Matriz diagonal

Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada. Busca fuentes: «Matriz diagonal» – noticias · libros · académico · imágenes Este aviso fue puesto el 5 de abril de 2021.

En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero; el término usualmente hace referencia a matrices cuadradas. Un ejemplo de una matriz diagonal de tamaño 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} es

[ 3 0 0 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&0\\0&2\end{bmatrix}}}

mientras que un ejemplo de una matriz de tamaño 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} es

[ 6 0 0 0 7 0 0 0 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}6&0&0\\0&7&0\\0&0&4\end{bmatrix}}}

La matriz identidad de cualquier tamaño o cualquier múltiplo de ella (una matriz escalar) es una matriz diagonal.

La matriz D = ( d i , j ) {\displaystyle D=(d_{i,j})} con n {\displaystyle n} columnas y n {\displaystyle n} renglones es diagonal si

d i , j = 0 si i ≠ j ∀ i , j ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle d_{i,j}=0\;{\mbox{si}}\;i\neq j\quad \forall \;i,j\in \{1,2,\dots ,n\}}

Los elementos de la diagonal principal de la matriz D {\displaystyle D} pueden tomar cualquier valor.

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Multiplicar un vector por una matriz diagonal implica multiplicar cada elemento del vector por el elemento correspondiente de la diagonal. Dada una matriz diagonal D = diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})} y un vector v = [ x 1 ⋯ x n ] T {\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}^{T}} el producto es:

D v = diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) [ x 1 ⋮ x n ] = [ a 1 ⋱ a n ] [ x 1 ⋮ x n ] = [ a 1 x 1 ⋮ a n x n ] {\displaystyle D\mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}}

Las operaciones de suma y multiplicación entre matrices diagonales son muy sencillas. Considere dos matrices diagonales del mismo tamaño D = diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})} y B = diag ⁡ ( b 1 , … , b n ) {\displaystyle B=\operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})} .

Para la suma de matrices diagonales se tiene

D + B = diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) + diag ⁡ ( b 1 , … , b n ) = [ a 1 ⋱ a n ] + [ b 1 ⋱ b n ] = [ a 1 + b 1 ⋱ b n + b n ] = diag ⁡ ( a 1 + b 1 , … , a n + b n ) {\displaystyle {\begin{aligned}D+B&=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})\\&={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}+b_{n}\end{bmatrix}}\\&=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\dots ,a_{n}+b_{n})\end{aligned}}}

y para el producto de matrices,

D B = diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) ⋅ diag ⁡ ( b 1 , … , b n ) = [ a 1 ⋱ a n ] [ b 1 ⋱ b n ] = [ a 1 b 1 ⋱ a n b n ] = diag ⁡ ( a 1 b 1 , … , a n b n ) {\displaystyle {\begin{aligned}DB&=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})\cdot \operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})\\&={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}\\&=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\dots ,a_{n}b_{n})\end{aligned}}}

La matriz diagonal D = diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})} es invertible si y sólo si las entradas a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} son todas distintas de 0. En este caso, se tiene

D − 1 = diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) − 1 = diag ⁡ ( a 1 − 1 , … , a n − 1 ) {\displaystyle D^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\dots ,a_{n}^{-1})}

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n × n {\displaystyle n\times n} .

Multiplicar la matriz A {\displaystyle A} por la izquierda con diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})} equivale a multiplicar la i {\displaystyle i} -ésima fila de A {\displaystyle A} por a i {\displaystyle a_{i}} para todo i {\displaystyle i} . Multiplicar la matriz A {\displaystyle A} por la derecha con diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})} equivale a multiplicar la i {\displaystyle i} -ésima columna de A {\displaystyle A} por a i {\displaystyle a_{i}} para todo i {\displaystyle i} .

• El determinante de diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})} es igual al producto a 1 ⋯ a n {\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}} .
• La adjunta de una matriz diagonal es también una matriz diagonal.
• La matriz identidad I n {\displaystyle I_{n}} y la matriz cero son matrices diagonales.
• Los autovalores de diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})} son a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} .
• Los vectores e 1 , … , e n {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}} forman una base de autovectores.

Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.

De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.