Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.
Sei
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
eine abelsche Kategorie, zum Beispiel die Kategorie der Moduln eines Ringes, die nach dem Einbettungssatz von Mitchell das Standardbeispiel ist. Zu zwei Objekten
X
{\displaystyle X}
und
Z
{\displaystyle Z}
aus
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
sei
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form
-
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0.
{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0.}

Auf
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}
und
0
→
X
→
Y
′
→
Z
→
0
{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0}
sind äquivalent, wenn es einen Morphismus
g
:
Y
→
Y
′
{\displaystyle g\colon Y\to Y'}
gibt, so dass das Diagramm
-
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
↓
id
↓
g
↓
id
0
→
X
→
Y
′
→
Z
→
0
{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X&\to &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}

kommutiert. Dabei ist
id
{\displaystyle \operatorname {id} }
der identische Morphismus.
Aus dem Fünferlemma folgt sofort, dass wenn es solch einen Morphismus
g
{\displaystyle g}
gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit
E
x
t
(
Z
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)}
bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.[1][2]
Morphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext-Gruppen, so dass
E
x
t
{\displaystyle \mathrm {Ext} }
zu einem zweistelligen Funktor wird.
Zu
g
:
X
→
X
′
{\displaystyle g\colon X\to X'}
und der Sequenz
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}
kann man den Push-out bilden:
-
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
↓
g
↓
0
→
X
′
→
Y
′
{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow g&&\downarrow &&\\0&\to &X'&\to &Y'\end{matrix}}}

Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
-
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
↓
g
↓
↓
id
0
→
X
′
→
Y
′
→
Z
→
0
{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow g&&\downarrow &&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X'&\to &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}

Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Äquivalenzklasse somit ein Element in
E
x
t
(
Z
,
X
′
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X')}
.
Bildet man die Äquivalenzklasse von
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}
auf die Äquivalenzklasse von
0
→
X
′
→
Y
′
→
Z
→
0
{\displaystyle 0\rightarrow X'\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0}
ab, so erhält man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus
E
x
t
(
Z
,
X
)
→
E
x
t
(
Z
,
X
′
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} (Z,X')}
.
Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z. Zu
g
:
Z
′
→
Z
{\displaystyle g\colon Z'\to Z}
und der Sequenz
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}
kann man folgenden Pull-back bilden:
-
Y
′
→
Z
′
→
0
↓
↓
g
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
.
{\displaystyle {\begin{matrix}&&&&Y'&\to &Z'&\to &0\\&&&&\downarrow &&\downarrow g\\0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\end{matrix}}.}

Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:
-
0
→
X
→
Y
′
→
Z
′
→
0
↓
id
↓
↓
g
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y'&\to &Z'&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow &&\downarrow g\\0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}

Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in
E
x
t
(
Z
′
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} (Z',X)}
.
Bildet man die Äquivalenzklasse von
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}
auf die Äquivalenzklasse von
0
→
X
→
Y
′
→
Z
′
→
0
{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z'\rightarrow 0}
ab, so erhält man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus
E
x
t
(
Z
,
X
)
→
E
x
t
(
Z
′
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} (Z',X)}
.
Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom-Funktors identifiziert werden.
Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten (d. h. jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes) den kontravarianten Funktor
H
o
m
(
−
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X)}
und definiert
-
E
x
t
n
(
Z
,
X
)
:=
R
n
H
o
m
(
−
,
X
)
(
Z
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X):=R_{n}\mathrm {Hom} (-,X)(Z)}
,
das heißt man bildet die
n
{\displaystyle n}
-te Rechtsableitung von
H
o
m
(
−
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X)}
und wendet den so entstandenen Funktor auf
Z
{\displaystyle Z}
an.
Etwas konkreter bedeutet das folgendes: Es sei
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
und
-
…
→
P
n
→
P
n
−
1
→
…
→
Z
→
0
λ
n
↓
↗
κ
n
K
n
{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}\ldots \rightarrow &P_{n}&\rightarrow &P_{n-1}&\rightarrow \ldots \rightarrow Z\rightarrow 0\\&\lambda _{n}\downarrow &\nearrow \kappa _{n}\\&K_{n}\end{array}}}

