Modulo piatto

In algebra, un modulo piatto è un modulo che "si comporta bene" rispetto al prodotto tensoriale; più precisamente, dato un anello A, un A-modulo sinistro M è piatto se per ogni successione esatta di A-moduli

⋯ ⟶ N i − 1 ⟶ N i ⟶ N i + 1 ⟶ ⋯ {\displaystyle \cdots \longrightarrow N_{i-1}\longrightarrow N_{i}\longrightarrow N_{i+1}\longrightarrow \cdots }

la successione di gruppi abeliani

⋯ ⟶ N i − 1 ⊗ A M ⟶ N i ⊗ A M ⟶ N i + 1 ⊗ M ⟶ ⋯ {\displaystyle \cdots \longrightarrow N_{i-1}\otimes _{A}M\longrightarrow N_{i}\otimes _{A}M\longrightarrow N_{i+1}\otimes M\longrightarrow \cdots }

(dove le mappe della seconda successione sono ottenute da quelle della prima tensorizzando con l'identità su M) è ancora esatta; analogamente, un modulo destro M è piatto se è esatta la successione di gruppi abeliani

⋯ ⟶ M ⊗ A N i − 1 ⟶ M ⊗ A N i ⟶ M ⊗ A N i + 1 ⟶ ⋯ {\displaystyle \cdots \longrightarrow M\otimes _{A}N_{i-1}\longrightarrow M\otimes _{A}N_{i}\longrightarrow M\otimes _{A}N_{i+1}\longrightarrow \cdots }

In altri termini, un modulo sinistro è piatto se il funtore − ⊗ A M {\displaystyle -\otimes _{A}M} è esatto, mentre un modulo destro è piatto se è esatto M ⊗ A − {\displaystyle M\otimes _{A}-} . Su anelli commutativi, le nozioni di modulo sinistro piatto e modulo destro piatto coincidono.

Per verificare la piattezza di un modulo è sufficiente considerare le successioni esatte corte: il modulo sinistro M è piatto se e solo se, per ogni esatta corta

0 ⟶ N ′ ⟶ N ⟶ N ″ ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow N'\longrightarrow N\longrightarrow N''\longrightarrow 0}

anche la successione tensorizzata

0 ⟶ N ′ ⊗ M ⟶ N ⊗ M ⟶ N ″ ⊗ M ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M\longrightarrow N''\otimes M\longrightarrow 0}

è esatta. Anche questa definizione è in qualche modo ridondante, perché, se

N ′ ⟶ N ⟶ N ″ ⟶ 0 {\displaystyle N'\longrightarrow N\longrightarrow N''\longrightarrow 0}

è una successione esatta, allora

N ′ ⊗ M ⟶ N ⊗ M ⟶ N ″ ⊗ M ⟶ 0 {\displaystyle N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M\longrightarrow N''\otimes M\longrightarrow 0}

è sempre esatta; di conseguenza è sufficiente richiedere che, se f : N ′ ⟶ N {\displaystyle f:N'\longrightarrow N} è iniettiva, allora f ⊗ 1 : N ′ ⊗ M ⟶ N ⊗ M {\displaystyle f\otimes 1:N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M} è ancora iniettiva.

Equivalentemente, si possono definire i moduli piatti in termini del funtore Tor: un modulo sinistro M è piatto se e solo se T o r i A ( N , M ) = 0 {\displaystyle Tor_{i}^{A}(N,M)=0} per ogni i >0 e per ogni A-modulo N. Anche questa condizione può essere raffinata, richiedendo solo che T o r 1 A ( N , M ) = 0 {\displaystyle Tor_{1}^{A}(N,M)=0} per ogni N.

Le stesse proprietà valgono simmetricamente per i moduli destri.

Il prodotto tensoriale di due moduli piatti è ancora piatto; la somma diretta dei moduli M_i è piatta se e solo se lo è ogni M_i.

Se S è un sottoinsieme di A moltiplicativamente chiuso e contenuto nel suo centro, la localizzazione S − 1 A {\displaystyle S^{-1}A} di A è un A-modulo piatto; di conseguenza, le localizzazioni di un modulo piatto sono ancora piatte.

Se x è un elemento nel centro di A e non è uno zerodivisore, allora A/xA è un esempio di modulo che non è piatto: questo può essere visto a partire dalla successione esatta

0 ⟶ A ⟶ x A ⟶ A / x A ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow ^{x}A\longrightarrow A/xA\longrightarrow 0}

perché, nella successione tensorizzata

0 ⟶ A ⊗ A A / x A ⟶ A ⊗ A A / x A ⟶ A / x A ⊗ A A / x A ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A\otimes _{A}A/xA\longrightarrow A\otimes _{A}A/xA\longrightarrow A/xA\otimes _{A}A/xA\longrightarrow 0}

la mappa A ⊗ A A / x A ⟶ A ⊗ A A / x A {\displaystyle A\otimes _{A}A/xA\longrightarrow A\otimes _{A}A/xA} diventa l'omomorfismo nullo, mentre A ⊗ A A / x A {\displaystyle A\otimes _{A}A/xA} non è il modulo nullo.

In particolare, se A è commutativo, tutte le localizzazioni S − 1 A {\displaystyle S^{-1}A} sono piatte; la piattezza è inoltre una proprietà locale, nel senso che M è un modulo piatto se e solo la localizzazione M_P è piatta per ogni ideale primo P. Se A è anche integro, nessun quoziente A/I è piatto; ampliando il ragionamento precedente, su un dominio d'integrità tutti i moduli piatti sono privi di torsione.

Ogni modulo libero e ogni modulo proiettivo sono piatti; il viceversa non è vero in generale, sebbene un modulo piatto finitamente presentato sia proiettivo.^[1]

Un anello A tale che tutti gli A-moduli sinistri sono piatti è detto assolutamente piatto (o von Neumann regolare); se questo avviene, allora anche tutti gli A-moduli destri sono piatti. Equivalentemente, A è assolutamente piatto se per ogni a esiste un x tale che axa = a; un'altra condizione equivalente è che tutti gli ideali principali di A sono idempotenti, cioè sono tali che I 2 = I {\displaystyle I^{2}=I} .^[2][3]

Tra gli anelli commutativi, un anello locale è assolutamente piatto se e solo se è un campo;^[4] in generale, un anello commutativo è assolutamente piatto se e solo se è ridotto e ha dimensione 0.^[3]

Un esempio di anello assolutamente piatto è qualunque anello booleano.

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
• (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, ISBN 0-521-43500-5.
• (EN) Pete L. Clark, Commutative Algebra (PDF). URL consultato il 5 novembre 2011 (archiviato dall'url originale il 14 dicembre 2010).

• (EN) Flat module, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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