Ext (Mathematik)

Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.

Sei A {\displaystyle {\mathcal {A}}} eine abelsche Kategorie, zum Beispiel die Kategorie der Moduln eines Ringes, die nach dem Einbettungssatz von Mitchell das Standardbeispiel ist. Zu zwei Objekten X {\displaystyle X} und Z {\displaystyle Z} aus A {\displaystyle {\mathcal {A}}} sei E {\displaystyle {\mathcal {E}}} die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form

0 → X → Y → Z → 0. {\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0.}

Auf E {\displaystyle {\mathcal {E}}} wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen 0 → X → Y → Z → 0 {\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0} und 0 → X → Y ′ → Z → 0 {\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0} sind äquivalent, wenn es einen Morphismus g : Y → Y ′ {\displaystyle g\colon Y\to Y'} gibt, so dass das Diagramm

0 → X → Y → Z → 0 ↓ id ↓ g ↓ id 0 → X → Y ′ → Z → 0 {\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow g&&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X&\to &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}

kommutiert. Dabei ist id {\displaystyle \operatorname {id} } der identische Morphismus.

Aus dem Fünferlemma folgt sofort, dass wenn es solch einen Morphismus g {\displaystyle g} gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse E {\displaystyle {\mathcal {E}}} modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit E x t ( Z , X ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)} bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.^[1][2]

Morphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext-Gruppen, so dass E x t {\displaystyle \mathrm {Ext} } zu einem zweistelligen Funktor wird.

Zu g : X → X ′ {\displaystyle g\colon X\to X'} und der Sequenz 0 → X → Y → Z → 0 {\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0} kann man den Push-out bilden:

0 → X → Y → Z → 0 ↓ g ↓ 0 → X ′ → Y ′ {\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow g&&\downarrow &&\\0&\to &X'&\to &Y'\end{matrix}}}

Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

0 → X → Y → Z → 0 ↓ g ↓ ↓ id 0 → X ′ → Y ′ → Z → 0 {\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\\&&\downarrow g&&\downarrow &&\downarrow \operatorname {id} \\0&\to &X'&\to &Y'&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}

Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Äquivalenzklasse somit ein Element in E x t ( Z , X ′ ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X')} .

Bildet man die Äquivalenzklasse von 0 → X → Y → Z → 0 {\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0} auf die Äquivalenzklasse von 0 → X ′ → Y ′ → Z → 0 {\displaystyle 0\rightarrow X'\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0} ab, so erhält man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus E x t ( Z , X ) → E x t ( Z , X ′ ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} (Z,X')} .

Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z. Zu g : Z ′ → Z {\displaystyle g\colon Z'\to Z} und der Sequenz 0 → X → Y → Z → 0 {\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0} kann man folgenden Pull-back bilden:

Y ′ → Z ′ → 0 ↓ ↓ g 0 → X → Y → Z → 0 . {\displaystyle {\begin{matrix}&&&&Y'&\to &Z'&\to &0\\&&&&\downarrow &&\downarrow g\\0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\end{matrix}}.}

Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:

0 → X → Y ′ → Z ′ → 0 ↓ id ↓ ↓ g 0 → X → Y → Z → 0 {\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &X&\to &Y'&\to &Z'&\to &0\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow &&\downarrow g\\0&\to &X&\to &Y&\to &Z&\to &0\end{matrix}}}

Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in E x t ( Z ′ , X ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (Z',X)} .

Bildet man die Äquivalenzklasse von 0 → X → Y → Z → 0 {\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0} auf die Äquivalenzklasse von 0 → X → Y ′ → Z ′ → 0 {\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z'\rightarrow 0} ab, so erhält man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus E x t ( Z , X ) → E x t ( Z ′ , X ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} (Z',X)} .

Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom-Funktors identifiziert werden.

Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten (d. h. jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes) den kontravarianten Funktor H o m ( − , X ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X)} und definiert

E x t n ( Z , X ) := R n H o m ( − , X ) ( Z ) {\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X):=R_{n}\mathrm {Hom} (-,X)(Z)} ,

das heißt man bildet die n {\displaystyle n} -te Rechtsableitung von H o m ( − , X ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X)} und wendet den so entstandenen Funktor auf Z {\displaystyle Z} an.

Etwas konkreter bedeutet das folgendes: Es sei n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} und

… → P n → P n − 1 → … → Z → 0 λ n ↓ ↗ κ n K n {\displaystyle {\begin{array}{ccccc}\ldots \rightarrow &P_{n}&\rightarrow &P_{n-1}&\rightarrow \ldots \rightarrow Z\rightarrow 0\\&\lambda _{n}\downarrow &\nearrow \kappa _{n}\\&K_{n}\end{array}}}

eine projektive Auflösung von Z {\displaystyle Z} mit einem Epimorphismus λ n : P n → K n {\displaystyle \lambda _{n}:P_{n}\rightarrow K_{n}} und einem Monomorphismus κ n : K n → P n − 1 {\displaystyle \kappa _{n}:K_{n}\rightarrow P_{n-1}} , so dass ( P n → P n − 1 ) = κ n ∘ λ n {\displaystyle (P_{n}\rightarrow P_{n-1})=\kappa _{n}\circ \lambda _{n}} . Weiter sei κ n ∗ = H o m ( κ n , X ) {\displaystyle \kappa _{n}^{*}=\mathrm {Hom} (\kappa _{n},X)} der induzierte Homomorphismus

κ n ∗ : H o m ( P n − 1 , X ) → H o m ( K n , X ) , f ↦ f ∘ κ n {\displaystyle \kappa _{n}^{*}:\mathrm {Hom} (P_{n-1},X)\rightarrow \mathrm {Hom} (K_{n},X),\,f\mapsto f\circ \kappa _{n}} .

