Gradino di potenziale

In meccanica quantistica il gradino di potenziale (o salto di potenziale) è un potenziale proporzionale al gradino di Heaviside: V ( x ) = V 0 Θ ( x ) = { 0 x < 0 V 0 x > 0 {\displaystyle V(x)=V_{0}\Theta (x)={\begin{cases}0&x<0\\V_{0}&x>0\end{cases}}} Questo tipo di studio quantistico è tipico di un fascio di particelle quantistiche che viaggiano nella direzione positiva dell'asse x: per x < 0 {\displaystyle x<0} le particelle sono libere, per x > 0 {\displaystyle x>0} sono sottoposte ad un potenziale costante V 0 {\displaystyle V_{0}} . Nella meccanica classica le particelle che arrivano alla barriera di potenziale con E > V 0 {\displaystyle E>V_{0}} superano il gradino di potenziale e proseguono con energia minore e quindi con velocità minore; per E < V 0 {\displaystyle E<V_{0}} le particelle classiche rimbalzano e riprendono il moto nella direzione opposta. Vedremo che in meccanica quantistica per E < V 0 {\displaystyle E<V_{0}} si ha una probabilità non nulla che le particelle si trovino oltre la barriera, mentre, per E > V 0 {\displaystyle E>V_{0}} ci possono essere particelle che rimbalzano sulla barriera. L'equazione di Schrödinger è in generale: − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ ( x ) + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\,\psi (x)=E\,\psi (x)} poiché il potenziale divide la regione in due zone (vedi figura): la prima per x < 0 {\displaystyle x<0} , la seconda x > 0 {\displaystyle x>0} , il problema va trattato in ognuna delle due zone separatamente e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza del punto di separazione x = 0 {\displaystyle x=0} . { − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ ( x ) = E ψ ( x ) x < 0 − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ ( x ) + V 0 ψ ( x ) = E ψ ( x ) x > 0 {\displaystyle {\begin{cases}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=E\,\psi (x)&x<0\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V_{0}\,\psi (x)=E\,\psi (x)&x>0\end{cases}}} Dobbiamo cercare soluzioni che siano appartenenti a L 2 ( R ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} )} e imporre inoltre che siano continue con derivata prima continua nel punto di discontinuità x = 0 {\displaystyle x=0} . Bisogna subito chiarire che non esistono soluzioni per E < 0 {\displaystyle E<0} , mentre si possono presentare i due casi: E > V 0 {\displaystyle E>V_{0}} ed E < V 0 {\displaystyle E<V_{0}} . Consideriamo il caso E > V 0 {\displaystyle E>V_{0}} . Riscriviamo le equazioni: { d 2 d x 2 ψ ( x ) + k 2 ψ ( x ) = 0 x < 0 d 2 d x 2 ψ ( x ) + q 2 ψ ( x ) = 0 x > 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+k^{2}\psi (x)=0&x<0\\{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+q^{2}\psi (x)=0&x>0\end{cases}}} dove k 2 = 2 m E ℏ 2 {\displaystyle k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}} e q 2 = 2 m ( E − V 0 ) ℏ 2 {\displaystyle q^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}} . Queste equazioni hanno soluzione generale in termini di esponenziale complesso date da: { ψ ( x ) = A e i k x + B e − i k x x < 0 ψ ( x ) = C e i q x + D e − i q x x > 0 {\displaystyle {\begin{cases}\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}&x<0\\\psi (x)=Ce^{iqx}+De^{-iqx}&x>0\end{cases}}} con A, B, C, D coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Nel caso x > 0 {\displaystyle x>0} , si deve porre D = 0 {\displaystyle D=0} poiché fisicamente non vi può essere onda di ritorno. Queste funzioni d'onda corrispondono al moto di un fascio di particelle incidenti. Ricordiamo che la densità di corrente di probabilità, associata a una funzione d'onda ψ {\displaystyle \psi } è definita come: J = − i ℏ 2 m ( ψ ∗ d d x ψ − ψ d d x ψ ∗ ) . {\displaystyle J=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{\ast }{\frac {d}{dx}}\psi -\psi {\frac {d}{dx}}\psi ^{\ast }\right){\text{.