Primideal

In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.

Es sei R {\displaystyle R} ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal p ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq R} Primideal oder prim, falls p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} echt ist, also p ≠ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\neq R} , und wenn für alle Ideale a , b ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {a,b}}\subseteq R} gilt:^[1]

Aus a b ⊆ p {\displaystyle {\mathfrak {ab}}\subseteq {\mathfrak {p}}} folgt a ⊆ p {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}} oder b ⊆ p . {\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}.}

Außerdem heißt p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} vollständiges Primideal oder vollprim, falls p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} echt ist und wenn für alle a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in R} gilt:

Aus a b ∈ p {\displaystyle ab\in {\mathfrak {p}}} folgt a ∈ p {\displaystyle a\in {\mathfrak {p}}} oder b ∈ p . {\displaystyle b\in {\mathfrak {p}}.}

• Ein zweiseitiges Ideal p ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq R} ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in R} gilt:

Aus (für alle r ∈ R {\displaystyle r\in R} gilt a r b ∈ p {\displaystyle arb\in {\mathfrak {p}}} ) folgt ( a ∈ p {\displaystyle a\in {\mathfrak {p}}} oder b ∈ p {\displaystyle b\in {\mathfrak {p}}} ).

• Ein zweiseitiges Ideal p ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq R} ist genau dann vollprim, falls es echt ist und wenn der Faktorring R / p {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}} nullteilerfrei ist.

Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings R {\displaystyle R} heißt Spektrum von R {\displaystyle R} und wird mit S p e c ( R ) {\displaystyle \mathrm {Spec} (R)} notiert.

• Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} -Matrizen prim, aber nicht vollprim.
• In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.

In kommutativen Ringen R {\displaystyle R} mit Einselement gilt:

• Ein Element p ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle p\in R\backslash \left\{0\right\}} ist genau dann ein Primelement, wenn das von p {\displaystyle p} erzeugte Hauptideal ( p ) {\displaystyle (p)} ein Primideal ist.^[2]
• Ein Ideal p ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R} ist genau dann prim, wenn der Faktorring R / p {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}} ein Integritätsring ist.
• Enthält ein Primideal einen Durchschnitt a 1 ∩ … ∩ a n {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {a}}_{n}} von endlich vielen Idealen von R {\displaystyle R} , so enthält es auch eines der Ideale a i {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}} .
• Ein Ideal p ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R} ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge S = R ∖ p {\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}} multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} , worunter man den Ring S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} versteht, den man auch als R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} schreibt.^[3]

• Die Menge 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} } der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring Z {\displaystyle \mathbb {Z} } der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
• Die Menge 6 Z {\displaystyle 6\mathbb {Z} } der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
• Im Ring R = 2 Z {\displaystyle R=2\mathbb {Z} } ist das maximale Ideal m = 4 Z {\displaystyle {\mathfrak {m}}=4\mathbb {Z} } kein Primideal.
• Ein maximales Ideal m ⊆ R {\displaystyle {\mathfrak {m}}\subseteq R} eines Ringes R {\displaystyle R} ist genau dann prim, wenn R R ⊈ m {\displaystyle RR\nsubseteq {\mathfrak {m}}} . Insbesondere ist m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} prim, falls R {\displaystyle R} ein Einselement enthält.
• Das Nullideal ( 0 ) ⊂ R {\displaystyle (0)\subset R} in einem kommutativen Ring R {\displaystyle R} mit Einselement ist genau dann ein Primideal, wenn R {\displaystyle R} ein Integritätsbereich ist. In einem nicht-kommutativen Ring gilt diese Äquivalenz nicht.
• Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus kommutativer Ringe ist entweder der ganze Ring oder ein Primideal. Das gilt nicht allgemein, so ist etwa das Nullideal im Ring der n × n {\displaystyle n\times n} -Matrizen über einem Körper prim, aber dessen Urbild unter der Inklusion des Rings der (oberen oder unteren) n × n {\displaystyle n\times n} -Dreiecksmatrizen über dem Körper nicht.

Im Folgenden sei stets R {\displaystyle R} ein kommutativer Ring und R ⊂ S {\displaystyle R\subset S} eine ganze Ringerweiterung. Dann existiert zu jedem Primideal p ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R} ein Primideal q ⊂ S {\displaystyle {\mathfrak {q}}\subset S} , so dass q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} über p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} liegt, d. h.

p = q ∩ R {\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap R} .

In diesem Fall sagt man auch, dass S / R {\displaystyle S/R} die Lying Over Eigenschaft erfüllt. Ist zudem f : R ↪ S {\displaystyle f\colon R\hookrightarrow S} eine Einbettung von R {\displaystyle R} in S {\displaystyle S} , so ist die von f {\displaystyle f} induzierte Abbildung f ∗ : S p e c ( S ) ⟶ S p e c ( R ) {\displaystyle f^{*}\!\colon \,\mathrm {Spec} (S)\longrightarrow \mathrm {Spec} (R)} mit q ⟼ f − 1 ( q ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}\longmapsto f^{-1}({\mathfrak {q}})} surjektiv.

Des Weiteren erfüllt S / R {\displaystyle S/R} die Going Down Eigenschaft, falls folgendes gilt: Ist

p 1 ⊇ p 2 ⊇ ⋯ ⊇ p n {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {p}}_{n}}

eine Kette von Primidealen in R {\displaystyle R} und

q 1 ⊇ q 2 ⊇ ⋯ ⊇ q m {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}}

eine Kette von Primidealen in S {\displaystyle S} mit m < n {\displaystyle m<n} , so dass außerdem q i {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}} über p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} liegt für alle 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m} , so lässt sich letztere zu einer Kette

q 1 ⊇ q 2 ⊇ ⋯ ⊇ q n {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{n}}

ergänzen, so dass jedes q i {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}} über p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} liegt. Diese ist unter anderem dann erfüllt, wenn R , S {\displaystyle R,S} Integritätsringe sind und R {\displaystyle R} ganzabgeschlossen ist.

1. ↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.2.3'
2. ↑ K. Meyberg: Algebra, Teil 1, Carl Hanser Verlag München (1975), ISBN 3-446-11965-5, Satz 3.6.5
3. ↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel III, § 4, Beispiel d) hinter Satz 3.5