Dann ist

E x t n ( Z , X ) ≅ c o k e r ( κ n ∗ ) = H o m ( K n , X ) / κ n ∗ ( H o m ( P n − 1 , X ) ) {\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)\cong \mathrm {coker} (\kappa _{n}^{*})=\mathrm {Hom} (K_{n},X)/\kappa _{n}^{*}(\mathrm {Hom} (P_{n-1},X))} .

Die Elemente aus E x t n ( Z , X ) {\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)} sind also gewisse Äquivalenzklassen von Elementen aus H o m ( K n , X ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (K_{n},X)} .^[3]

Schließlich sei darauf hingewiesen, dass man die Rollen von X {\displaystyle X} und Z {\displaystyle Z} auch vertauschen kann, man erhält

E x t n ( Z , X ) ≅ R n H o m ( Z , − ) ( X ) {\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)\cong R_{n}\mathrm {Hom} (Z,-)(X)} .

In diesem Abschnitt soll erläutert werden, wie die oben definierten Konstrukte E x t {\displaystyle \mathrm {Ext} } und E x t 1 {\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}} zusammenhängen. Wir konstruieren eine Abbildung E x t ( Z , X ) → E x t 1 ( Z , X ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)} .

Sei 0 → X → Y → Z → 0 {\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0} eine kurze exakte Sequenz, die ein Element aus E x t ( Z , X ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)} definiert. Weiter sei 0 → K → P → Z → 0 {\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow P\rightarrow Z\rightarrow 0} eine kurze exakte Sequenz mit projektivem P {\displaystyle P} . Mittels der Projektivität von P {\displaystyle P} kann man ein kommutatives Diagramm

0 → K → P → Z → 0 ↓ ψ ↓ φ ‖ 0 → X → Y → Z → 0 {\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}0\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Z&\rightarrow 0\\&\downarrow \psi &&\downarrow \varphi &&\Vert \\0\rightarrow &X&\rightarrow &Y&\rightarrow &Z&\rightarrow 0\end{array}}}

konstruieren. Dann ist ψ ∈ H o m ( K , X ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Hom} (K,X)} ein Homomorphismus, dessen Äquivalenzklasse nach obiger Darstellung von E x t n ( Z , X ) {\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(Z,X)} ein Element aus E x t 1 ( Z , X ) {\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)} definiert.

Bildet man die Äquivalenzklasse von 0 → X → Y → Z → 0 {\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0} in E x t ( Z , X ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)} auf die Äquivalenzklasse von ψ {\displaystyle \psi } in E x t 1 ( Z , X ) {\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)} ab, so erhält man eine wohldefinierte Abbildung E x t ( Z , X ) → E x t 1 ( Z , X ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (Z,X)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Z,X)} , von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.^[4]

Daher kann man E x t {\displaystyle \mathrm {Ext} } mit E x t 1 {\displaystyle \mathrm {Ext} ^{1}} identifizieren, das heißt E x t {\displaystyle \mathrm {Ext} } kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des H o m {\displaystyle \mathrm {Hom} } -Funktors definiert werden.

Der Hom-Funktor ist linksexakt, das heißt für eine kurze exakte Sequenz

0 → X → Y → Z → 0 {\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}

und ein weiteres Objekt (Modul) A {\displaystyle A} hat man eine exakte Sequenz

0 → H o m ( A , X ) → H o m ( A , Y ) → H o m ( A , Z ) {\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {Hom} (A,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Z)} ,

und diese lässt sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen. Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0-te Ableitung des Hom-Funktors mit Hom überein, das heißt, wenn man obige Definition von E x t n {\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}} auf n = 0 {\displaystyle n=0} ausdehnt, so hat man E x t 0 = H o m {\displaystyle \mathrm {Ext} ^{0}=\mathrm {Hom} } . Die lange exakte Sequenz für abgeleitete additive Funktoren liefert daher die folgende exakte Sequenz

0 → H o m ( A , X ) → H o m ( A , Y ) → H o m ( A , Z ) {\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {Hom} (A,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} (A,Z)}

→ E x t 1 ( A , X ) → E x t 1 ( A , Y ) → E x t 1 ( A , Z ) → E x t 2 ( A , X ) → … {\displaystyle \rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(A,X)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(A,Y)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(A,Z)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{2}(A,X)\rightarrow \ldots } .

Analog erhält man eine lange exakte Sequenz

0 → H o m ( Z , A ) → H o m ( Y , A ) → H o m ( X , A ) {\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {Hom} (Z,A)\rightarrow \mathrm {Hom} (Y,A)\rightarrow \mathrm {Hom} (X,A)}

→ E x t 1 ( Z , A ) → E x t 1 ( Y , A ) → E x t 1 ( X , A ) → E x t 2 ( Z , A ) → … {\displaystyle \rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Z,A)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(Y,A)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{1}(X,A)\rightarrow \mathrm {Ext} ^{2}(Z,A)\rightarrow \ldots } .

In diesem Sinne schließen die Ext-Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom-Funktors entstandene Lücke.^[5]

1. ↑ Sergei I. Gelfand & Yuri Ivanovich Manin: Homological Algebra, Springer, Berlin, 1999, ISBN 978-3-540-65378-3
2. ↑ Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-55987-4
3. ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.13
4. ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 4.5
5. ↑ Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Kap. III, Theorem 3.4 und Theorem 9.1