Normalenform

Die Normalenform^[1], Normalform^[1] oder Normalengleichung^[2] ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. In der Normalenform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor dargestellt. Eine Gerade oder Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene oder im Raum, für die der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor steht. Die Normalenform ist damit eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene.

Einen Spezialfall der Normalenform stellt die hessesche Normalform dar, bei der der Normalenvektor normiert und orientiert ist und statt des Stützvektors der Abstand vom Koordinatenursprung verwendet wird.

In der Normalenform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor p → {\displaystyle {\vec {p}}} und einen Normalenvektor n → {\displaystyle {\vec {n}}} beschrieben (siehe Bild 1). Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren x → {\displaystyle {\vec {x}}} die Vektorgleichung

( x → − p → ) ⋅ n → = 0 {\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0\quad } bzw. äquivalent hierzu x → ⋅ n → = p → ⋅ n → {\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}

erfüllen. Hierbei bezeichnet ⋅ {\displaystyle \cdot } das Skalarprodukt zweier Vektoren, welches null ist, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Gerade, der auch als Stützpunkt oder Aufpunkt bezeichnet wird. Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet. In der Normalenform werden demnach die Punkte der Geraden implizit dadurch definiert, dass der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor der Gerade steht. Ein Punkt, dessen Ortsvektor x → {\displaystyle {\vec {x}}} die Normalengleichung nicht erfüllt, liegt für x → ⋅ n → > p → ⋅ n → {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}>{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}} auf derjenigen Seite der Gerade, in die der Normalenvektor zeigt, und ansonsten auf der anderen Seite.

Legt man ein ebenes rechtwinkliges Koordinatensystem zugrunde und stellt die Vektoren mithilfe ihrer Komponenten dar, so liest sich die Geradengleichung als

( ( x 1 x 2 ) − ( p 1 p 2 ) ) ⋅ ( n 1 n 2 ) = 0 {\displaystyle \left({\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\end{pmatrix}}=0} .

Schreibt man diese Gleichung aus, so erhält man die Normalenform als Koordinatengleichung:

( x 1 − p 1 ) ⋅ n 1 + ( x 2 − p 2 ) ⋅ n 2 = 0 {\displaystyle (x_{1}-p_{1})\cdot n_{1}+(x_{2}-p_{2})\cdot n_{2}=0\quad } bzw. n 1 x 1 + n 2 x 2 = n 1 p 1 + n 2 p 2 {\displaystyle \quad n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}=n_{1}p_{1}+n_{2}p_{2}} .

Sei g {\displaystyle g} eine Gerade in der Ebene mit Stützvektor p → = ( 3 3 ) {\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}} und Normalenvektor n → = ( 2 1 ) {\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}} (siehe Bild 2). Dann ist die zugehörige Normalenform gegeben durch

( x 1 − 3 ) ⋅ 2 + ( x 2 − 3 ) ⋅ 1 = 0 {\displaystyle (x_{1}-3)\cdot 2+(x_{2}-3)\cdot 1=0\quad } bzw. 2 x 1 + x 2 = 9. {\displaystyle \quad 2x_{1}+x_{2}=9.}

Es handelt sich zugleich um eine Koordinatengleichung: Jede Wahl von ( x 1 | x 2 ) {\displaystyle (x_{1}|x_{2})} , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise ( 2 | 5 ) {\displaystyle (2|5)} oder ( 3 , 5 | 2 ) {\displaystyle (3{,}5|2)} , entspricht einem Geradenpunkt.

Aus der Parameterform einer Geradengleichung lässt sich ein Normalenvektor der Geraden bestimmen, indem die beiden Komponenten des Richtungsvektors u → {\displaystyle {\vec {u}}} der Geraden vertauscht werden und bei einer der beiden Komponenten das Vorzeichen geändert wird, das heißt

n → = ( − u 2 u 1 ) {\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}-u_{2}\\u_{1}\end{pmatrix}}} .

Der Stützvektor p → {\displaystyle {\vec {p}}} kann aus der Parameterform übernommen werden.

Aus der Zweipunkteform einer Geradengleichung wird zunächst ein Richtungsvektor der Geraden als Differenzvektor zwischen den Ortsvektoren p → {\displaystyle {\vec {p}}} und q → {\displaystyle {\vec {q}}} der beiden Punkte ermittelt und dann wie bei der Parameterform verfahren, also

n → = ( − ( q 2 − p 2 ) q 1 − p 1 ) {\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}-(q_{2}-p_{2})\\q_{1}-p_{1}\end{pmatrix}}} .

