Buca di potenziale

In meccanica quantistica la buca di potenziale è un potenziale unidimensionale che commuta tra due valori, in corrispondenza di un certo intervallo 0 < x < a {\displaystyle 0<x<a} ; il più piccolo dei due livelli di potenziale può essere sempre posto uguale a zero. Una funzione del tipo:

V ( x ) = { 0 0 < x < a ∞ x < 0 ; x > a {\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&0<x<a\\\infty &x<0;\,x>a\end{cases}}}

costituisce una buca di potenziale infinita^[1], mentre

V ( x ) = { 0 0 < x < a V 0 x < 0 ; x > a {\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&0<x<a\\V_{0}&x<0;\,x>a\end{cases}}}

definisce una buca di potenziale finita.

In modo simile, si possono definire delle buche di potenziale in due o tre dimensioni.

L'equazione di Schrödinger stazionaria in una dimensione è in generale

− ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ ( x ) + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) . {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\,\psi (x)=E\,\psi (x).}

dove m è la massa della particella, E l'energia dello stato ψ {\displaystyle \psi } .

Come mostrato in figura, il potenziale divide la regione in tre zone: la prima per x < 0 {\displaystyle x<0} , la seconda 0 < x < a {\displaystyle 0<x<a} e la terza per x > a {\displaystyle x>a} ; allora, il problema va trattato in ognuna delle tre zone e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza dei punti di separazione.

Chiaramente nella zona x < 0 {\displaystyle x<0} e nella zona x > a {\displaystyle x>a} l'unica soluzione per cui V ( x ) → ∞ {\displaystyle V(x)\to \infty } si ha per

ψ ( x ) = 0 , x < 0 , x > a . {\displaystyle \psi (x)=0,\qquad x<0,x>a.}

Nella zona 0 < x < a {\displaystyle 0<x<a} , l'equazione di Schrödinger, per V ( x ) = 0 {\displaystyle V(x)=0} , coincide con quella di una particella libera:

− ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ ( x ) = E ψ ( x ) , {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=E\,\psi (x),}

in cui le energie devono essere positive, E > 0 {\displaystyle E>0} , in modo da avere soluzioni continue e normalizzabili. Possiamo, così, introdurre il vettore d'onda k, tale che k 2 = 2 m E ℏ 2 {\displaystyle k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}} , in modo da riscrivere l'equazione di Schrödinger come:

d 2 d x 2 ψ ( x ) = − k 2 ψ ( x ) {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=-k^{2}\,\psi (x)}

Quest'ultima ha soluzione generale in termini degli esponenziali complessi e ± i k x {\displaystyle e^{\pm ikx}} :

ψ ( x ) = A e i k x + B e − i k x {\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}

con A, B coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Ma per il nostro problema non esistono stati con E < 0 {\displaystyle E<0} . Quindi imponendo le condizioni al contorno:

ψ ( 0 ) = ψ ( a ) = 0 {\displaystyle \psi (0)=\psi (a)=0}

otteniamo

ψ ( x = 0 ) = A + B = 0 {\displaystyle \psi (x=0)=A+B=0}

cioè A = − B {\displaystyle A=-B}

Inoltre per

ψ ( x = a ) = A e i k a + B e − i k a = 0 {\displaystyle \psi (x=a)=Ae^{ika}+Be^{-ika}=0}

da cui sostituendo le espressioni reali tramite la formula di Eulero:

k a = n π {\displaystyle ka=n\pi }

Dunque le due soluzioni corrispondono a quest'unica soluzione:

ψ ( x ) = 2 A sin ⁡ ( k x ) {\displaystyle \psi (x)=2A\sin {(kx)}}

dove k = n π a {\displaystyle k={\frac {n\pi }{a}}} a cui corrisponde una quantizzazione dell'energia, cioè la discretizzazione dell'energia della particella dipendente dal numero n = 1, 2, ... intero positivo:

k 2 = n 2 π 2 a 2 = 2 m E ℏ 2 ⟶ E n = π 2 ℏ 2 2 m a 2 n 2 {\displaystyle k^{2}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\;\;\;\longrightarrow \;\;\;E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}}

Le autofunzioni sono quindi:

ψ n ( x ) = 2 A n sin ⁡ ( k n x ) {\displaystyle \psi _{n}(x)=2A_{n}\sin {(k_{n}x)}}

Imponendo la normalizzazione degli stati, si ottiene la costante A:

∫ − ∞ + ∞ d x | ψ ( x ) | 2 = 1 ⟹ ∫ 0 a d x 4 | A n | 2 sin 2 ⁡ ( k n x ) = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }dx\,{|\psi (x)|}^{2}=1\;\;\;\Longrightarrow \;\;\;\int _{0}^{a}dx\,4{|A_{n}|}^{2}\sin ^{2}{(k_{n}x)}=1}

dalla quale:

2 a | A | 2 = 1 {\displaystyle 2a{|A|}^{2}=1}

A = 1 2 a {\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2a}}}}

Le autofunzioni normalizzate

ψ n ( x ) = 2 a sin ⁡ ( n π a x ) {\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin \left({\frac {n\pi }{a}}x\right)}

costituiscono una base ortonormale per lo spazio di Hilbert L 2 ( 0 , a ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(0,a)} , essendo:

∫ − ∞ ∞ ψ n ∗ ( x ) ψ m ( x ) d x = δ n m {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm}}

Lo stato fondamentale corrisponde alla scelta n = 1. Seguono gli stati eccitati (vedi figura).

