Calotta

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In geometria, si dice calotta sferica ciascuna delle parti in cui la superficie di una sfera è suddivisa da un piano secante. Se il piano secante passa per un diametro della sfera le due parti si dicono emisferi. Il volume compreso tra la calotta e il piano secante è detto segmento sferico.

Il cerchio delimitato dalla sfera e dal piano secante è detto base della calotta. Il raggio passante per il centro della base è un asse di simmetria per la calotta, e incontra la calotta stessa in un punto detto vertice; la parte di raggio compresa tra la base e il vertice è detta altezza della calotta.

L'area della superficie della calotta sferica si ottiene dal prodotto della lunghezza della circonferenza massima della sfera a cui appartiene per la sua altezza:

S = 2 π r h , {\displaystyle S=2\pi rh,}

dove r {\displaystyle r} e h {\displaystyle h} sono il raggio della sfera e l'altezza della calotta sferica. Se Ω {\displaystyle \Omega } è l'angolo solido sotteso dalla calotta, la superficie si può esprimere anche come:

S = Ω r 2 . {\displaystyle S=\Omega r^{2}.}

Se si introduce l'apertura α {\displaystyle \alpha } del cono sotteso dalla calotta sferica (confrontare angolo solido) si ottengono le notevoli relazioni:

h = r ( 1 − cos ⁡ ( α 2 ) ) , {\displaystyle h=r\left(1-\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right),}

Ω = 2 π ( 1 − cos ⁡ ( α 2 ) ) . {\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right).}

Il volume della calotta sferica è dato da

V = π h 2 ( r − h 3 ) , {\displaystyle V=\pi h^{2}\left(r-{\frac {h}{3}}\right),}

oppure da

V = π h 6 ( 3 a 2 + h 2 ) . {\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}).}

La relazione tra l'altezza h {\displaystyle h} , il raggio di base della calotta a {\displaystyle a} e il raggio della sfera r {\displaystyle r} è data da:

h = r ± r 2 − a 2 , {\displaystyle h=r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}},}

r = a 2 + h 2 2 h , {\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}},}

dove il segno positivo e negativo della formula corrispondono alle altezze delle due calotte generate da un singolo piano secante.

Fissando un sistema di coordinate cartesiane con origine nel centro della sfera e asse z {\displaystyle z} passante per l'altezza h {\displaystyle h} della calotta, il volume è dato dall'integrale triplo dell'unità sul dominio E = { ( x , y , z ) ∈ R 3   |   r − h ≤ z ≤ r 2 − x 2 − y 2 , 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ a 2 } {\displaystyle E=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ r-h\leq z\leq {\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},0\leq x^{2}+y^{2}\leq a^{2}\}} :

V = ∭ E 1   d x   d y   d z = ∬ D ( ∫ z = ( r − h ) r 2 − x 2 − y 2 1   d z ) d x   d y = ∬ D ( r 2 − x 2 − y 2 − r + h ) d x   d y {\displaystyle V=\iiint _{E}1\ dx\ dy\ dz=\iint _{D}\left(\int _{z=(r-h)}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}1\ dz\right)dx\ dy=\iint _{D}\left({\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}-r+h\right)dx\ dy}

dove D = { ( x , y ) ∈ R 2 | 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ a 2 } . {\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|0\leq x^{2}+y^{2}\leq a^{2}\}.}

Passando alle coordinate polari, si ha:

T = { ( ρ , θ ) ∈ R 2 | 0 ≤ ρ 2 ≤ a 2 , 0 ≤ θ ≤ 2 π } {\displaystyle T=\{(\rho ,\theta )\in \mathbb {R} ^{2}|0\leq \rho ^{2}\leq a^{2},0\leq \theta \leq 2\pi \}}

V = ∬ T ( r 2 − ρ 2 − ρ + h ) ρ   d ρ   d θ = 2 π ∫ ρ = 0 a ( r 2 − ρ 2 − ρ + h ) ρ   d ρ {\displaystyle V=\iint _{T}\left({\sqrt {r^{2}-\rho ^{2}}}-\rho +h\right)\rho \ d\rho \ d\theta =2\pi \int _{\rho =0}^{a}\left({\sqrt {r^{2}-\rho ^{2}}}-\rho +h\right)\rho \ d\rho }

Ricordando che a = 2 2 r h − h 2 {\displaystyle a=2{\sqrt {2rh-h^{2}}}} , si ha la tesi:

V = π h 2 ( r − h 3 ) . {\displaystyle V=\pi h^{2}\left(r-{\frac {h}{3}}\right).}

• Arco di circonferenza
• Geometria sferica
• Segmento circolare
• Sfera
• Sferometro

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su calotta

• Formulario della sfera, su math.it.

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