Un left-loop è una struttura algebrica usata in matematica.
Un left-loop è una struttura algebrica che consiste di un insieme non vuoto
L
{\displaystyle L}
dotato di un'operazione binaria
-
(
⋅
)
:
L
×
L
⟶
L
{\displaystyle (\cdot ):L\times L\longrightarrow L}
tale che:
- esiste un elemento
1
L
{\displaystyle 1_{L}}
, detto neutro, tale che
1
L
⋅
a
=
a
⋅
1
L
{\displaystyle 1_{L}\cdot a=a\cdot 1_{L}}
per ogni
a
∈
L
{\displaystyle a\in L}
;
- l'equazione
a
⋅
x
=
b
{\displaystyle a\cdot x=b}
ha un'unica soluzione
x
∈
L
{\displaystyle x\in L}
.
Siano
G
{\displaystyle G}
un gruppo ed
H
{\displaystyle H}
un suo sottogruppo. Una sezione di
G
{\displaystyle G}
relativamente ad
H
{\displaystyle H}
è un'applicazione
-
σ
:
G
/
H
⟶
G
,
{\displaystyle \sigma :G/H\longrightarrow G,}
dove
G
/
H
{\displaystyle G/H}
è la famiglia delle classi laterali sinistre di
G
{\displaystyle G}
modulo
H
{\displaystyle H}
, tale che:
-
σ
(
G
/
H
)
{\displaystyle \sigma (G/H)}
è un insieme di rappresentanti di classi laterali sinistre;
-
σ
(
H
)
=
1
G
{\displaystyle \sigma (H)=1_{G}}
.
Inoltre l'immagine
L
:=
σ
(
G
/
H
)
{\displaystyle L:=\sigma (G/H)}
della sezione prende il nome di trasversale (sinistro) di
G
/
H
{\displaystyle G/H}
. Va osservato che la 1. è equivalente alla condizione
-
π
∘
σ
(
g
H
)
=
g
H
,
∀
g
∈
G
,
{\displaystyle \pi \circ \sigma (gH)=gH,\quad \forall g\in G,}
dove
π
:
G
→
G
/
H
{\displaystyle \pi :G\to G/H}
è la proiezione canonica del gruppo
G
{\displaystyle G}
sul quoziente
G
/
H
{\displaystyle G/H}
.
Siano
G
{\displaystyle G}
un gruppo,
H
{\displaystyle H}
un sottogruppo di
G
{\displaystyle G}
e
σ
{\displaystyle \sigma }
una sezione di
G
/
H
{\displaystyle G/H}
, allora
L
:=
σ
(
G
/
H
)
{\displaystyle L:=\sigma (G/H)}
è un left loop rispetto l'operazione
-
a
⋅
b
:=
σ
(
a
b
H
)
(
a
,
b
∈
L
)
.
{\displaystyle a\cdot b:=\sigma (abH)\quad (a,b\in L).}
Dimostrazione
L'identità
1
G
{\displaystyle 1_{G}}
sta in
L
{\displaystyle L}
poiché esso è un trasversale di
G
/
H
{\displaystyle G/H}
, dunque basta far vedere che l'equazione sinistra
-
a
⋅
x
=
b
,
(
1
)
{\displaystyle a\cdot x=b,\quad (1)}
ha un'unica soluzione in
L
.
{\displaystyle L.}
L'elemento
σ
(
a
−
1
b
H
)
{\displaystyle \sigma (a^{-1}bH)}
è una soluzione di (1), poiché
-
a
⋅
σ
(
a
−
1
b
H
)
=
σ
(
a
σ
(
a
−
1
b
H
)
H
)
=
σ
(
a
a
−
1
b
H
)
=
σ
(
b
H
)
=
b
.
{\displaystyle a\cdot \sigma (a^{-1}bH)=\sigma (a\sigma (a^{-1}bH)H)=\sigma (aa^{-1}bH)=\sigma (bH)=b.}
Supponiamo che
-
a
⋅
x
=
a
⋅
y
,
{\displaystyle a\cdot x=a\cdot y,}
per qualche
x
,
y
∈
L
{\displaystyle x,y\in L}
, allora
-
a
⋅
x
=
a
⋅
y
⇔
σ
(
a
⋅
x
H
)
=
σ
(
a
⋅
y
H
)
⇒
σ
(
a
⋅
x
H
)
H
=
σ
(
a
⋅
y
H
)
H
⇒
{\displaystyle a\cdot x=a\cdot y\Leftrightarrow \sigma (a\cdot xH)=\sigma (a\cdot yH)\Rightarrow \sigma (a\cdot xH)H=\sigma (a\cdot yH)H\Rightarrow }
-
⇒
a
x
H
=
a
y
H
⇒
x
H
=
y
H
⇒
x
=
y
.
{\displaystyle \Rightarrow axH=ayH\Rightarrow xH=yH\Rightarrow x=y.}
Siano
G
{\displaystyle G}
un gruppo,
H
{\displaystyle H}
un sottogruppo ed
σ
:
G
/
H
→
G
{\displaystyle \sigma :G/H\to G}
una sezione con
σ
(
H
)
=
1
G
{\displaystyle \sigma (H)=1_{G}}
. Il left-loop definito su
L
=
σ
(
G
/
H
)
{\displaystyle L=\sigma (G/H)}
rispetto l'operazione
-
a
⋅
b
:=
σ
(
a
b
H
)
(
a
,
b
∈
L
)
.
{\displaystyle a\cdot b:=\sigma (abH)\quad (a,b\in L).}
è un loop se e solo se
L
{\displaystyle L}
è trasversale sinistro per ogni spazio omogeneo
G
/
H
g
{\displaystyle G/H^{g}}
,
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
.