Als Stützvektor p → {\displaystyle {\vec {p}}} kann der Ortsvektor einer der Punkte verwendet werden.

Aus der allgemeinen Koordinatenform einer Geradengleichung mit den Parametern a , b {\displaystyle a,b} und c {\displaystyle c} lässt sich ein Normalenvektor der Gerade direkt als

n → = ( a b ) {\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}

ablesen. Einen Stützvektor der Gerade erhält man, je nachdem ob a {\displaystyle a} oder b {\displaystyle b} ungleich null ist, durch Wahl von

p → = ( c / a 0 ) {\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}c/a\\0\end{pmatrix}}}   oder   p → = ( 0 c / b ) {\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}0\\c/b\end{pmatrix}}} .

Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Achsenabschnittsform einer Geradengleichung ein Normalenvektor und ein Stützvektor ermitteln.

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Normalenform ebenfalls durch einen Stützvektor p → {\displaystyle {\vec {p}}} und einen Normalenvektor n → {\displaystyle {\vec {n}}} beschrieben (siehe Bild 3). Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren x → {\displaystyle {\vec {x}}} die Gleichung

( x → − p → ) ⋅ n → = 0 {\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0}

erfüllen. Der Stützvektor ist dabei wiederum der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene und der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Das bedeutet, dass der Normalenvektor mit allen Geraden der Ebene, die durch den Stützpunkt verlaufen, einen rechten Winkel bildet. Eine äquivalente Darstellung der Normalenform ist wiederum

x → ⋅ n → = p → ⋅ n → {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}

und ein Punkt, dessen Ortsvektor x → {\displaystyle {\vec {x}}} die Normalengleichung erfüllt, liegt auf der Ebene. Gilt x → ⋅ n → > p → ⋅ n → {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}>{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}} , dann liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite.

Ausgedrückt in kartesischen Koordinaten lautet die Normalenform einer Ebenengleichung,

( x 1 − p 1 ) ⋅ n 1 + ( x 2 − p 2 ) ⋅ n 2 + ( x 3 − p 3 ) ⋅ n 3 = 0 {\displaystyle (x_{1}-p_{1})\cdot n_{1}+(x_{2}-p_{2})\cdot n_{2}+(x_{3}-p_{3})\cdot n_{3}=0\quad } bzw. n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 = n 1 p 1 + n 2 p 2 + n 3 p 3 {\displaystyle \quad n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}=n_{1}p_{1}+n_{2}p_{2}+n_{3}p_{3}} .

Sei E {\displaystyle E} eine Ebene mit Stützvektor p → = ( 3 3 4 ) {\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}}} und Normalenvektor n → = ( 1 3 − 1 ) {\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}}} (siehe Bild 4). Dann ist die zugehörige Normalenform gegeben durch

( x 1 − 3 ) ⋅ 1 + ( x 2 − 3 ) ⋅ 3 + ( x 3 − 4 ) ⋅ ( − 1 ) = 0 {\displaystyle (x_{1}-3)\cdot 1+(x_{2}-3)\cdot 3+(x_{3}-4)\cdot (-1)=0} .

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gleicher Terme liefert die äquivalente Darstellung

x 1 + 3 x 2 − x 3 = 8. {\displaystyle x_{1}+3x_{2}-x_{3}=8.}

Es handelt sich zugleich um eine Koordinatengleichung. Jede Wahl von ( x 1 | x 2 | x 3 ) {\displaystyle (x_{1}|x_{2}|x_{3})} , die diese Gleichung erfüllt, entspricht dann einem Ebenenpunkt. Beispielsweise liegt X ( 4 | 2 | 2 ) {\displaystyle X(4|2|2)} in der Ebene wegen ( 4 − 3 ) ⋅ 1 + ( 2 − 3 ) ⋅ 3 + ( 2 − 4 ) ⋅ ( − 1 ) = 0 {\displaystyle (4-3)\cdot 1+(2-3)\cdot 3+(2-4)\cdot (-1)=0} .

Aus der Parameterform einer Ebenengleichung mit den beiden Richtungsvektoren u → {\displaystyle {\vec {u}}} und v → {\displaystyle {\vec {v}}} lässt sich ein Normalenvektor der Ebene durch Berechnung des Kreuzprodukts n → = u → × v → {\displaystyle {\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}} bestimmen. Der Stützvektor p → {\displaystyle {\vec {p}}} kann aus der Parameterform übernommen werden.

