Petersen-Graph

Petersen-Graph
Benannt nach	Julius Peter Christian Petersen
Größe	10 Knoten, 15 Kanten
Eigenschaften	snark, kubisch.
Chromatische Zahl	3
Chromatischer Index	4
Knotenzusammenhang	3
Cliquenzahl	2
Schnittzahl	2
Chromatisches Polynom	t ( t − 1 ) ( t − 2 ) ( t 7 − 12 t 6 + 67 t 5 − {\displaystyle t(t-1)(t-2)(t^{7}-12t^{6}+67t^{5}-} 230 t 4 + 529 t 3 − 814 t 2 + 775 t − 352 ) {\displaystyle 230t^{4}+529t^{3}-814t^{2}+775t-352)}
Charakteristisches Polynom	( t − 1 ) 5 ( t + 2 ) 4 ( t − 3 ) {\displaystyle (t-1)^{5}(t+2)^{4}(t-3)}
LCF-Notation	{{{LCF}}}

Der Petersen-Graph (benannt nach dem dänischen Mathematiker Julius Petersen) ist ein 3-regulärer (also kubischer) Graph mit 10 Knoten. Das bedeutet, dass jeder der Knoten drei Nachbarn hat, die Gradfolge ist also (3,3,3,3,3,3,3,3,3,3). Der Petersen-Graph ist in der Graphentheorie ein oft verwendetes Beispiel und Gegenbeispiel. Er tritt auch in der tropischen Geometrie auf.

Eigenschaften des Petersen-Graphen:

• Kubisch bzw. 3-regulär (per Definition)
• Radius und Durchmesser sind 2
• Geschlecht ist 1
• Nicht planar
• Zusammenhängend
• Symmetrisch
• Stark regulär
• Snark
• Die Länge des kürzesten Kreises ist 5
• Die Länge des längsten Kreises ist 9
• Enthält keinen Hamilton-Kreis
• Kleinster hypohamiltonscher Graph
• Ist kein Cayley-Graph, obwohl er regulär und lokal-endlich ist.
• Ist ein Einheitsdistanz-Graph, da er eine Darstellung besitzt, bei der alle Kanten Einheitslänge haben.

Der Petersen-Graph hat eine chromatische Zahl von 3, d. h. die Knoten müssen mit mindestens 3 Farben gefärbt werden, sodass jeweils zwei benachbarte Knoten unterschiedliche Farben haben. Der chromatische Index ist 4, d. h. man benötigt mindestens 4 Farben um alle Kanten so einzufärben, dass die inzidente Kanten jedes Knoten paarweise verschiedene Farben haben. Da der Petersen-Graph brückenlos und kubisch ist, aber einen chromatischen Index von 4 besitzt, zählt der Petersen-Graph zu den sogenannten Snark-Graphen. Er ist der kleinste und von 1898 bis 1946 der einzige Graph, für den diese Eigenschaft nachgewiesen wurde^[1].

• Eric W. Weisstein: Petersen-Graph. In: MathWorld (englisch).

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1. ↑ Julius Petersen: Sur le théorème de Tait. In: L'Intermédiaire des Mathématiciens. Band 5, 1898, S. 225–227 (archive.org).