a + b ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k . {\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}.}

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo 1 {\displaystyle 1} ad a {\displaystyle a} e a {\displaystyle a} a b {\displaystyle b} , considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:

( 1 + a ) n = ( n 0 ) a 0 + ( n 1 ) a 1 + ( n 2 ) a 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) a n − 1 + ( n n ) a n , {\displaystyle (1+a)^{n}={n \choose 0}a^{0}+{n \choose 1}a^{1}+{n \choose 2}a^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}a^{n-1}+{n \choose n}a^{n},}

o, in maniera equivalente,

( 1 + a ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a k . {\displaystyle (1+a)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}.}

Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

( a + b ) 1 = ∑ k = 0 1 ( 1 k ) a ( 1 − k ) b k = a + b {\displaystyle (a+b)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{(1-k)}b^{k}=a+b}

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n {\displaystyle n} qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

( a + b ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a ( n − k ) b k , {\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{(n-k)}b^{k},}

si ha

( a + b ) n + 1 {\displaystyle (a+b)^{n+1}} = ( a + b ) ( a + b ) n {\displaystyle =(a+b)(a+b)^{n}}

= ( a + b ) ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k {\displaystyle =(a+b)\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}

e moltiplicando la sommatoria per ( a + b ) {\displaystyle (a+b)} si ha

= ∑ k = 0 n ( n k ) a n + 1 − k b k + ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k + 1 , {\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1},}

da cui

  ∑ k = 0 n ( n k ) a n + 1 − k b k {\displaystyle \ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}}

= ( n 0 ) a n + 1 + ∑ k = 1 n ( n k ) a n + 1 − k b k {\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}}

= ( n 0 ) a n + 1 + ∑ k = 0 n − 1 ( n k + 1 ) a n + 1 − ( k + 1 ) b k + 1 {\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}}

= ( n 0 ) a n + 1 + ∑ k = 0 n − 1 ( n k + 1 ) a n − k b k + 1 . {\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}.}

Inoltre

  ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k + 1 {\displaystyle \ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}}

= ∑ k = 0 n − 1 ( n k ) a n − k b k + 1 + ( n n ) b n + 1 . {\displaystyle =\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}.}

Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale

( n + 1 k + 1 ) = ( n k + 1 ) + ( n k ) {\displaystyle {n+1 \choose k+1}={n \choose k+1}+{n \choose k}}

si ha che

( a + b ) n + 1 {\displaystyle (a+b)^{n+1}}

= ( n 0 ) a n + 1 + ∑ k = 0 n − 1 ( ( n k ) + ( n k + 1 ) ) a n − k b k + 1 + ( n n ) b n + 1 {\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,\left({n \choose k}+{n \choose k+1}\right)a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}}

= ( n 0 ) a n + 1 + ∑ k = 0 n − 1 ( n + 1 k + 1 ) a n − k b k + 1 + ( n n ) b n + 1 {\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n+1 \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}}

= ( n 0 ) a n + 1 + ∑ k = 1 n ( n + 1 k ) a n + 1 − k b k + ( n n ) b n + 1 . {\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}.}

Poiché infine

( n 0 ) = ( n + 1 0 ) = 1 {\displaystyle {n \choose 0}={n+1 \choose 0}=1}

e

  ( n n ) = ( n + 1 n + 1 ) = 1 , {\displaystyle \ {n \choose n}={n+1 \choose n+1}=1,}

si ha che

( n 0 ) a n + 1 + ∑ k = 1 n ( n + 1 k ) a n + 1 − k b k + ( n n ) b n + 1 = ( n + 1 0 ) a n + 1 + ∑ k = 1 n ( n + 1 k ) a n + 1 − k b k + ( n + 1 n + 1 ) b n + 1 {\displaystyle {n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}={n+1 \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n+1 \choose n+1}b^{n+1}}

e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

( a + b ) n + 1 = ∑ k = 0 n + 1 ( n + 1 k ) a ( n + 1 ) − k b k {\displaystyle (a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}\,{n+1 \choose k}a^{(n+1)-k}b^{k}}

che conferma la tesi.

Se scriviamo ( a + b ) n {\displaystyle (a+b)^{n}} come il prodotto

( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) … {\displaystyle (a+b)(a+b)(a+b)\,\quad \ldots }

con n {\displaystyle n} fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine a n − k b k {\displaystyle a^{n-k}b^{k}} è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo n − k {\displaystyle n-k} volte a {\displaystyle a} e k {\displaystyle k} volte b {\displaystyle b} dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} .

Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di k {\displaystyle k} da 0 {\displaystyle 0} a n {\displaystyle n} , si ha subito la tesi.

La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per n {\displaystyle n} numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per ( 1 + x ) α ,   α ∈ R {\displaystyle (1+x)^{\alpha },\ \alpha \in \mathbb {R} } , nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.

Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia ( 1 + x ) α = 1 + α x + o ( x ) , {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+o(x),} dove il resto o ( x ) {\displaystyle o(x)} indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.

Lo sviluppo completo è

( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 x 2 + α ( α − 1 ) ( α − 2 ) 6 x 3 + ⋯ + ( α k ) x k + o ( x k ) {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}}x^{3}+\dots +{\alpha \choose k}x^{k}+o(x^{k})} ,

dove ( α k ) {\displaystyle {\alpha \choose k}} è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da

( α k ) = α ( α − 1 ) … ( α − k + 1 ) k ! {\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}} .

Lo sviluppo attorno all'origine della funzione ( 1 + x ) α {\displaystyle (1+x)^{\alpha }} è

( 1 + x ) α = ( 1 + x ) x = 0 α + ( ( 1 + x ) α ) x = 0 ′ 1 ! x + ( ( 1 + x ) α ) x = 0 ′ ′ 2 ! x 2 + ⋯ + ( ( 1 + x ) α ) x = 0 ( k ) k ! x k + … {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=(1+x)_{x=0}^{\alpha }+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime }}{1!}}x+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime \prime }}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{(k)}}{k!}}x^{k}+\dots }

e, poiché

( ( 1 + x ) α ) x = 0 ′ = α ( 1 + x ) x = 0 α − 1 = α {\displaystyle \left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime }=\alpha (1+x)_{x=0}^{\alpha -1}=\alpha }

⋮ ⋮ {\displaystyle \vdots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots }

( ( 1 + x ) α ) x = 0 ( i ) = α ( α − 1 ) … ( α − i + 1 ) ( 1 + x ) x = 0 α − i = α ( α − 1 ) … ( α − i + 1 ) {\displaystyle \left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{(i)}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)(1+x)_{x=0}^{\alpha -i}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)}

si ottiene

( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + α ( α − 1 ) … ( α − k + 1 ) k ! x k + … {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}x^{k}+\dots }

che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al k {\displaystyle k} -esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine o ( x k ) {\displaystyle o(x^{k})} .

• Trinomio di Newton
• Teorema multinomiale
• Coefficiente binomiale
• Formule di Waring

• Wikiquote contiene citazioni sul teorema binomiale
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul teorema binomiale

• (EN) binomial theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Binomial theorem, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Binomial Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Controllo di autorità	GND (DE) 4703915-2 · NDL (EN, JA) 00568502