Matriz normal
Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y solo si A ∗ A = A A ∗ {\displaystyle A^{*}A=AA^{*}\,} donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)
Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y solo si
-
A
∗
A
=
A
A
∗
{\displaystyle A^{*}A=AA^{*}\,}
donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)
Ejemplos
[editar]Esta matriz de orden 2 es normal.
-
(
−
i
−
i
−
i
i
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}}
debido a que ..
-
(
−
i
−
i
−
i
i
)
(
−
i
−
i
−
i
i
)
∗
=
(
−
i
−
i
−
i
i
)
(
i
i
i
−
i
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}^{*}={\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}i&i\\i&-i\end{pmatrix}}}
-
=
(
2
0
0
2
)
=
(
i
i
i
−
i
)
(
−
i
−
i
−
i
i
)
=
(
−
i
−
i
−
i
i
)
∗
(
−
i
−
i
−
i
i
)
{\displaystyle ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&i\\i&-i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}^{*}{\begin{pmatrix}-i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}}
Propiedades
[editar]Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.
Demostración
[editar]Sea A matriz compleja cuadrada normal. Entonces puede expresarse, utilizando la descomposición de Schur, de esta manera:
A
=
Q
U
Q
∗
{\displaystyle A=QUQ^{*}}
Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior.
Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:
-
a
k
1
=
0
{\displaystyle a_{k1}=0}
∀ k = 2 , . . , n {\displaystyle \forall k=2,..,n}
(1)
-
a
k
2
=
0
{\displaystyle a_{k2}=0}
∀ k = 3 , . . , n {\displaystyle \forall k=3,..,n}
(2)
- ...
-
a
k
n
−
1
=
0
{\displaystyle a_{kn-1}=0}
c o n k = n {\displaystyle con\,\,k=n}
(n-1)
Usando el hecho que A es normal:
-
A
∗
A
=
(
Q
U
Q
∗
)
∗
(
Q
U
Q
∗
)
=
Q
U
∗
(
Q
∗
Q
)
(
a
)
U
Q
∗
=
Q
U
∗
U
Q
∗
{\displaystyle A^{*}A=(QUQ^{*})^{*}(QUQ^{*})=QU^{*}(Q^{*}Q)_{(a)}UQ^{*}=QU^{*}UQ^{*}}
Idénticamente.
-
(
Q
U
Q
∗
)
(
Q
U
Q
∗
)
∗
=
Q
U
U
∗
Q
∗
{\displaystyle (QUQ^{*})(QUQ^{*})^{*}=QUU^{*}Q^{*}}
Postmultiplicando por
Q
{\displaystyle Q}
Lo cual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
0
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋱
⋮
0
⋯
0
a
n
n
]
U
∗
U
=
[
a
11
¯
0
⋯
0
a
12
¯
a
22
¯
⋯
0
⋮
⋱
⋮
a
1
n
¯
⋯
a
n
−
1
n
¯
a
n
n
¯
]
{\displaystyle {\begin{matrix}&&{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{bmatrix}}\\U^{*}U={\begin{bmatrix}{\overline {a_{11}}}&0&\cdots &0\\{\overline {a_{12}}}&{\overline {a_{22}}}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\overline {a_{1n}}}&\cdots &{\overline {a_{n-1n}}}&{\overline {a_{nn}}}\end{bmatrix}}&&\end{matrix}}}
[
a
11
¯
0
⋯
0
a
12
¯
a
22
¯
⋯
0
⋮
⋱
⋮
a
1
n
¯
⋯
a
n
−
1
n
¯
a
n
n
¯
]
U
U
∗
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
0
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋱
⋮
0
⋯
0
a
n
n
]
{\displaystyle {\begin{matrix}&&{\begin{bmatrix}{\overline {a_{11}}}&0&\cdots &0\\{\overline {a_{12}}}&{\overline {a_{22}}}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\overline {a_{1n}}}&\cdots &{\overline {a_{n-1n}}}&{\overline {a_{nn}}}\end{bmatrix}}\\UU^{*}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{bmatrix}}&&\end{matrix}}}
Para nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.
(
U
∗
U
)
i
i
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
⋅
a
j
i
¯
=
∑
j
=
1
n
‖
a
i
j
‖
2
{\displaystyle (U^{*}U)_{ii}=\sum _{j=1}^{n}{a_{ij}\cdot {\overline {a_{ji}}}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{ij}\|^{2}}}
(
U
U
∗
)
i
i
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
¯
⋅
a
j
i
=
∑
j
=
1
n
‖
a
j
i
‖
2
{\displaystyle (UU^{*})_{ii}=\sum _{j=1}^{n}{{\overline {a_{ij}}}\cdot a_{ji}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{ji}\|^{2}}}
Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)
- Caso i=1:
(
U
∗
U
)
11
=
(
U
U
∗
)
11
{\displaystyle (U^{*}U)_{11}=(UU^{*})_{11}}
∑
j
=
1
n
‖
a
1
j
‖
2
=
∑
j
=
1
n
‖
a
j
1
‖
2
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{\|a_{1j}\|^{2}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{j1}\|^{2}}}
Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.
‖
a
11
‖
2
+
∑
j
=
2
n
‖
a
1
j
‖
2
=
‖
a
11
‖
2
+
∑
j
=
2
n
‖
a
j
1
‖
2
{\displaystyle \|a_{11}\|^{2}+\sum _{j=2}^{n}{\|a_{1j}\|^{2}}=\|a_{11}\|^{2}+\sum _{j=2}^{n}{\|a_{j1}\|^{2}}}
Usando (1)
∑
j
=
2
n
‖
a
1
j
‖
2
=
0
{\displaystyle \sum _{j=2}^{n}{\|a_{1j}\|^{2}}=0}
Por lo tanto,
a
1
j
=
0
{\displaystyle a_{1j}=0}
Véase también
[editar]Enlaces externos
[editar]- Weisstein, Eric W. «Normal Matrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
| Control de autoridades |
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|---|
Datos: Q6852339