Poisson-Algebra

Eine Poisson-Algebra ist in der Mathematik eine kommutative, assoziative Algebra, welche mit einer Poisson-Klammer ausgestattet ist. Die Klammer ist eine Lie-Klammer, welche zusätzlich die Leibnizregel erfüllt, das heißt sie ist eine Derivation der assoziativen Multiplikation.

Sei R {\displaystyle R} ein kommutativer Ring. Eine Poisson-Algebra A {\displaystyle A} ist eine kommutative, assoziative R {\displaystyle R} -Algebra ( A , ⋅ ) {\displaystyle (A,\cdot )} mit einer R {\displaystyle R} -bilinearen und antisymmetrischen Abbildung

{ − , − } : A × A → A {\displaystyle \{-,-\}:A\times A\to A} ,

genannt Poisson-Klammer, so dass

• ( A , { − , − } ) {\displaystyle (A,\{-,-\})} eine Lie-Algebra über R {\displaystyle R} ist,
• die Poisson-Klammer die Leibnizregel erfüllt

{ f , g ⋅ h } = { f , g } ⋅ h + g ⋅ { f , h } {\displaystyle \{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}} .^[1]

Die Striche in der leeren Poisson-Klammer { − , − } {\displaystyle \{-,-\}} stehen dabei für einen Platzhalter.

Der R {\displaystyle R} -Modul A {\displaystyle A} ist mit zwei R {\displaystyle R} -bilinearen Abbildungen ausgestattet, der Multiplikation ⋅ : A × A → A {\displaystyle \cdot \colon A\times A\to A} und der Poisson-Klammer { − , − } : A × A → A {\displaystyle \{-,-\}\colon A\times A\to A} .

Für die Multiplikation ⋅ {\displaystyle \cdot } und f , g , h ∈ A {\displaystyle f,g,h\in A} gilt

Kommutativität: f ⋅ g = g ⋅ f {\displaystyle f\cdot g=g\cdot f}

Assoziativität: f ⋅ ( g ⋅ h ) = ( f ⋅ g ) ⋅ h {\displaystyle f\cdot (g\cdot h)=(f\cdot g)\cdot h}

Für die Poisson-Klammer { − , − } {\displaystyle \{-,-\}} und f , g , h ∈ A {\displaystyle f,g,h\in A} gilt

Antisymmetrie: { f , g } = − { g , f } {\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}} und { f , f } = 0 {\displaystyle \{f,f\}=0}

Leibnizregel: { f , g ⋅ h } = { f , g } ⋅ h + g ⋅ { f , h } {\displaystyle \{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}}

Jacobi-Identität: { f , { g , h } } = { { f , g } , h } + { g , { f , h } } {\displaystyle \{f,\{g,h\}\}=\{\{f,g\},h\}+\{g,\{f,h\}\}}

Für ein f ∈ A {\displaystyle f\in A} ist die Poisson-Klammer D f ( − ) := { f , − } {\displaystyle D_{f}(-):=\{f,-\}} eine Derivation der Multiplikation, denn es gilt nach den Regeln

D f ( g ⋅ h ) = { f , g ⋅ h } = { f , g } ⋅ h + g ⋅ { f , h } = D f ( g ) ⋅ h + g ⋅ D f ( h ) . {\displaystyle D_{f}(g\cdot h)=\{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}=D_{f}(g)\cdot h+g\cdot D_{f}(h).}

Falls A {\displaystyle A} eine Poisson-Algebra über C {\displaystyle \mathbb {C} } ist, die zusätzlich eine *-Algebra ist und für { − , − } {\displaystyle \{-,-\}} folgendes

{ f , g } ¯ = { f ¯ , g ¯ } {\displaystyle {\overline {\{f,g\}}}=\{{\overline {f}},{\overline {g}}\}}

erfüllt, so nennt man A {\displaystyle A} eine Poisson-*-Algebra.^[2]

• Sei M {\displaystyle M} eine Poisson-Mannigfaltigkeit mit der Poisson-Klammer { − , − } {\displaystyle \{-,-\}} auf dem Raum der glatten Funktionen C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} , dann ist das Paar ( C ∞ ( M ) , { − , − } ) {\displaystyle (C^{\infty }(M),\{-,-\})} eine Poisson-Algebra.

• Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6. 
• Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8. 

• Poisson-Algebra in der Encyclopedia of Mathematics

1. ↑ Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8, S. 10–11. 
2. ↑ Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6, S. 20.