Quantenparallelismus

Der Quantenparallelismus bezeichnet die Fähigkeit eines Quantencomputers, unter den Bedingungen der Superposition und Quantenverschränkung mehrere Rechenoperationen gleichzeitig ausführen zu können und ist der Grund für die höhere Rechenleistung eines Quantencomputers gegenüber einem klassischen Computer (Quantenüberlegenheit), da bei der einmaligen Anwendung eines Quantengatters auf einen Zustand von n {\displaystyle n} Qubits insgesamt 2 n {\displaystyle 2^{n}} Manipulationen durchgeführt werden, im Gegensatz zu lediglich einer Manipulation eines Logikgatters des klassischen Computers, da die Quantengatter in der Lage sind, mehrere quantenmechanische Zustände zu verknüpfen und ineinander zu transformieren.^[1]

Ein klassischer Computer verarbeitet Informationen durch Manipulation von Bits mit Gattern. Beispielsweise ergibt die Anwendung eines Nicht-Gatters auf die Bitfolge [010111] die Bitfolge [101000].

Quantencomputer machen sich die Superposition von Quantenzuständen zunutze. So befindet sich ein Qubit (vor jeglicher Messung) in einem Superpositionszustand

| ψ ⟩ = a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =a\,|0\rangle +b\,|1\rangle }

Dabei werden : | a | {\displaystyle |a|} und : | b | {\displaystyle |b|} (Wahrscheinlichkeits-)Amplituden genannt und sind komplexe Zahlen^[2]

mit

| a | 2 + | b | 2 = 1 {\displaystyle |a|^{2}+|b|^{2}=1}

Eine Messung des Qubits y liefert nun mit einer Wahrscheinlichkeit von : | a | 2 {\displaystyle |a|^{2}} das Ergebnis y = 0 und mit einer Wahrscheinlichkeit von : | b | 2 {\displaystyle |b|^{2}} das Ergebnis y =1. Anschließend befindet sich das Qubit im Zustand 0 oder 1.

Die Anwendung einer Gatteroperation (z. B. NOT) auf diesen Zustand ergibt dann

| ψ ′ ⟩ = a | 1 ⟩ + b | 0 ⟩ {\displaystyle |\psi '\rangle =a\,|1\rangle +b\,|0\rangle }

Es wurden also bei einmaliger Anwendung von einer Gatteroperation bereits zwei Manipulationen durchgeführt. Führt man das Ganze weiter und betrachtet einen (verschränkten) Zustand zweier Qubits

| ψ ⟩ = a | 00 ⟩ + b | 10 ⟩ + c | 01 ⟩ + d | 11 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =a\,|00\rangle +b\,|10\rangle +c\,|01\rangle +d\,|11\rangle }

so ergibt NOT das Ergebnis

| ψ ′ ⟩ = a | 11 ⟩ + b | 01 ⟩ + c | 10 ⟩ + d | 00 ⟩ {\displaystyle |\psi '\rangle =a\,|11\rangle +b\,|01\rangle +c\,|10\rangle +d\,|00\rangle }

Man sieht also, dass bei der Nutzung zweier Qubits insgesamt vier Manipulationen durch eine einzige Gatteroperation durchgeführt wurden. Verallgemeinert ergibt sich, dass bei der Nutzung von n {\displaystyle n} verschränkten Qubits durch eine Gatteroperation 2 n {\displaystyle 2^{n}} Manipulationen vorgenommen werden. Bei drei Qubits werden also z. B. acht mögliche Bit-Zustände gleichzeitig verwendet (das entspricht 2³). Wenn die Anzahl der Qubits vergrößert wird, wächst die Anzahl der Zustände somit nicht linear, sondern exponentiell. Genauer: Mit jedem weiteren Qubit bekommt man eine Verdopplung an darstellbaren Zuständen, welche mit dem Quantenparallelismus gleichzeitig verarbeiten werden können.^[3]

Für n = 100 Bits benötigt ein klassischer Computer 2¹⁰⁰ Operationen, also etwa 10³⁰ gegenüber einer einzigen Rechenoperationen des Quantencomputers.

Definiert man für ein klassisches System etwa 10 9 {\displaystyle 10^{9}} Rechenoperationen pro Sekunde, so bräuchte es dafür rund 10¹⁴ Jahre.^[4]

Auch ein extrem langsamer Quantencomputer mit einer Gatterschaltzeit von einer Sekunde würde das Ergebnis hingegen in einer Sekunde bereitstellen.

Mit 50 Qubits können 2⁵⁰ (mehr als 1.000.000.000.000.000 (eine Billiarde)) Zustände in einem Quantenregister dargestellt werden und mit 300 Qubits mehr als es Atome im bekannten Universum gibt.^[3]

• G. Nervadof: Quantum Bits, Superposition, and Entanglement, Mathematically Speaking 2. Oktober 2021
• Andreas Sturm: Was macht einen Quantencomputer so mächtig? Teil 2: Der Quantenparallelismus 2. Dezember 2021 Online

1. ↑ Quantengatter In: Lexikon der Physik Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1998 Online
2. ↑ Matthias Homeister: Quantum Computing verstehen, 6. Auflage, Springer 2022, ISBN 978-3-658-36434-2 S. 20
3. ↑ ^{a b} Andreas Sturm: Was macht einen Quantencomputer so mächtig?
4. ↑ Manuel Grill: Der Vorteil des Quantencomputers demonstriert am RSA-Verfahren Kryptoanalyse mit Shor '94 Universität Graz, 2008/9, S. 15