}}} Dunque, indicando con J i {\displaystyle J_{i}} il flusso di particelle incidenti, che si muovono lungo l'asse x con velocità v = ℏ k / m {\displaystyle v=\hbar \,k/m} , l'onda piana incidente, per x < 0 {\displaystyle x<0} , è quella con l'esponenziale positivo: J i = − i ℏ 2 m ( A ∗ e − i k x d d x A e i k x − A e i k x d d x A ∗ e − i k x ) = ℏ k m | A | 2 . {\displaystyle J_{i}=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(A^{*}e^{-ikx}{\frac {d}{dx}}Ae^{ikx}-Ae^{ikx}{\frac {d}{dx}}A^{*}e^{-ikx}\right)={\frac {\hbar k}{m}}|A|^{2}.} Quindi, si deve porre A = 1 {\displaystyle A=1} , in modo da considerare il flusso unitario di particelle incidenti. Le nostre soluzioni sono: ψ ( x ) = { e i k x + B e − i k x x < 0 C e i q x x > 0 {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}e^{ikx}+Be^{-ikx}&x<0\\Ce^{iqx}&x>0\end{cases}}} Le costanti B e C sono fissati dalla condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in x = 0 {\displaystyle x=0} ; La 1 + B = C {\displaystyle 1+B=C} è dovuta al raccordo delle funzioni d'onda in x = 0 {\displaystyle x=0} e la k ( 1 − B ) = q C {\displaystyle k\,(1-B)=q\,C} esprime la continuità delle derivate prime della funzione d'onda. Ricaviamo B e C: B = k − q k + q {\displaystyle B={\frac {k-q}{k+q}}} C = 2 k k + q {\displaystyle C={\frac {2k}{k+q}}} Classicamente il fascio di particelle incidenti attraverserebbe il gradino di potenziale, subendo un'attenuazione della quantità di moto, invece nel caso quantistico si ha una componente riflessa: J r = − ℏ k m | B | 2 = − ℏ k m ( k − q k + q ) 2 {\displaystyle J_{r}=-{\frac {\hbar k}{m}}\vert B\vert ^{2}=-{\frac {\hbar k}{m}}\left({\frac {k-q}{k+q}}\right)^{2}} cioè un flusso di particelle riflesse con la stessa velocità, in modulo, del flusso incidente v = ℏ k / m {\displaystyle v=\hbar \,k/m} . Ricordando la definizione del coefficiente di riflessione, R, definito come modulo del rapporto tra J r {\displaystyle J_{r}} e J i {\displaystyle J_{i}} , risulta: R = | B | 2 = ( k − q k + q ) 2 {\displaystyle R=|B|^{2}=\left({\frac {k-q}{k+q}}\right)^{2}} Una parte del flusso incidente viene riflesso, ma una parte viene trasmessa oltre il gradino di potenziale: J t = ℏ q m | C | 2 = ℏ q m ( 2 k k + q ) 2 {\displaystyle J_{t}={\frac {\hbar q}{m}}|C|^{2}={\frac {\hbar q}{m}}\left({\frac {2k}{k+q}}\right)^{2}} Ricordando la definizione di coefficiente di trasmissione, T, definito come modulo del rapporto tra J t {\displaystyle J_{t}} e J i {\displaystyle J_{i}} , otteniamo: T = q k | C | 2 = 4 k q ( k + q ) 2 {\displaystyle T={\frac {q}{k}}|C|^{2}={\frac {4kq}{(k+q)^{2}}}} dove vale sempre la relazione R + T = 1 {\displaystyle R+T=1} . Consideriamo ora il caso E < V 0 {\displaystyle E<V_{0}} , per cui q 2 {\displaystyle q^{2}} è un numero immaginario che riscriviamo nella forma q 2 = 2 m ( E − V 0 ) ℏ 2 = − λ 2 < 0 . {\displaystyle q^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}=-\lambda ^{2}<0{\text{.}}} La soluzione dell'equazione di Schrödinger nel caso x > 0 {\displaystyle x>0} diventa: ψ ( x ) = C e − λ x {\displaystyle \psi (x)=C\,e^{-\lambda x}} infatti l'esponenziale positivo non converge all'infinito. Valgono in tal caso tutti i risultati visti sopra con la sostituzione di q → i λ {\displaystyle q\,\rightarrow \,i\lambda } : B = k − i λ k + i λ {\displaystyle B={\frac {k-i\lambda }{k+i\lambda }}} C = 2 k k + i λ {\displaystyle C={\frac {2k}{k+i\lambda }}} In particolare, i coefficienti di riflessione e trasmissione diventano: R = | J r J i | = | k − i λ k + i λ | 2 = 1 {\displaystyle R=\left\vert {\frac {J_{r}}{J_{i}}}\right\vert =\left\vert {\frac {k-i\lambda }{k+i\lambda }}\right\vert ^{2}=1} T = | J t J i | = 0 , {\displaystyle T=\left\vert {\frac {J_{t}}{J_{i}}}\right\vert =0,} essendo J t = 0 {\displaystyle J_{t}=0} . Si ha come nel caso classico riflessione totale, come c'era da aspettarsi, poiché l'energia è molto minore del potenziale. Tuttavia, si ha una probabilità non nulla che il fascio di particelle attraversi la barriera: questo effetto è chiamato effetto tunnel (si veda anche il caso della barriera di potenziale).

