Parte interna

In matematica, e più precisamente in topologia, la parte interna di un insieme $S$ consiste in tutti i punti che sono intuitivamente «non sui bordi di $S$ ». Un punto della parte interna di $S$ è un punto interno di $S$ . La nozione di parte interna è per molti versi il duale della nozione di chiusura.

Definizioni

Se $S$ è un sottoinsieme di uno spazio euclideo, allora $x$ è un punto interno di $S$ se esiste una palla aperta centrata in $x$ e contenuta in $S$ .

Questa definizione si generalizza a ogni sottoinsieme $S$ di uno spazio metrico $X$ , infatti se $X$ è uno spazio metrico con metrica $d$ , allora $x$ è un punto interno di $S$ se esiste $r>0$ tale che $y$ sia in $S$ ogni volta che la distanza è $d(x,y)<r$ .

La parte interna di un sottoinsieme $S$ di uno spazio euclideo è l'insieme di tutti i punti interni di S.

L'interno di $S$ è indicato con ${\rm {int}}(S)$ , ${\rm {Int}}(S)$ , o ${\overset {\circ }{S}}$ . In altre parole:

{\rm {Int}}(S)=\{x\in S\ |\ \exists U(x):U(x)\subset S\}

dove si indica con $U(x)$ un intorno di $x$ .

Nota che queste proprietà sono soddisfatte anche se "interno", "sottoinsieme", "unione", contenuto in", "più grande" e "aperto" sono sostituiti da "chiusura", "superinsieme", "intersezione", "che contiene", "più piccolo" e "chiuso". Per maggiori informazioni sull'argomento, vedi operatore di interno più in basso.

Caso generale in uno spazio topologico

Questa definizione si generalizza a uno spazio topologico sostituendo la "palla aperta" con "intorno". Nota che questa definizione non dipende dal fatto che gli intorni siano aperti oppure no.

Sia $(X,\tau )$ spazio topologico e sia $S\subseteq X$ . Un punto $x\in X$ si dice interno a $S$ se $\exists \ U\in \tau$ tale che $x\in U\subseteq S$ _, ossia se $S$ è un intorno di $x$ .

La parte interna di un sottoinsieme $S$ è l'insieme di tutti i punti interni di $S$ ed è indicato con $Int(S)$ oppure ${\overset {\circ }{S}}$ .

Proprietà

Sia $(X,\tau )$ spazio topologico e siano $A$ , $B$ sottoinsiemi di $X$ .

Allora:

${\rm {Int}}(A)\subseteq A$ è un aperto in $X$ ed è il più grande aperto contenuto in $A$ ;
$A$ è aperto in $X$ $\Leftrightarrow$ $A={\rm {Int}}(A)$ ;
$A\subseteq B\Rightarrow {\rm {Int}}(A)\subseteq {\rm {Int}}(B)$ ;
${\rm {Int}}(A\cup B)\supseteq {\rm {Int}}(A)\cup {\rm {Int}}(B)$
${\rm {Int}}(A\cap B)={\rm {Int}}(A)\cap {\rm {Int}}(B)$ .

Osserviamo che quindi queste proprietà valgono anche in un qualsiasi spazio metrico e spazio euclideo.

Esempi

In ogni spazio la parte interna dell'insieme vuoto è l'insieme vuoto.
In ogni spazio $X$ , ${\overset {\circ }{X}}=X$ .
Se $X$ è lo spazio euclideo $\mathbb {R}$ dei numeri reali, allora ${\rm {Int}}([0,1])=(0,1)$ .
Se $X$ è lo spazio euclideo $\mathbb {R}$ , allora la parte interna dell'insieme $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali è vuoto.
Se $X$ è il piano complesso $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$ , allora $\operatorname {Int} ({z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1})=\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}.$
In ogni spazio euclideo, la parte interna di ogni insieme finito è l'insieme vuoto.

Sull'insieme dei numeri reali è possibile porre un'altra topologia diversa da quella standard.

Se $X=\mathbb {R}$ , dove $\mathbb {R}$ ha la topologia del limite inferiore, allora ${\rm {Int}}([0,1])=[0,1)$ .
Se si considera su $\mathbb {R}$ la topologia nella quale ogni insieme è aperto, allora ${\rm {Int}}([0,1])=[0,1]$ .
Se si considera su $\mathbb {R}$ la topologia nella quale gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e $\mathbb {R}$ stesso, allora ${\rm {Int}}([0,1])=\emptyset$ .

Questi esempi mostrano che l'interno di un insieme dipende dalla scelta della topologia dello spazio sottostante. Gli ultimi due esempi sono casi particolari dei seguenti:

In ogni spazio discreto, dal momento che ogni insieme è aperto, ogni insieme è uguale al suo interno.
In ogni spazio banale $X$ , dal momento che gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e $X$ stesso, abbiamo ${\rm {Int}}(X)=X$ e per ogni sottoinsieme proprio $A$ di $X$ , ${\overset {\circ }{A}}=\emptyset$ .

Operatore parte interna

Dato un insieme $S$ , l'operatore parte interna ${\overset {\circ }{S}}$ è il duale dell'operatore di chiusura ${\bar {S}}$ , nel senso che

{\displaystyle {\overset {\circ }{S}}}=X\backslash {\overline {(X\backslash S)}}

e anche

{\displaystyle {\bar {S}}=X\backslash {\overset {\circ }{(X\backslash S)}}}

dove $X$ indica lo spazio topologico contenente $S$ , e $\backslash$ indica il complemento di un insieme.

Di conseguenza la teoria astratta degli operatori di chiusura e gli assiomi di chiusura di Kuratowski possono essere facilmente tradotti nel linguaggio degli operatori parte interna, sostituendo gli insiemi con i loro complementi.

Bibliografia

Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
Nicola Fusco, Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore, 1996, ISBN 978-88-207-2675-1.

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Interior, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica