Insieme complemento

Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, il complemento di un insieme è l'insieme degli elementi che non appartengono a quell'insieme. Gli insiemi complemento si dividono nei complementi relativi (detti anche insieme differenza) e nei complementi assoluti.

Avendo due insiemi A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} , il complemento di A {\displaystyle A} rispetto a B {\displaystyle B} o l'insieme differenza B {\displaystyle B} meno A {\displaystyle A} , è formato dai soli elementi di B {\displaystyle B} che non appartengono ad A {\displaystyle A} . Esso si indica solitamente come B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} oppure come B − A {\displaystyle B-A} . Formalmente abbiamo:

B ∖ A = B − A = { x ∈ B ∧ x ∉ A } {\displaystyle B\setminus A=B-A=\{x\in B\wedge x\notin A\}}

Si noti che l'insieme differenza B − A {\displaystyle B-A} è un sottoinsieme dell'insieme B {\displaystyle B} .

• { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } − { 3 } = { 1 , 2 , 4 , 5 } {\displaystyle \lbrace 1,2,3,4,5\rbrace -\lbrace 3\rbrace =\lbrace 1,2,4,5\rbrace }
• { a , b , c , d } − { c , d , e , f } = { a , b } {\displaystyle \lbrace a,b,c,d\rbrace -\lbrace c,d,e,f\rbrace =\lbrace a,b\rbrace }
• { 1 , 2 , 3 } − { 2 , 3 , 4 } = { 1 } {\displaystyle \lbrace 1,2,3\rbrace -\lbrace 2,3,4\rbrace =\lbrace 1\rbrace }
• { 2 , 3 , 4 } − { 1 , 2 , 3 } = { 4 } {\displaystyle \lbrace 2,3,4\rbrace -\lbrace 1,2,3\rbrace =\lbrace 4\rbrace }

Se A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} sono insiemi, allora valgono le seguenti identità:

• C − ( A ∩ B ) = ( C − A ) ∪ ( C − B ) {\displaystyle C-\left(A\cap B\right)=\left(C-A\right)\cup \left(C-B\right)}
• C − ( A ∪ B ) = ( C − A ) ∩ ( C − B ) {\displaystyle C-\left(A\cup B\right)=\left(C-A\right)\cap \left(C-B\right)}
• C − ( B − A ) = ( A ∩ C ) ∪ ( C − B ) {\displaystyle C-(B-A)=(A\cap C)\cup (C-B)}
• ( B − A ) ∩ C = ( B ∩ C ) − A = B ∩ ( C − A ) {\displaystyle (B-A)\cap C=(B\cap C)-A=B\cap (C-A)}
• ( B − A ) ∪ C = ( B ∪ C ) − ( A − C ) {\displaystyle (B-A)\cup C=(B\cup C)-(A-C)}
• A − A = ∅ {\displaystyle A-A=\varnothing }
• ∅ − A = ∅ {\displaystyle \varnothing -A=\varnothing }
• A − ∅ = A {\displaystyle A-\varnothing =A}

Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.

Se è definito un insieme universo U {\displaystyle U} , si definisce complemento assoluto di A {\displaystyle A} come il complemento relativo di A {\displaystyle A} rispetto ad U {\displaystyle U} . Formalmente abbiamo:

A c = ¬ A = U − A = { x ∈ U  e  x ∉ A } {\displaystyle A^{c}=\neg A=U-A=\{x\in U{\text{ e }}x\notin A\}}

Il complemento assoluto, indicato anche come ∼ A {\displaystyle \sim A} , rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.

A titolo di esempio, se l'insieme universale è l'insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell'insieme dei numeri dispari è l'insieme dei numeri pari.

La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.

Se A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} sono sottoinsiemi di un insieme universo U {\displaystyle U} , allora valgono le seguenti identità.

Leggi di De Morgan:

• ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c ; {\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c};}
• ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c . {\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.}

Leggi di complementarità:

• A ∪ A c = U ; {\displaystyle A\cup A^{c}=U;}
• A ∩ A c = ∅ ; {\displaystyle A\cap A^{c}=\varnothing ;}
• ∅ c = U ; {\displaystyle \varnothing ^{c}=U;}
• U c = ∅ ; {\displaystyle U^{c}=\varnothing ;}
• Se A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} , allora B c ⊆ A c {\displaystyle B^{c}\subseteq A^{c}} (ciò segue dall'equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione contronominale).

Involuzione o legge del doppio complemento:

• ( A c ) c = A . {\displaystyle (A^{c})^{c}=A.}

Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:

• A − B = A ∩ B c ; {\displaystyle A-B=A\cap B^{c};}
• ( A − B ) c = A c ∪ B . {\displaystyle (A-B)^{c}=A^{c}\cup B.}

Le prime due leggi di complementarità mostrano che se A {\displaystyle A} è un sottoinsieme non vuoto di U {\displaystyle U} , allora { A , A c } {\displaystyle \{A,A^{c}\}} è una partizione di U {\displaystyle U} .

• Seymour Lipschutz, Topologia, Sonzogno, Etas Libri, 1979.
• (EN) Paul Halmos (1960): Naive set theory, D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6.
• (FR) Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles, Hermann.

• Unione
• Intersezione
• Differenza simmetrica
• Sottoclasse
• Teoria degli insiemi

• (EN) complement, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Complement Set / Insieme complemento / Insieme complemento (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.

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