In meccanica quantistica il gradino di potenziale (o salto di potenziale) è un potenziale proporzionale al gradino di Heaviside:

V ( x ) = V 0 Θ ( x ) = { 0 x < 0 V 0 x > 0 {\displaystyle V(x)=V_{0}\Theta (x)={\begin{cases}0&x<0\\V_{0}&x>0\end{cases}}}

Questo tipo di studio quantistico è tipico di un fascio di particelle quantistiche che viaggiano nella direzione positiva dell'asse x: per x < 0 {\displaystyle x<0} le particelle sono libere, per x > 0 {\displaystyle x>0} sono sottoposte ad un potenziale costante V 0 {\displaystyle V_{0}} . Nella meccanica classica le particelle che arrivano alla barriera di potenziale con E > V 0 {\displaystyle E>V_{0}} superano il gradino di potenziale e proseguono con energia minore e quindi con velocità minore; per E < V 0 {\displaystyle E<V_{0}} le particelle classiche rimbalzano e riprendono il moto nella direzione opposta. Vedremo che in meccanica quantistica per E < V 0 {\displaystyle E<V_{0}} si ha una probabilità non nulla che le particelle si trovino oltre la barriera, mentre, per E > V 0 {\displaystyle E>V_{0}} ci possono essere particelle che rimbalzano sulla barriera.

L'equazione di Schrödinger è in generale:

− ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ ( x ) + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\,\psi (x)=E\,\psi (x)}

poiché il potenziale divide la regione in due zone (vedi figura): la prima per x < 0 {\displaystyle x<0} , la seconda x > 0 {\displaystyle x>0} , il problema va trattato in ognuna delle due zone separatamente e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza del punto di separazione x = 0 {\displaystyle x=0} .

{ − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ ( x ) = E ψ ( x ) x < 0 − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ ( x ) + V 0 ψ ( x ) = E ψ ( x ) x > 0 {\displaystyle {\begin{cases}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=E\,\psi (x)&x<0\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V_{0}\,\psi (x)=E\,\psi (x)&x>0\end{cases}}}

Dobbiamo cercare soluzioni che siano appartenenti a L 2 ( R ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} )} e imporre inoltre che siano continue con derivata prima continua nel punto di discontinuità x = 0 {\displaystyle x=0} . Bisogna subito chiarire che non esistono soluzioni per E < 0 {\displaystyle E<0} , mentre si possono presentare i due casi: E > V 0 {\displaystyle E>V_{0}} ed E < V 0 {\displaystyle E<V_{0}} .

• Consideriamo il caso E > V 0 {\displaystyle E>V_{0}} . Riscriviamo le equazioni:

{ d 2 d x 2 ψ ( x ) + k 2 ψ ( x ) = 0 x < 0 d 2 d x 2 ψ ( x ) + q 2 ψ ( x ) = 0 x > 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+k^{2}\psi (x)=0&x<0\\{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+q^{2}\psi (x)=0&x>0\end{cases}}}

dove k 2 = 2 m E ℏ 2 {\displaystyle k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}} e q 2 = 2 m ( E − V 0 ) ℏ 2 {\displaystyle q^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}} . Queste equazioni hanno soluzione generale in termini di esponenziale complesso date da:

{ ψ ( x ) = A e i k x + B e − i k x x < 0 ψ ( x ) = C e i q x + D e − i q x x > 0 {\displaystyle {\begin{cases}\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}&x<0\\\psi (x)=Ce^{iqx}+De^{-iqx}&x>0\end{cases}}}

con A, B, C, D coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Nel caso x > 0 {\displaystyle x>0} , si deve porre D = 0 {\displaystyle D=0} poiché fisicamente non vi può essere onda di ritorno. Queste funzioni d'onda corrispondono al moto di un fascio di particelle incidenti. Ricordiamo che la densità di corrente di probabilità, associata a una funzione d'onda ψ {\displaystyle \psi } è definita come:

J = − i ℏ 2 m ( ψ ∗ d d x ψ − ψ d d x ψ ∗ ) . {\displaystyle J=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{\ast }{\frac {d}{dx}}\psi -\psi {\frac {d}{dx}}\psi ^{\ast }\right){\text{.}}}

Dunque, indicando con J i {\displaystyle J_{i}} il flusso di particelle incidenti, che si muovono lungo l'asse x con velocità v = ℏ k / m {\displaystyle v=\hbar \,k/m} , l'onda piana incidente, per x < 0 {\displaystyle x<0} , è quella con l'esponenziale positivo:

J i = − i ℏ 2 m ( A ∗ e − i k x d d x A e i k x − A e i k x d d x A ∗ e − i k x ) = ℏ k m | A | 2 . {\displaystyle J_{i}=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(A^{*}e^{-ikx}{\frac {d}{dx}}Ae^{ikx}-Ae^{ikx}{\frac {d}{dx}}A^{*}e^{-ikx}\right)={\frac {\hbar k}{m}}|A|^{2}.}

