Loop (algebra)

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Un loop (o cappio o laccio) è una struttura algebrica non associativa usata in matematica.

Un loop consiste di un insieme non vuoto L {\displaystyle L} dotato di un'operazione binaria

⋅ : L × L → L , ( a , b ) ↦ a ⋅ b , {\displaystyle {\begin{aligned}\cdot \colon L\times L&\to L,\\(a,b)&\mapsto a\cdot b,\end{aligned}}}

tale che:

1. esiste un elemento 1 L {\displaystyle 1_{L}} , detto neutro, tale che 1 L ⋅ a = a ⋅ 1 L = a {\displaystyle 1_{L}\cdot a=a\cdot 1_{L}=a} per ogni a ∈ L {\displaystyle a\in L} ;
2. l'equazione a ⋅ x = b {\displaystyle a\cdot x=b} ha un'unica soluzione x ∈ L {\displaystyle x\in L} ;
3. l'equazione x ⋅ a = b {\displaystyle x\cdot a=b} ha un'unica soluzione x ∈ L {\displaystyle x\in L} .

Talvolta, per semplicità, si omette il simbolo di operazione scrivendo a b {\displaystyle ab} invece di a ⋅ b . {\displaystyle a\cdot b.}

• ogni quasigruppo dotato di elemento neutro è un loop ed ogni loop è un left loop;
• ogni elemento del loop ha un unico inverso sinistro e un unico inverso destro;
• un loop associativo è un gruppo.

La teoria dei loop è riconducibile a quella dei gruppi sebbene non possa essere completamente ricondotta ad essa in modo lineare ed esaustivo.

Dato un loop ( L , ⋅ ) {\displaystyle (L,\cdot )} definiamo alcune funzioni caratteristiche:

• Le traslazioni sinistre: λ a ( x ) := a ⋅ x . {\displaystyle \lambda _{a}(x):=a\cdot x.}
• Le traslazioni destre: ρ a ( x ) := x ⋅ a . {\displaystyle \rho _{a}(x):=x\cdot a.}
• Le deviazioni centrali: τ a ( x ) := ρ a λ a − 1 ( x ) . {\displaystyle \tau _{a}(x):=\rho _{a}\lambda _{a}^{-1}(x).}
• Le deviazioni sinistre: δ a , b λ ( x ) := λ a ⋅ b − 1 λ a λ b ( x ) . {\displaystyle \delta _{a,\,b}^{\lambda }(x):=\lambda _{a\cdot \,b}^{-1}\lambda _{a}\lambda _{b}(x).}
• Le deviazioni destre: δ a , b ρ ( x ) := ρ a ⋅ b − 1 ρ b ρ a ( x ) . {\displaystyle \delta _{a,\,b}^{\rho }(x):=\rho _{a\cdot \,b}^{-1}\rho _{b}\rho _{a}(x).}

Tali funzioni ci consentono di definire alcuni gruppi associati ad un loop. Tali gruppi sono:

• il gruppo delle traslazioni, generato da tutte le traslazioni del loop;
• il gruppo G ( L ) {\displaystyle G(L)} delle traslazioni sinistre, generato da tutte le traslazioni sinistre del loop;
• il gruppo delle traslazioni destre, generato da tutte le traslazioni destre del loop.

Tali gruppi agiscono in modo naturale su L {\displaystyle L} come elementi del gruppo simmetrico su L {\displaystyle L} . In particolare i relativi stabilizzatori dell'elemento neutro sono generati dalle rispettive deviazioni.

La tripla ξ = ( G ( L ) , H ( L ) , Λ ) {\displaystyle \xi ={\big (}G(L),H(L),\Lambda {\big )}} dove H ( L ) {\displaystyle H(L)} è lo stabilizzatore in G ( L ) {\displaystyle G(L)} dell'elemento neutro e Λ {\displaystyle \Lambda } l'insieme delle traslazioni sinistre, prende il nome di envelope fedele.

Viceversa, una tripla ξ = ( G , H , L ) {\displaystyle \xi =(G,H,L)} dove G {\displaystyle G} è un gruppo, H {\displaystyle H} è un sottogruppo di G {\displaystyle G} ed L {\displaystyle L} è un trasversale sinistro del quoziente G / H g {\displaystyle G/H^{g}} per ogni g ∈ G {\displaystyle g\in G} prende il nome di folder.

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Si tratta di un loop ( L , ⋅ ) {\displaystyle (L,\cdot )} che soddisfa l'identità ( a b ) ( c a ) = ( a ( b c ) ) a {\displaystyle (ab)(ca)=(a(bc))a} per ogni a , b , c {\displaystyle a,b,c} in L {\displaystyle L} .

• I Moufang loops non banali, cioè che non siano gruppi, soddisfano una forma debole di associatività.
• La seguente identità

( a b ) ( c a ) = ( a ( b c ) ) a {\displaystyle (ab)(ca)=(a(bc))a}

è equivalente a ciascuna delle seguenti:

a ( b ( a c ) ) = ( ( a b ) a ) c ; {\displaystyle a(b(ac))=((ab)a)c;}

a ( b ( c b ) ) = ( ( a b ) c ) b . {\displaystyle a(b(cb))=((ab)c)b.}

Le tre precedenti equazioni sono denominate identità di Moufang. Con ognuna è possibile definire un loop di Moufang.

• Ponendo nelle precedenti identità uno degli elementi uguale all'elemento neutro, si ha

a ( a b ) = ( a a ) b ; {\displaystyle a(ab)=(aa)b;}

( a b ) b = a ( b b ) ; {\displaystyle (ab)b=a(bb);}

a ( b a ) = ( a b ) a . {\displaystyle a(ba)=(ab)a.}

Pertanto, tutti i loop di Moufang sono alternativi.

• Moufang ha dimostrato inoltre che il sottoloop generato da uno dei due elementi del loop di Moufang è associativo (e dunque è un gruppo), quindi i loop di Moufang soddisfano l'associatività della potenza.
• Quando si lavora con i loop di Moufang, è uso comune non usare le parentesi in espressioni con solo due elementi distinti.

Lo stesso argomento in dettaglio: Ottonioni.

Quale esempio di loop si può ricordare il quasigruppo formato dagli elementi unità degli ottonioni.

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