Algebra elementare

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L'algebra elementare è la branca della matematica che studia il calcolo letterale, cioè studia i monomi e i polinomi ed estende ad essi le operazioni aritmetiche, dette in questo contesto operazioni algebriche.

Ciò è di grande utilità perché:

• consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} per ogni a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} ), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali;
• consente di riferirsi a numeri incogniti e quindi di formulare delle equazioni e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero x {\displaystyle x} tale che 3 ⋅ x + 2 = 10 {\displaystyle 3\cdot x+2=10} );
• consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono x {\displaystyle x} biglietti, allora il profitto sarà 10 x − 5 {\displaystyle 10x-5} euro").

Un'espressione algebrica può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono a + 3 {\displaystyle a+3} e x 2 − 3 {\displaystyle x^{2}-3} .

Un'equazione è una proposizione aperta, contenente un'uguaglianza, che può essere vera o falsa in funzione del valore attribuito alle variabili incognite in essa presenti. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle incognite (per esempio a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c} ); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei particolari valori che rendono vera l'uguaglianza, cioè rendono il primo membro uguale al secondo: x 2 − 1 = 4 {\displaystyle x^{2}-1=4} . Essi sono detti soluzioni dell'equazione.

Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle lineari (cioè di grado 1), come

2 x + 3 = 10. {\displaystyle 2x+3=10.}

La tecnica fondamentale è quella di sommare, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero, e, ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della x {\displaystyle x} . Nell'esempio precedente, se si sottrae 3 da entrambi i membri, si ottiene

2 x = 7 {\displaystyle 2x=7}

e dividendo entrambi i membri per 2, si ottiene la soluzione

x = 7 2 . {\displaystyle x={\frac {7}{2}}.}

Equazioni come

x 2 + 3 x = 5 {\displaystyle x^{2}+3x=5}

sono note come equazioni quadratiche e per esse esiste una semplice formula risolutiva per trovare tutte le soluzioni.

Espressioni o affermazioni possono contenere molte variabili, da cui potrebbe essere possibile o impossibile ricavare il valore di alcune variabili. Per esempio:

( x − 1 ) 2 = 0 y . {\displaystyle (x-1)^{2}=0y.}

Dopo alcuni semplici passaggi algebrici, possiamo dedurre che x = 1 , {\displaystyle x=1,} ma non possiamo dedurre quale sia il valore di y . {\displaystyle y.} Comunque, se noi avessimo avuto un'altra equazione nelle incognite x {\displaystyle x} e y , {\displaystyle y,} avremmo potuto ottenere la risposta tramite un sistema di equazioni. Per esempio:

{ 4 x + 2 y = 14 2 x − y = 1 {\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1\end{cases}}}

Ora, moltiplichiamo la seconda per 2, ottenendo le seguenti espressioni:

{ 4 x + 2 y = 14 4 x − 2 y = 2 {\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\4x-2y=2\end{cases}}}

Poiché abbiamo moltiplicato l'intera equazione per 2 (ossia entrambi i membri), abbiamo in realtà ottenuto un'affermazione equivalente. Ora possiamo combinare le due equazioni, sommando membro a membro:

8 x = 16. {\displaystyle 8x=16.}

In questo modo abbiamo ottenuto un'equazione in una sola incognita, che possiamo facilmente risolvere dividendo per 8 e ottenendo x = 2. {\displaystyle x=2.}

Ora scegliamo una delle due equazioni di partenza.

4 x + 2 y = 14. {\displaystyle 4x+2y=14.}

Sostituiamo 2 al posto di x {\displaystyle x} :

4 ( 2 ) + 2 y = 14. {\displaystyle 4(2)+2y=14.}

Semplifichiamo

8 + 2 y = 14 , {\displaystyle 8+2y=14,}

2 y = 6. {\displaystyle 2y=6.}

E risolviamo per y , {\displaystyle y,} ottenendo 3. La soluzione di questo sistema di equazioni è x = 2 {\displaystyle x=2} e y = 3 , {\displaystyle y=3,} ossia la coppia ( 2 , 3 ) . {\displaystyle (2,3).}

• L'addizione è un'operazione commutativa.
  • La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.
  • Sottrarre equivale ad aggiungere l'opposto:

a − b = a + ( − b ) . {\displaystyle a-b=a+(-b).}

• La moltiplicazione è un'operazione commutativa.
  • La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.
  • Dividere è lo stesso che moltiplicare per il reciproco:

a b = a ( 1 b ) . {\displaystyle {a \over b}=a\left({1 \over b}\right).}

• Se a b = 0 , {\displaystyle ab=0,} allora a = 0 {\displaystyle a=0} o b = 0 {\displaystyle b=0} (legge di annullamento del prodotto).
• L'elevamento a potenza non è un'operazione commutativa.
  • L'elevamento a potenza ha due operazioni inverse: il logaritmo e la radice.
    • Esempi: se 3 x = 10 {\displaystyle 3^{x}=10} allora x = log 3 ⁡ 10 {\displaystyle x=\log _{3}10} . Se x 2 = 10 , {\displaystyle x^{2}=10,} allora x = 10 1 / 2 {\displaystyle x=10^{1/2}} .
  • La radice quadrata di -1 è i.
• La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione: c ( a + b ) = c a + c b {\displaystyle c(a+b)=ca+cb} .
• La proprietà distributiva dell'esponenziazione rispetto alla divisione: ( a b ) c = a c b c {\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}} .
• Come combinare gli esponenti: a b a c = a b + c . {\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}.}
• Se a = b {\displaystyle a=b} e b = c , {\displaystyle b=c,} allora a = c {\displaystyle a=c} (proprietà transitiva dell'uguaglianza).^[1]
• a = a {\displaystyle a=a} (proprietà riflessiva dell'uguaglianza).
• Se a = b , {\displaystyle a=b,} allora b = a {\displaystyle b=a} (proprietà simmetrica dell'uguaglianza).
• Se a = b {\displaystyle a=b} e c = d , {\displaystyle c=d,} allora a + c = b + d {\displaystyle a+c=b+d} .
  • Se a = b , {\displaystyle a=b,} allora a + c = b + c {\displaystyle a+c=b+c} per ogni c , {\displaystyle c,} per via della riflessività dell'uguaglianza.
• Se a = b {\displaystyle a=b} e c = d , {\displaystyle c=d,} allora a c {\displaystyle ac} = b d {\displaystyle bd} .
  • Se a = b , {\displaystyle a=b,} allora a c = b c {\displaystyle ac=bc} per ogni c {\displaystyle c} per via della riflessività dell'uguaglianza.
• Se due simboli sono uguali, allora uno può essere sostituito con l'altro.
• Se a > b {\displaystyle a>b} e b > c , {\displaystyle b>c,} allora a > c {\displaystyle a>c} (transitività della disuguaglianza).
• Se a > b , {\displaystyle a>b,} allora a + c > b + c {\displaystyle a+c>b+c} per ogni c . {\displaystyle c.}
• Se a > b {\displaystyle a>b} e c > 0 , {\displaystyle c>0,} allora a c > b c {\displaystyle ac>bc} .
• Se a > b {\displaystyle a>b} e c < 0 , {\displaystyle c<0,} allora a c < b c {\displaystyle ac<bc} .

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• (EN) John L. Berggren, elementary algebra, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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