Coefficiente multinomiale

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Il coefficiente multinomiale è un'estensione del coefficiente binomiale. Siano k 1 , … , k r {\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{r}} dei numeri interi positivi con k 1 + … + k r = n {\displaystyle k_{1}+\ldots +k_{r}=n} . Il coefficiente multinomiale è definito come

( n k 1 , … , k r ) := n ! ∏ i = 1 r k i ! , {\displaystyle {n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}:={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{r}k_{i}!}},}

dove ∏ i = 1 r {\displaystyle \prod _{i=1}^{r}} è il simbolo della produttoria. Il coefficiente multinomiale è sempre un numero naturale.^[1]

Come generalizzazione del teorema binomiale vale il cosiddetto teorema multinomiale:

( x 1 + … + x r ) n = ∑ k 1 + … + k r = n ( n k 1 , … , k r ) ⋅ ∏ i = 1 r x i k i , {\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot \prod _{i=1}^{r}x_{i}^{k_{i}},}

ossia

( ∑ i = 1 r x i ) n = ∑ k 1 + … + k r = n n ! ⋅ ∏ i = 1 r x i k i k i ! , {\displaystyle {\bigg (}\sum _{i=1}^{r}x_{i}{\bigg )}^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {x_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}},}

dove ∑ k 1 + … + k r = n {\displaystyle \sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}} indica la sommatoria di tutte le possibili r {\displaystyle r} -ple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a n {\displaystyle n} .

In particolare, per x 1 = … = x r = 1 {\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{r}=1} si ottiene:

r n = ∑ k 1 + … + k r = n n ! ⋅ ∏ i = 1 r 1 k i ! . {\displaystyle r^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {1}{k_{i}!}}}.}

Una forma più compatta della precedente formula fa uso della notazione multi-indice e della contrazione tensoriale:

x n = ∑ k = n n ! x k k ! , {\displaystyle x^{n}=\sum _{k=n}n!{\frac {\mathbf {x} ^{\mathbf {k} }}{\mathbf {k} !}},}

con le norme unitarie:

k = ∑ i = 1 r k i = ‖ k ‖ 1 , {\displaystyle k=\sum _{i=1}^{r}k_{i}=\left\|\mathbf {k} \right\|_{1},}

x = ∑ i = 1 r x i = ‖ x ‖ 1 , {\displaystyle x=\sum _{i=1}^{r}x_{i}=\left\|\mathbf {x} \right\|_{1},}

e

x k = ( x 1 k 1 , x 2 k 2 , … , x r k r ) ∈ R r . {\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathbf {k} }=(x_{1}^{k_{1}},x_{2}^{k_{2}},\ldots ,x_{r}^{k_{r}})\in \mathbb {R} ^{r}.}

Il coefficiente multinomiale è pari al numero di modi in cui possono essere messi n {\displaystyle n} oggetti in r {\displaystyle r} scatole distinte, tali che k 1 {\displaystyle k_{1}} oggetti stiano nella prima scatola, k 2 {\displaystyle k_{2}} nella seconda, e così via.

Inoltre il coefficiente multinomiale dà il numero delle permutazioni di n {\displaystyle n} oggetti, di cui k 1 {\displaystyle k_{1}} uguali tra loro, k 2 {\displaystyle k_{2}} uguali tra loro e così via, dove i valori k i {\displaystyle k_{i}} sono numeri naturali uguali o maggiori a 1 {\displaystyle 1} che soddisfano quindi ∑ i = 1 r k i = n {\displaystyle \sum _{i=1}^{r}k_{i}=n} .

Il coefficiente multinomiale viene usato inoltre nella definizione della variabile casuale multinomiale, una variabile casuale discreta, generalizzazione della variabile casuale binomiale. Notiamo X = ( X 1 , … , X r ) {\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{r})} una variabile casuale che segue la legge multinomiale di parametri ( ( p 1 , … , p r ) , n ) {\displaystyle \left((p_{1},\ldots ,p_{r}),n\right)} , dove i valori p i {\displaystyle p_{i}} sono dei numeri positivi tali che p 1 + … + p r = 1 {\displaystyle p_{1}+\ldots +p_{r}=1} . Immaginamo di lanciare n {\displaystyle n} volte un dado a r {\displaystyle r} facce distinte, di cui la i {\displaystyle i} -esima faccia ha probabilità p i {\displaystyle p_{i}} di apparire, allora X i {\displaystyle X_{i}} è il numero di volte che la i {\displaystyle i} -esima faccia è apparsa (per ogni i ∈ { 1 , … , r } {\displaystyle i\in \{1,\ldots ,r\}} ). In particolare X {\displaystyle X} prende i valori ( k 1 , … , k r ) {\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{r})} con probabilità

P ( X = ( k 1 , … , k r ) ) = ( n k 1 , … , k r ) ⋅ ∏ i = 1 r p i k i . {\displaystyle \mathbb {P} \left(X=(k_{1},\ldots ,k_{r})\right)={n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot \prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}.}

Vi sono molti modi di distribuire a 3 giocatori 10 carte ciascuno, mettendone da parte 2, il tutto prelevato da un mazzo di 32 carte (come nel tradizionale gioco di carte tedesco skat). Quanti sono questi modi?

( 32 10 , 10 , 10 , 2 ) = 32 ! 10 ! ⋅ 10 ! ⋅ 10 ! ⋅ 2 ! = 2753294408504640. {\displaystyle {32 \choose 10,10,10,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2753294408504640.}

• Calcolo combinatorio
• Coefficiente binomiale
• Probabilità
• Teorema binomiale
• Variabile casuale multinomiale

• (EN) multinomial coefficient, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Multinomial Coefficient, su MathWorld, Wolfram Research.

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