Quindi, si deve porre A = 1 {\displaystyle A=1} , in modo da considerare il flusso unitario di particelle incidenti. Le nostre soluzioni sono:

ψ ( x ) = { e i k x + B e − i k x x < 0 C e i q x x > 0 {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}e^{ikx}+Be^{-ikx}&x<0\\Ce^{iqx}&x>0\end{cases}}}

Le costanti B e C sono fissati dalla condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in x = 0 {\displaystyle x=0} ; La

1 + B = C {\displaystyle 1+B=C}

è dovuta al raccordo delle funzioni d'onda in x = 0 {\displaystyle x=0} e la

k ( 1 − B ) = q C {\displaystyle k\,(1-B)=q\,C}

esprime la continuità delle derivate prime della funzione d'onda.

Ricaviamo B e C:

B = k − q k + q {\displaystyle B={\frac {k-q}{k+q}}}

C = 2 k k + q {\displaystyle C={\frac {2k}{k+q}}}

Classicamente il fascio di particelle incidenti attraverserebbe il gradino di potenziale, subendo un'attenuazione della quantità di moto, invece nel caso quantistico si ha una componente riflessa:

J r = − ℏ k m | B | 2 = − ℏ k m ( k − q k + q ) 2 {\displaystyle J_{r}=-{\frac {\hbar k}{m}}\vert B\vert ^{2}=-{\frac {\hbar k}{m}}\left({\frac {k-q}{k+q}}\right)^{2}}

cioè un flusso di particelle riflesse con la stessa velocità, in modulo, del flusso incidente v = ℏ k / m {\displaystyle v=\hbar \,k/m} . Ricordando la definizione del coefficiente di riflessione, R, definito come modulo del rapporto tra J r {\displaystyle J_{r}} e J i {\displaystyle J_{i}} , risulta:

R = | B | 2 = ( k − q k + q ) 2 {\displaystyle R=|B|^{2}=\left({\frac {k-q}{k+q}}\right)^{2}}

Una parte del flusso incidente viene riflesso, ma una parte viene trasmessa oltre il gradino di potenziale:

J t = ℏ q m | C | 2 = ℏ q m ( 2 k k + q ) 2 {\displaystyle J_{t}={\frac {\hbar q}{m}}|C|^{2}={\frac {\hbar q}{m}}\left({\frac {2k}{k+q}}\right)^{2}}

Ricordando la definizione di coefficiente di trasmissione, T, definito come modulo del rapporto tra J t {\displaystyle J_{t}} e J i {\displaystyle J_{i}} , otteniamo:

T = q k | C | 2 = 4 k q ( k + q ) 2 {\displaystyle T={\frac {q}{k}}|C|^{2}={\frac {4kq}{(k+q)^{2}}}}

dove vale sempre la relazione R + T = 1 {\displaystyle R+T=1} .

• Consideriamo ora il caso E < V 0 {\displaystyle E<V_{0}} , per cui q 2 {\displaystyle q^{2}} è un numero

immaginario che riscriviamo nella forma

q 2 = 2 m ( E − V 0 ) ℏ 2 = − λ 2 < 0 . {\displaystyle q^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}=-\lambda ^{2}<0{\text{.}}}

La soluzione dell'equazione di Schrödinger nel caso x > 0 {\displaystyle x>0} diventa:

ψ ( x ) = C e − λ x {\displaystyle \psi (x)=C\,e^{-\lambda x}}

infatti l'esponenziale positivo non converge all'infinito. Valgono in tal caso tutti i risultati visti sopra con la sostituzione di q → i λ {\displaystyle q\,\rightarrow \,i\lambda } :

B = k − i λ k + i λ {\displaystyle B={\frac {k-i\lambda }{k+i\lambda }}}

C = 2 k k + i λ {\displaystyle C={\frac {2k}{k+i\lambda }}}

In particolare, i coefficienti di riflessione e trasmissione diventano:

R = | J r J i | = | k − i λ k + i λ | 2 = 1 {\displaystyle R=\left\vert {\frac {J_{r}}{J_{i}}}\right\vert =\left\vert {\frac {k-i\lambda }{k+i\lambda }}\right\vert ^{2}=1}

T = | J t J i | = 0 , {\displaystyle T=\left\vert {\frac {J_{t}}{J_{i}}}\right\vert =0,}

essendo J t = 0 {\displaystyle J_{t}=0} . Si ha come nel caso classico riflessione totale, come c'era da aspettarsi, poiché l'energia è molto minore del potenziale. Tuttavia, si ha una probabilità non nulla che il fascio di particelle attraversi la barriera: questo effetto è chiamato effetto tunnel (si veda anche il caso della barriera di potenziale).

Voci correlate

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• Particella libera
• Buca di potenziale
• Oscillatore armonico quantistico
• Barriera di potenziale

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