La soluzione completa del problema è esprimibile come sviluppo di autofunzioni dell'energia:

Ψ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ c n ψ n ( x ) = ∑ n = 1 ∞ c n 2 a sin ⁡ ( k x ) {\displaystyle \Psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\psi _{n}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}{\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin(kx)}

dove i coefficienti c n {\displaystyle c_{n}} sono dati da:

∫ − ∞ ∞ ψ n ∗ ( x ) Ψ ( x ) d x = ∑ m = 1 ∞ c m ∫ − ∞ ∞ ψ n ∗ ( x ) ψ m ( x ) d x = c n {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\Psi (x)\,dx=\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\psi _{m}(x)\,dx=c_{n}}

i cui moduli quadri rappresentano la probabilità che una misura dell'energia fornisca come risultato:

E = E n {\displaystyle E=E_{n}}

Il valore medio dell'energia si ricava dalla:

⟨ H ⟩ = ∫ − ∞ ∞ Ψ ∗ ( x ) H Ψ ( x ) d x = ∑ n c n E n ∫ − ∞ ∞ Ψ ∗ ( x ) ψ n ( x ) d x = ∑ n | c n | 2 E n {\displaystyle \langle H\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x)H\Psi (x)\,dx=\sum _{n}c_{n}E_{n}\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x)\psi _{n}(x)\,dx=\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n}}

L'evoluzione temporale della funzione d'onda è la soluzione dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

i ℏ ∂ Ψ ( x , t ) ∂ t = H Ψ ( x , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=H\Psi (x,t)}

e quindi è:

Ψ ( x , t ) = ∑ n c n e − i E n t / ℏ ψ n ( x ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{n}c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }\psi _{n}(x)}

Ridefiniamo la scala delle coordinate in modo che il potenziale sia simmetrico per riflessioni, del tipo x → − x {\displaystyle x\to -x} , e ridefiniamo la scala delle energie in modo da avere:

V ( x ) = { − V 0 | x | < a 0 | x | > a . {\displaystyle V(x)={\begin{cases}-V_{0}&\vert x\vert <a\\0&\vert x\vert >a\end{cases}}.}

In questo caso l'equazione di Schrödinger nelle zone | x | > a {\displaystyle \vert x\vert >a} e | x | < a {\displaystyle \vert x\vert <a} è del tipo:

{ − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ ( x ) + | E | ψ ( x ) = 0 | x | > a − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ ( x ) − ( V 0 − | E | ) ψ ( x ) = 0 | x | < a {\displaystyle {\begin{cases}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+|E|\,\psi (x)=0&\,\vert x\vert >a\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)-(V_{0}-|E|)\,\psi (x)=0&\,\vert x\vert <a\end{cases}}}

Poiché

V ( x ) = V ( − x ) , {\displaystyle V\left(x\right)=V\left(-x\right),}

l'operatore hamiltoniano commuta con l'operatore parità:

[ H , P ] = 0 {\displaystyle \left[H,P\right]=0}

Le funzioni d'onda soluzione dell'equazione di Schrödinger sono autofunzioni dell'energia e della parità. Poniamo le due quantità reali:

λ 2 = 2 m | E | ℏ 2 {\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {2m|E|}{\hbar ^{2}}}}

q 2 = 2 m ( V 0 − | E | ) ℏ 2 {\displaystyle q^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}}

l'equazione di Schrödinger si riscrive:

{ d 2 d x 2 ψ ( x ) − λ 2 ψ ( x ) = 0 | x | > a d 2 d x 2 ψ ( x ) + q 2 ψ ( x ) = 0 | x | < a {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)-\lambda ^{2}\psi (x)=0&\,|x|>a\\{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+q^{2}\psi (x)=0&\,|x|<a\end{cases}}}

Esplicitamente le funzioni d'onda sono date da:

ψ ( x ) = { e i λ x + B e − i λ x x < − a C ψ + ( x ) + D ψ − ( x ) − a ≤ x ≤ a D e i λ x x > a {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}e^{i\lambda x}+Be^{-i\lambda x}&\,x<-a\\C\psi ^{+}(x)+D\psi ^{-}(x)&\,-a\leq x\leq a\\De^{i\lambda x}&\,x>a\end{cases}}}

dove le autofunzioni:

ψ + ( x ) = ψ + ( − x ) {\displaystyle \psi ^{+}\left(x\right)=\psi ^{+}\left(-x\right)}

sono a parità pari, mentre

ψ − ( x ) = − ψ − ( − x ) {\displaystyle \psi ^{-}\left(x\right)=-\psi ^{-}\left(-x\right)}

sono a parità dispari.

