Modulo libero

In matematica, un modulo libero è un modulo particolarmente simile ad uno spazio vettoriale; più precisamente, se A {\displaystyle A} è un anello, un A {\displaystyle A} -modulo è libero se ha una base, ovvero un insieme di elementi linearmente indipendenti che lo genera.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, i moduli liberi sono gli oggetti liberi della categoria degli A {\displaystyle A} -moduli.

Sia A {\displaystyle A} un anello e M {\displaystyle M} un modulo su A {\displaystyle A} . M {\displaystyle M} è libero se esiste un insieme E {\displaystyle E} di elementi di M {\displaystyle M} tali che:

• E {\displaystyle E} genera M {\displaystyle M} : ogni elemento di M {\displaystyle M} può essere scritto come combinazione lineare (finita) di elementi di E {\displaystyle E} , ossia per ogni m {\displaystyle m} in M {\displaystyle M} esistono a 1 , … , a n ∈ A {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A} ed e 1 , … , e n ∈ E {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}\in E} tali che m = a 1 e 1 + ⋯ + a n e n {\displaystyle m=a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}} ;
• E {\displaystyle E} è linearmente indipendente: se esistono a 1 , … , a n ∈ A {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A} ed e 1 , … , e n ∈ E {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}\in E} tali che a 1 e 1 + ⋯ + a n e n = 0 {\displaystyle a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}=0} , allora tutti gli a i {\displaystyle a_{i}} sono uguali a 0.

Mentre ogni modulo possiede un insieme di generatori (ad esempio si può prendere E = M {\displaystyle E=M} stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -modulo Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} delle classi di resto modulo n {\displaystyle n} .

Se A {\displaystyle A} è un campo, gli A {\displaystyle A} -moduli sono gli spazi vettoriali, e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli A {\displaystyle A} -moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli A {\displaystyle A} -moduli sono liberi, e A {\displaystyle A} è commutativo, allora A {\displaystyle A} è un campo; lasciando cadere l'ipotesi di commutatività, A {\displaystyle A} deve essere un corpo.

Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento m {\displaystyle m} come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la somma diretta di copie di A {\displaystyle A} .

Un particolare modulo libero è l'anello A {\displaystyle A} stesso. Se A {\displaystyle A} è unitario, ha { 1 A } {\displaystyle \{1_{A}\}} come base (è quindi anche ciclico).

Se M {\displaystyle M} è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la cardinalità della base è univocamente determinata. Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi^[1] e per tutti gli anelli noetheriani;^[2] in particolare si ottiene che la dimensione degli spazi vettoriali è ben definita. Essa viene detta rango del modulo libero.

Si può caratterizzare "il" modulo libero generato da un insieme S {\displaystyle S} (unico a meno di isomorfismo unico) tramite una proprietà universale. Dato un insieme S {\displaystyle S} , un A {\displaystyle A} -modulo libero generato da S {\displaystyle S} è un modulo M {\displaystyle M} che contiene S {\displaystyle S} e tale che, per ogni A {\displaystyle A} -modulo N {\displaystyle N} e per ogni morfismo di insiemi f : S → N {\displaystyle f\colon S\to N} , rimanga determinato uno e un solo omomorfismo di moduli φ : M → N {\displaystyle \varphi \colon M\to N} tale che φ | S = f {\displaystyle \varphi |_{S}=f} . L'omomorfismo φ {\displaystyle \varphi } viene definito sfruttando il fatto, equivalente al fatto che M {\displaystyle M} sia libero su S {\displaystyle S} , che ogni elemento di M {\displaystyle M} si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di S {\displaystyle S} . Se m = ∑ s ∈ S a s s {\displaystyle m=\sum _{s\in S}a_{s}s} , si pone φ ( m ) = ∑ s ∈ S a s f ( s ) . {\displaystyle \varphi (m)=\sum _{s\in S}a_{s}f(s).}

A partire da un insieme arbitrario E {\displaystyle E} , è possibile costruire un A {\displaystyle A} -modulo libero che ha E {\displaystyle E} come base: considerando tutte le combinazioni lineari formali a 1 e 1 + ⋯ + a n e n {\displaystyle a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}} , per qualsiasi sottoinsieme finito { e 1 , … , e n } {\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}} e qualsiasi a 1 , … , a n ∈ A {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A} ; l'addizione e la moltiplicazione scalare vengono poi definiti termine a termine.

A partire da questo si può dimostrare che ogni modulo è quoziente di un modulo libero: dato infatti un insieme di generatori E {\displaystyle E} per M {\displaystyle M} (ad esempio E = M {\displaystyle E=M} stesso), si può formare il modulo libero su E {\displaystyle E} , e considerare il sottomodulo N {\displaystyle N} generato dalle relazioni tra elementi di M {\displaystyle M} (ad esempio, se e + f = 0 {\displaystyle e+f=0} , allora e + f {\displaystyle e+f} sarà contenuto in N {\displaystyle N} ). Il quoziente L / N {\displaystyle L/N} risulta isomorfo a M {\displaystyle M} .

Somme e prodotti di moduli liberi sono ancora liberi; lo stesso vale per il prodotto tensoriale di due moduli liberi.

Tutti i moduli liberi sono proiettivi e piatti; unito al fatto che ogni modulo è quoziente di un modulo libero, questo dimostra che ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Al contrario, è raro che i moduli liberi siano iniettivi: ad esempio, se A {\displaystyle A} è commutativo e locale, A {\displaystyle A} stesso (considerato come A {\displaystyle A} -modulo) può essere iniettivo solo se la sua dimensione è 0.^[3]

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.

• (EN) V.E. Govorov, Free module, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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