*-Algebra

Eine *-Algebra ist ein mathematischer Begriff aus der abstrakten Algebra. Eine *-Algebra bezeichnet eine algebraische Struktur, die einen involutiven Antiautomorphismus besitzt. Die Notation des Sterns kommt von der Notation für adjungierte Operatoren.

Eine *-Algebra A {\displaystyle {\mathcal {A}}} über C {\displaystyle \mathbb {C} } ist ein komplexer Vektorraum mit einem C {\displaystyle \mathbb {C} } -bilinearen, assoziativen Produkt ( a , b ) ↦ a b {\displaystyle (a,b)\mapsto ab} und einer Abbildung ∗ : a ↦ a ∗ {\displaystyle *:a\mapsto a^{*}} , welche ein C {\displaystyle \mathbb {C} } -antilinearer, involutiver Antiautomorphismus ist. Es gilt also^[1]

• ( s a + t b ) ∗ = s ¯ a ∗ + t ¯ b ∗ {\displaystyle (sa+tb)^{*}={\bar {s}}a^{*}+{\bar {t}}b^{*}}
• ( a ∗ ) ∗ = a {\displaystyle (a^{*})^{*}=a}
• ( a b ) ∗ = b ∗ a ∗ {\displaystyle (ab)^{*}=b^{*}a^{*}}

für a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}} und s , t ∈ C {\displaystyle s,t\in \mathbb {C} } .

Sei f ( x ) := x ∗ {\displaystyle f(x):=x^{*}} , dann gilt in dieser Notation

• f ( s a + t b ) = s ¯ f ( a ) + t ¯ f ( b ) {\displaystyle f(sa+tb)={\bar {s}}f(a)+{\bar {t}}f(b)}
• f ( f ( a ) ) ) = a {\displaystyle f(f(a)))=a}
• f ( a b ) = f ( b ) f ( a ) {\displaystyle f(ab)=f(b)f(a)}

für a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}} und s , t ∈ C {\displaystyle s,t\in \mathbb {C} } .

• Die komplexen Zahlen C {\displaystyle \mathbb {C} } bilden mit der durch komplexe Konjugation gegebenen Abbildung z ∗ := z ¯ {\displaystyle z^{*}:={\overline {z}}} eine *-Algebra.
• Die Algebra Mat ⁡ ( n , C ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n,\mathbb {C} )} der komplexen n × n {\displaystyle n\times n} -Matrizen mit der durch Bildung der transponiert-konjugierten Matrix gegebenen Abbildung A ∗ := A ¯ T {\displaystyle A^{*}:={\overline {A}}^{T}} ist eine *-Algebra.
• Die beschränkten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes H {\displaystyle {\mathcal {H}}} bilden mit der durch Adjunktion von Operatoren gegebenen Abbildung eine *-Algebra B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})} . Nach Definition der Adjunktion gilt die Gleichung ⟨ T x , y ⟩ = ⟨ x , T ∗ y ⟩ {\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle } für alle T ∈ B ( H ) , x , y ∈ H {\displaystyle T\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}),x,y\in {\mathcal {H}}} .
• Die kompakten Operatoren eines gegebenen Hilbert-Raumes H {\displaystyle {\mathcal {H}}} bilden eine *-Unteralgebra K ( H ) ⊂ B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {K}}({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})} .
• Von-Neumann-Algebren sind *-Unteralgebren von B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})} für einen Hilbert-Raum H {\displaystyle {\mathcal {H}}} .
• Die Automorphismen einer abelschen Varietät bilden mit der Rosati-Involution eine *-Algebra.
• Ist G {\displaystyle G} eine lokalkompakte Gruppe, so trägt die L¹-Gruppenalgebra L 1 ( G ) {\displaystyle L^{1}(G)} eine Involution, die L 1 ( G ) {\displaystyle L^{1}(G)} zu einer *-Algebra macht. Für f ∈ L 1 ( G ) {\displaystyle f\in L^{1}(G)} ist f ∗ ∈ L 1 ( G ) {\displaystyle f^{*}\in L^{1}(G)} definiert durch f ∗ ( t ) = Δ ( t ) − 1 f ( t − 1 ) ¯ {\displaystyle f^{*}(t)\,=\,\Delta (t)^{-1}{\overline {f(t^{-1})}}} , wobei Δ {\displaystyle \Delta } die modulare Funktion von G {\displaystyle G} ist.

• C*-Algebra

1. ↑ Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6.