Aus der Dreipunkteform einer Ebenengleichung werden zunächst zwei Richtungsvektoren als Differenzvektoren zwischen den Ortsvektoren p → {\displaystyle {\vec {p}}} , q → {\displaystyle {\vec {q}}} und r → {\displaystyle {\vec {r}}} jeweils zweier Punkte ermittelt und dann wie bei der Parameterform das Kreuzprodukt

n → = ( q → − p → ) × ( r → − p → ) {\displaystyle {\vec {n}}=({\vec {q}}-{\vec {p}})\times ({\vec {r}}-{\vec {p}})}

berechnet. Als Stützvektor p → {\displaystyle {\vec {p}}} kann der Ortsvektor einer der Punkte verwendet werden.

Aus der allgemeinen Koordinatenform einer Ebenengleichung mit den Parametern a , b , c {\displaystyle a,b,c} und d {\displaystyle d} lässt sich ein Normalenvektor der Ebene als

n → = ( a b c ) {\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}}

ablesen. Einen Stützvektor erhält man, je nachdem welche der Zahlen a , b , c {\displaystyle a,b,c} ungleich null ist, durch Wahl von

p → = ( d / a 0 0 ) ,   p → = ( 0 d / b 0 ) {\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}d/a\\0\\0\end{pmatrix}},~{\vec {p}}={\begin{pmatrix}0\\d/b\\0\end{pmatrix}}}   oder   p → = ( 0 0 d / c ) {\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}0\\0\\d/c\end{pmatrix}}} .

Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Achsenabschnittsform einer Ebenengleichung ein Normalenvektor und ein Stützvektor ermitteln.

Allgemein wird durch eine Normalengleichung eine Hyperebene im n {\displaystyle n} -dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Im n {\displaystyle n} -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Hyperebene entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren x → {\displaystyle {\vec {x}}} die Gleichung

( x → − p → ) ⋅ n → = 0 {\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0\quad } bzw. x → ⋅ n → = p → ⋅ n → {\displaystyle \quad {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit n {\displaystyle n} -komponentigen statt mit zwei- oder dreikomponentigen Vektoren gerechnet. Eine solche Gleichung wird in der Literatur auch Hessesche Normalform genannt, selbst wenn der Normalenvektor n → {\displaystyle {\vec {n}}} nicht normiert ist.^[3][4]

Eine Hyperebene teilt den n {\displaystyle n} -dimensionalen Raum in zwei Teile, die Halbräume genannt werden. Gilt x → ⋅ n → > p → ⋅ n → {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}>{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}} , dann liegt der Punkt in demjenigen Halbraum, in den der Normalenvektor zeigt, ansonsten in dem anderen. Ein Punkt, dessen Ortsvektor die Normalengleichung erfüllt, liegt genau auf der Hyperebene.

Jede Gleichung eines linearen Gleichungssystems lässt sich als Normalenform einer Hyperebene in einem n {\displaystyle n} -dimensionalen Vektorraum deuten, wobei n {\displaystyle n} die Anzahl der Variablen bzw. Unbekannten ist. Für n = 2 {\displaystyle n=2} sind dies Geraden in der Ebene, für n = 3 {\displaystyle n=3} Ebenen im Raum. Damit lässt sich die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zurückführen auf ein Schnittproblem von Hyperebenen: Gesucht ist die Menge der gemeinsamen Punkte aller Hyperebenen. Aus der Lage der Normalenvektoren und damit der Hyperebenen zueinander kann auf die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems und auf die Anzahl der Lösungen geschlossen werden.

• Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-9598-1. 
• Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der linearen Algebra und der Analysis. Springer, 2009, ISBN 978-3-8274-2255-2. 
• Edmund Weitz: Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker. 2. Auflage. Springer Spektrum, 2021, ISBN 978-3-662-62617-7, S. 379–383. 

• Ebene von Parameterform in Normalform umwandeln. In: Serlo. Abgerufen am 23. Februar 2014. 
• Ebene von Koordinatenform in Normalform umwandeln. In: Serlo. Abgerufen am 23. Februar 2014. 

1. ↑ ^{a b} Schülerduden Die Mathematik II. 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-04273-7, S. 149. 
2. ↑ Jens Kunath: Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-67811-4, S. 170. 
3. ↑ Dörte Haftendorn, Dieter Riebesehl, Hubert Dammer: Höhere Mathematik sehen und verstehen. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2024, ISBN 978-3-662-69291-2, S. 155 f. 
4. ↑ Hessesche Normalform. In: Lexikon der Mathematik: Band 2: Eig bis Inn. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-53503-5, S. 401.