Spurgerade

Eine Spurgerade nennt man in der analytischen sowie in der darstellenden Geometrie (s. Zweitafelprojektion) die Schnittgerade zwischen einer Ebene im Raum und einer Koordinatenebene des räumlichen Koordinatensystems.^[1]

Eine Ebene hat im Allgemeinen drei Spurgeraden: Eine Spurgerade s x y {\displaystyle s_{xy}} mit der Grundrissebene ( x y {\displaystyle xy} -Ebene), eine Spurgerade s y z {\displaystyle s_{yz}} mit der Aufrissebene ( y z {\displaystyle yz} -Ebene) und eine Spurgerade s x z {\displaystyle s_{xz}} mit der Seitenrissebene ( x z {\displaystyle xz} -Ebene). Dabei schneidet die Ebene zugleich die Koordinatenachsen in den Spurpunkten S_x, S_y und S_z. Liegt die Ebene parallel zu einer der Koordinatenachsen, so hat sie keinen Schnittpunkt mit dieser Achse und daher nur zwei Spurpunkte. Zwei der Spurgeraden sind dann parallel zueinander und zu dieser Achse. Liegt die Ebene parallel zu zwei der Koordinatenachsen und damit zu der von ihnen aufgespannten Grundebene, so hat sie nur einen Spurpunkt und nur zwei Spurgeraden.

Wenn die Ebene durch den Koordinatenursprung verläuft, so fallen die Spurpunkte hier zusammen, zugleich schneiden sich hier alle drei Spurgeraden. Ansonsten schneiden sich jeweils nur zwei der Spurgeraden, und zwar genau auf einer Koordinatenachse in den Spurpunkten.

Spurgeraden können unter anderem dazu verwendet werden, um die Lage einer Ebene im räumlichen Koordinatensystem grafisch besser hervorzuheben.^[2]

In der analytischen Geometrie werden Spurgeraden – wie alle Raumgeraden – mithilfe von Gleichungen beschrieben. Ein typisches Problem besteht darin, Gleichungen für eine oder mehrere Spurgeraden einer Ebene zu bestimmen, welche durch eine Gleichung gegeben ist. Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten, je nachdem in welcher Form (Normalenform, Parameterform) die betrachtete Ebene gegeben ist.

Grundsätzlich entsprechen die Verfahren zur Bestimmung von Spurgeraden denjenigen für Schnittgeraden von zwei Ebenen. Jedoch erfordern sie im Allgemeinen weniger Aufwand, da die Koordinatengleichungen für die Koordinatengleichungen besonders einfach sind.

Gegeben sei eine Ebene

E :   a x + b y + c z = d . {\displaystyle E\colon \ ax+by+cz=d.}

Die xy-Ebene lässt sich am einfachsten durch die Koordinatengleichung z = 0 {\displaystyle z=0} beschreiben. Einsetzen in die obige Gleichung liefert sofort eine Koordinatenform für die entsprechende Spurgerade:

s x y :   a x + b y = d . {\displaystyle s_{xy}\colon \ ax+by=d.}

Auf analoge Weise erhält man die Spurgeraden s x z {\displaystyle s_{xz}} und s y z {\displaystyle s_{yz}} .

Gegeben sei eine Ebene in Parameterform:

E :   x → = p → + r u → + s v → . {\displaystyle E\colon \ {\vec {x}}={\vec {p}}+r{\vec {u}}+s{\vec {v}}.}

Schreibt man diese Vektorgleichung aus, so erhält man

x = p 1 + r u 1 + s v 1 y = p 2 + r u 2 + s v 2 z = p 3 + r u 3 + s v 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=p_{1}+ru_{1}+sv_{1}\\y&=p_{2}+ru_{2}+sv_{2}\\z&=p_{3}+ru_{3}+sv_{3}.\end{aligned}}}

Möchte man nun die Spurgerade mit der xy-Ebene bestimmen, so setzt man hier z = 0 {\displaystyle z=0} ein und erhält dadurch eine Gleichung für die Parameter r , s {\displaystyle r,s} der Ebenenpunkte, die auf der Spurgerade liegen. Ist die Ebene E {\displaystyle E} nicht parallel zur x y {\displaystyle xy} -Ebene, so lässt sie sich nach einem der beiden Parameter auflösen. Damit kann man beispielsweise den Parameter r {\displaystyle r} in Abhängigkeit von s {\displaystyle s} ausdrücken und in der Ebenengleichung ersetzen. Nach elementaren Vektorumformunten gelangt man dann zu einer Parametergleichung der Spurgeraden s x y {\displaystyle s_{xy}} .

• Geradengleichung
• Spurdreieck

• Fucke, Kirch, Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 113.
• C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 86.
• Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs. Volk und Wissen, Berlin 2000, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 163 f.

1. ↑ Schülerduden Die Mathematik II. 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-04273-7, S. 89. 
2. ↑ Jens Kunath: Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-67811-4, S. 269.