Trattiamo il caso delle autofunzioni pari prendendo gli esponenziali reali:

ψ + ( x ) = { B e λ x x < − a C cos ⁡ ( q x ) − a ≤ x ≤ a B e − λ x x > a {\displaystyle \psi ^{+}(x)={\begin{cases}Be^{\lambda x}&\,x<-a\\C\cos(qx)&\,-a\leq x\leq a\\Be^{-\lambda x}&\,x>a\end{cases}}}

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in x = − a {\displaystyle x=-a} perché la stessa condizione sia soddisfatta in x = a {\displaystyle x=a} :

ψ + ( x ) = { B e − λ a = C cos ⁡ ( q a ) B λ e − λ a = C q sin ⁡ ( q a ) {\displaystyle \psi ^{+}(x)={\begin{cases}Be^{-\lambda a}=C\cos(qa)\\B\lambda e^{-\lambda a}=Cq\sin(qa)\end{cases}}}

da queste due otteniamo:

q tan ⁡ ( q a ) = λ {\displaystyle q\tan(qa)=\lambda }

Questa equazione può essere risolta graficamente. Definiamo:

y = q a , y 0 2 = 2 m V 0 a 2 ℏ 2 {\displaystyle y=qa,\qquad y_{0}^{2}={\frac {2mV_{0}a^{2}}{\hbar ^{2}}}}

da cui:

λ 2 a 2 = y 0 2 − q 2 a 2 = y 0 2 − y 2 . {\displaystyle \lambda ^{2}\,a^{2}=y_{0}^{2}-q^{2}\,a^{2}=y_{0}^{2}-y^{2}{\text{.}}}

Rappresentando a grafico i due membri dell'equazione:

tan ⁡ y = y 0 2 − y 2 y  per  y 2 ≤ y 0 2 {\displaystyle \tan y={\frac {\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}{y}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}}

otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Allo stesso modo nel caso delle autofunzioni dispari:

ψ − ( x ) = { B ′ e λ x x < − a C ′ sin ⁡ ( q x ) − a ≤ x ≤ a B ′ e − λ x x > a {\displaystyle \psi ^{-}(x)={\begin{cases}B^{\prime }e^{\lambda x}&\,x<-a\\C^{\prime }\sin(qx)&\,-a\leq x\leq a\\B^{\prime }e^{-\lambda x}&\,x>a\end{cases}}}

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in x = a {\displaystyle x=a} perché la stessa condizione sia soddisfatta in x = − a {\displaystyle x=-a} :

ψ − ( x ) = { B ′ e − λ a = − C ′ sin ⁡ ( q a ) B ′ λ e − λ a = C ′ q cos ⁡ ( q a ) {\displaystyle \psi ^{-}(x)={\begin{cases}B^{\prime }e^{-\lambda a}=-C^{\prime }\sin(qa)\\B^{\prime }\lambda e^{-\lambda a}=C^{\prime }q\cos(qa)\end{cases}}}

da queste due otteniamo:

q cot ⁡ ( q a ) = − λ {\displaystyle q\cot(qa)=-\lambda }

La soluzione di questa equazione può essere fatta via grafica, graficando i due membri dell'equazione:

− cot ⁡ y = y 0 2 − y 2 y  per  y 2 ≤ y 0 2 {\displaystyle -\cot y={\frac {\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}{y}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}}

che possiamo riscrivere nella forma:

tan ⁡ y = − y y 0 2 − y 2  per  y 2 ≤ y 0 2 {\displaystyle \tan y=-{\frac {y}{\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}}

Otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Ad esempio, per y 0 = 6 {\displaystyle y_{0}=6} , le soluzioni grafiche sono mostrate in figura. Notiamo che ogni autostato è doppiamente degenere.

Le autofunzioni sono quindi:

ψ E ( x ) = { e − λ | x | | x | > a ψ + ( x ) = cos ⁡ ( q x ) | x | ≤ a ψ − ( x ) = sin ⁡ ( q x ) | x | ≤ a {\displaystyle \psi _{E}(x)={\begin{cases}e^{-\lambda |x|}&\,|x|>a\\\psi ^{+}(x)=\cos(qx)&\,|x|\leq a\\\psi ^{-}(x)=\sin(qx)&\,|x|\leq a\end{cases}}}

dove λ {\displaystyle \lambda } e q {\displaystyle q} sono definite sopra e legate tra loro.

• Particella libera
• Oscillatore armonico quantistico
• Barriera di potenziale
• Gradino di potenziale

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• (EN) potential well, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.