eine projektive Auflösung von
Z
{\displaystyle Z}
mit einem Epimorphismus
λ
n
:
P
n
→
K
n
{\displaystyle \lambda _{n}:P_{n}\rightarrow K_{n}}
und einem Monomorphismus
κ
n
:
K
n
→
P
n
−
1
{\displaystyle \kappa _{n}:K_{n}\rightarrow P_{n-1}}
, so dass
(
P
n
→
P
n
−
1
)
=
κ
n
∘
λ
n
{\displaystyle (P_{n}\rightarrow P_{n-1})=\kappa _{n}\circ \lambda _{n}}
.
Weiter sei
κ
n
∗
=
H
o
m
(
κ
n
,
X
)
{\displaystyle \kappa _{n}^{*}=\mathrm {Hom} (\kappa _{n},X)}
der induzierte Homomorphismus
-
κ
n
∗
:
H
o
m
(
P
n
−
1
,
X
)
→
H
o
m
(
K
n
,
X
)
,
f
↦
f
∘
κ
n
{\displaystyle \kappa _{n}^{*}:\mathrm {Hom} (P_{n-1},X)\rightarrow \mathrm {Hom} (K_{n},X),\,f\mapsto f\circ \kappa _{n}}
.
Dann ist
-
E
x
t
n
(
Z
,
X
)
≅
c
o
k
e
r
(
κ
n
∗
)
=
H
o
m
(
K
n
,
X
)
/
κ
n
∗
(
H
o
m
(
P
n
−
1
,
X
)
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)\cong \mathrm {coker} (\kappa _{n}^{*})=\mathrm {Hom} (K_{n},X)/\kappa _{n}^{*}(\mathrm {Hom} (P_{n-1},X))}
.
Die Elemente aus
E
x
t
n
(
Z
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)}
sind also gewisse Äquivalenzklassen von Elementen aus
H
o
m
(
K
n
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (K_{n},X)}
.[3]
Schließlich sei darauf hingewiesen, dass man die Rollen von
X
{\displaystyle X}
und
Z
{\displaystyle Z}
auch vertauschen kann, man erhält
-
E
x
t
n
(
Z
,
X
)
≅
R
n
H
o
m
(
Z
,
−
)
(
X
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)\cong R_{n}\mathrm {Hom} (Z,-)(X)}
.
In diesem Abschnitt soll erläutert werden, wie die oben definierten Konstrukte
E
x
t
{\displaystyle \mathrm {Ext} }
und
E
x
t
1
{\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}}
zusammenhängen. Wir konstruieren eine Abbildung
E
x
t
(
Z
,
X
)
→
E
x
t
1
(
Z
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)}
.
Sei
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}
eine kurze exakte Sequenz, die ein Element aus
E
x
t
(
Z
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)}
definiert. Weiter sei
0
→
K
→
P
→
Z
→
0
{\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow P\rightarrow Z\rightarrow 0}
eine kurze exakte Sequenz mit projektivem
P
{\displaystyle P}
. Mittels der Projektivität von
P
{\displaystyle P}
kann man ein kommutatives Diagramm
-
0
→
K
→
P
→
Z
→
0
↓
ψ
↓
φ
‖
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}0\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Z&\rightarrow 0\\&\downarrow \psi &&\downarrow \varphi &&\Vert \\0\rightarrow &X&\rightarrow &Y&\rightarrow &Z&\rightarrow 0\end{array}}}

konstruieren.
Dann ist
ψ
∈
H
o
m
(
K
,
X
)
{\displaystyle \psi \in \mathrm {Hom} (K,X)}
ein Homomorphismus, dessen Äquivalenzklasse nach obiger Darstellung von
E
x
t
n
(
Z
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)}
ein Element aus
E
x
t
1
(
Z
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)}
definiert.
Bildet man die Äquivalenzklasse von
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}
in
E
x
t
(
Z
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)}
auf die Äquivalenzklasse von
ψ
{\displaystyle \psi }
in
E
x
t
1
(
Z
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)}
ab, so erhält man eine wohldefinierte Abbildung
E
x
t
(
Z
,
X
)
→
E
x
t
1
(
Z
,
X
)
{\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)}
, von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.[4]
Daher kann man
E
x
t
{\displaystyle \mathrm {Ext} }
mit
E
x
t
1
{\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}}
identifizieren, das heißt
E
x
t
{\displaystyle \mathrm {Ext} }
kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des
H
o
m
{\displaystyle \mathrm {Hom} }
-Funktors definiert werden.
Der Hom-Funktor ist linksexakt, das heißt für eine kurze exakte Sequenz
-
0
→
X
→
Y
→
Z
→
0
{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}

und ein weiteres Objekt (Modul)
A
{\displaystyle A}
hat man eine exakte Sequenz
-
0
→
H
o
m
(
A
,
X
)
→
H
o
m
(
A
,
Y
)
→
H
o
m
(
A
,
Z
)
{\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {Hom} (A,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Z)}
,
und diese lässt sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen.
Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0-te Ableitung des Hom-Funktors mit Hom überein, das heißt, wenn man obige Definition von
E
x
t
n
{\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}}
auf
n
=
0
{\displaystyle n=0}
ausdehnt, so hat man
E
x
t
0
=
H
o
m
{\displaystyle \mathrm {Ext} ^{0}=\mathrm {Hom} }
.
Die lange exakte Sequenz für abgeleitete additive Funktoren liefert daher die folgende exakte Sequenz
-
0
→
H
o
m
(
A
,
X
)
→
H
o
m
(
A
,
Y
)
→
H
o
m
(
A
,
Z
)
{\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {Hom} (A,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Z)}
-
→
E
x
t
1
(
A
,
X
)
→
E
x
t
1
(
A
,
Y
)
→
E
x
t
1
(
A
,
Z
)
→
E
x
t
2
(
A
,
X
)
→
…
{\displaystyle \rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(A,X)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(A,Y)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(A,Z)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{2}(A,X)\rightarrow \ldots }
.
Analog erhält man eine lange exakte Sequenz
-
0
→
H
o
m
(
Z
,
A
)
→
H
o
m
(
Y
,
A
)
→
H
o
m
(
X
,
A
)
{\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {Hom} (Z,A)\rightarrow \mathrm {Hom} (Y,A)\rightarrow \mathrm {Hom} (X,A)}
-
→
E
x
t
1
(
Z
,
A
)
→
E
x
t
1
(
Y
,
A
)
→
E
x
t
1
(
X
,
A
)
→
E
x
t
2
(
Z
,
A
)
→
…
{\displaystyle \rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Z,A)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Y,A)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(X,A)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{2}(Z,A)\rightarrow \ldots }
.
In diesem Sinne schließen die Ext-Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom-Funktors entstandene Lücke.[5]
- ↑ Sergei I. Gelfand & Yuri Ivanovich Manin: Homological Algebra, Springer, Berlin, 1999, ISBN 978-3-540-65378-3
- ↑ Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-55987-4
- ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.13
- ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 4.5
- ↑ Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Kap. III, Theorem 3.4 und Theorem 9.1