Primelement

Der Begriff Primelement ist in der kommutativen Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffs der Primzahl auf kommutative unitäre Ringe.

Ein Element c {\displaystyle c} eines kommutativen unitären Ringes ( R , + , ⋅ , 0 , 1 ) {\displaystyle (R,+,\cdot ,0,1)} heißt Primelement, falls c {\displaystyle c} weder 0 noch eine Einheit ist und für alle a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in R} gilt: Teilt c {\displaystyle c} das Produkt a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} , dann teilt c {\displaystyle c} auch a {\displaystyle a} oder b {\displaystyle b} .^[1.1]

In Symbolnotation: c  ist prim  ⇔   c ≠ 0   ∧   c ∤ 1   ∧   ∀ a , b ∈ R :   c ∣ ( a ⋅ b ) ⇒ ( c ∣ a ) ∨ ( c ∣ b ) . {\displaystyle c{\mbox{ ist prim }}\Leftrightarrow \ c\neq 0\ \land \ c\nmid 1\ \land \ \forall a,b\in R:\ c\mid (a\cdot b)\Rightarrow (c\mid a)\lor (c\mid b).}

Primelemente sind also diejenigen Elemente abgesehen von 0 und Einheiten, die, wenn sie in irgendeinem Produkt vorkommen, auch in mindestens einem der Faktoren vorkommen.^[2]

Eine andere Verallgemeinerung des Primzahlbegriffs sind irreduzible Elemente, die dadurch definiert sind, dass sie keine Einheiten sind und nicht als Produkt von zwei Nicht-Einheiten dargestellt werden können^[1.1]. Im Allgemeinen ist weder jedes Primelement irreduzibel noch jedes irreduzible Element prim (siehe Beispiele). Aber in einem Integritätsring ist jedes Primelement irreduzibel^[1.2], und in einem faktoriellen Ring ist auch umgekehrt jedes irreduzible Element prim.

• Ist c {\displaystyle c} ein Primelement und e {\displaystyle e} eine Einheit, so ist c ⋅ e {\displaystyle c\cdot e} ebenfalls ein Primelement.^[1.3]
• Eine Nichteinheit c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} ist genau dann ein Primelement, wenn das Hauptideal ( c ) {\displaystyle (c)} ein Primideal ist.^[1.4]
• Ein Körper besteht nur aus der Null und Einheiten und enthält somit keine Primelemente.
• In einem faktoriellen Ring lässt sich jedes Element außer 0 bis auf Einheitsfaktoren und Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primelementen darstellen.

• Die Primelemente im Ring der ganzen Zahlen sind genau die Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, …) und ihre Gegenzahlen (−2, −3, −5, −7, −11, …).
• Die Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} sind bis auf die Einheitsfaktoren ± 1 , ± i {\displaystyle \pm 1,\pm i} genau die Primzahlen der Form 4 k + 3 ,   k ∈ Z {\displaystyle 4k+3,\ k\in \mathbb {Z} } und die Elemente a + b ⋅ i ,   a , b ∈ Z {\displaystyle a+b\cdot i,\ a,b\in \mathbb {Z} } , für die a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} eine Primzahl ist, also sind beispielsweise 3 , 7 , 11 , 1 + i , 2 + 3 i {\displaystyle 3,\,7,\,11,\,1+i,\,2+3i} Primelemente, nicht aber 2 = ( 1 + i ) ⋅ ( 1 − i ) {\displaystyle 2=(1+i)\cdot (1-i)} , 5 = ( 2 + i ) ⋅ ( 2 − i ) {\displaystyle 5=(2+i)\cdot (2-i)} oder 3 + i = ( 1 + i ) ⋅ ( 2 − i ) {\displaystyle 3+i=(1+i)\cdot (2-i)} (zum Beweis siehe Fermats Zwei-Quadrate-Satz).
• Im Integritätsring Z [ i 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]} (enthält alle Zahlen der Form a + b ⋅ i 5 {\displaystyle a+b\cdot i{\sqrt {5}}} mit a , b ∈ Z {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} } ) ist die Zahl 2 irreduzibel, aber nicht prim. Das ist so, weil 6 zwar von 2 geteilt wird, sich aber als Produkt ( 1 + i 5 ) ⋅ ( 1 − i 5 ) {\displaystyle (1+i{\sqrt {5}})\cdot (1-i{\sqrt {5}})} schreiben lässt, wobei keiner der Faktoren durch 2 teilbar ist.
• Im Produktring Z × Z {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } ist ( 1 , 0 ) = ( 1 , 0 ) ⋅ ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)=(1,0)\cdot (1,0)} ein Primelement, das nicht irreduzibel ist.
• Im Ring Z / 6 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} } sind 2 und 4 wegen ggT ⁡ ( 2 , 6 ) = 2 = ggT ⁡ ( 4 , 6 ) {\displaystyle \operatorname {ggT} (2,6)=2=\operatorname {ggT} (4,6)} keine Einheiten, daher ist 2 ≡ 2 ⋅ 4 ( mod 6 ) {\displaystyle 2\equiv 2\cdot 4{\pmod {6}}} nicht irreduzibel, aber 2 ≠ 0 {\displaystyle 2\neq 0} ist prim^[1.5], da 2 m ≡ a b ( mod 6 ) {\displaystyle 2m\equiv ab{\pmod {6}}} für a , b , m ∈ Z {\displaystyle a,b,m\in \mathbb {Z} } wegen 6 = 2 ⋅ 3 {\displaystyle 6=2\cdot 3} direkt 2 ∣ a {\displaystyle 2\mid a} oder 2 ∣ b {\displaystyle 2\mid b} impliziert.

1. ↑ Thomas W. Hungerford: Algebra. 1. Auflage 1974, Nachdruck 2011, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-6103-2, doi:10.1007/978-1-4612-6101-8
   1. ↑ ^{a b} Definition 3.3, S. 136
   2. ↑ Theorem 3.4 (iii), S. 136
   3. ↑ Theorem 3.4 (v), S. 136
   4. ↑ vgl. Theorem 3.4 (i), S. 136
   5. ↑ Examples, S. 136
2. ↑ Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 201.

Wiktionary: Primelement – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen