Differenzkern

Ein Differenzkern, auch Egalisator oder nach der englischsprachigen Bezeichnung Equalizer genannt, ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes Kern auf beliebige Kategorien.

In einer Kategorie seien zwei Morphismen f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y} gegeben. Ein Differenzkern von f {\displaystyle f} und g {\displaystyle g} ist ein Morphismus i : Z → X {\displaystyle i\colon Z\rightarrow X} mit folgenden Eigenschaften:

• f ∘ i = g ∘ i {\displaystyle f\circ i=g\circ i} und
• zu jedem Morphismus i ′ : Z ′ → X {\displaystyle i'\colon Z'\to X} , für den f ∘ i ′ = g ∘ i ′ {\displaystyle f\circ i'=g\circ i'} gilt, gibt es genau einen Morphismus c : Z ′ → Z {\displaystyle c\colon Z'\to Z} , so dass i ′ = i ∘ c {\displaystyle i'=i\circ c} .^[1][2]

• In den Kategorien Set der Mengen, Top der topologischen Räume, R {\displaystyle R} -Mod der Linksmoduln über einem Ring R {\displaystyle R} ist in der Situation obiger Definition die Inklusionsabbildung

i : { x ∈ X ∣ f ( x ) = g ( x ) } ↪ X {\displaystyle i\colon \{x\in X\mid f(x)=g(x)\}\hookrightarrow X}

ein Differenzkern. Insbesondere in der zuletzt genannten Kategorie ist

{ x ∈ X ∣ f ( x ) = g ( x ) } = { x ∈ X ∣ ( f − g ) ( x ) = 0 } {\displaystyle \{x\in X\mid f(x)=g(x)\}=\{x\in X\mid (f-g)(x)=0\}}

automatisch ein Untermodul, der mit dem Kern der Differenz f − g {\displaystyle f-g} zusammenfällt, was die Bezeichnung Differenzkern erklärt.

• In den Kategorien der Gruppen, abelschen Gruppen, Vektorräume oder Ringe ist der Differenzkern zweier Morphismen durch den Differenzkern der zugrundeliegenden Mengenabbildungen gegeben.
• Hat die betrachtete Kategorie Nullobjekte und ist in der Situation obiger Definition g = 0 X Y {\displaystyle g=0_{XY}} der Nullmorphismus X → Y {\displaystyle X\rightarrow Y} , so ist ein Differenzkern von f {\displaystyle f} und 0 X Y {\displaystyle 0_{XY}} nichts anderes als ein Kern von f {\displaystyle f} . Damit ist jeder Kern ein Beispiel für einen Differenzkern.

• Differenzkerne sind nicht eindeutig bestimmt. Sind aber in der Situation obiger Definition i : Z → X {\displaystyle i\colon Z\rightarrow X} und i ~ : Z ~ → X {\displaystyle {\tilde {i}}\colon {\tilde {Z}}\rightarrow X} zwei Differenzkerne von f {\displaystyle f} und g {\displaystyle g} , so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft, dass es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus c : Z ~ → Z {\displaystyle c\colon {\tilde {Z}}\rightarrow Z} mit i ~ = i ∘ c {\displaystyle {\tilde {i}}=i\circ c} gibt. Differenzkerne sind also bis auf (eindeutige) Isomorphie bestimmt, weshalb man oft von dem Differenzkern spricht und ihn mit k e r ( f , g ) {\displaystyle \mathrm {ker} (f,g)} bezeichnet.
• In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt Z {\displaystyle Z} den Differenzkern. Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Inklusionsabbildung, die unerwähnt bleiben kann.
• Man sagt, eine Kategorie habe Differenzkerne, wenn es zu je zwei Morphismen f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y} einen Differenzkern gibt. Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien Set, Top und R {\displaystyle R} -Mod haben offenbar Differenzkerne. Die Unterkategorie Set₂ der mindestens zweielementigen Mengen von Set hat keine Differenzkerne.^[3]
• Differenzkerne sind Monomorphismen.^[4] Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Diejenigen Monomorphismen, die als Differenzkern auftreten, nennt man regulär.
• Differenzkerne sind spezielle Limites, nämlich die von Funktoren I → C {\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}} (auch I {\displaystyle {\mathcal {I}}} -förmige Diagramme genannt), in welchen die Kategorie I {\displaystyle {\mathcal {I}}} aus zwei Objekten mit jeweiligen Identitäten und zwei parallelen Morphismen zwischen ihnen besteht.

Ein Differenzkern zweier Morphismen f , g : X → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} in einer beliebigen Kategorie kann auch als das durch die folgenden äquivalenten Eigenschaften charakterisierte Unterobjekt i : ker ⁡ ( f , g ) → X {\displaystyle i\colon \ker(f,g)\to X} von X {\displaystyle X} beschrieben werden:

Hom ⁡ ( T , ker ⁡ ( f , g ) ) ≅ ker ⁡ ( Hom ⁡ ( T , f ) , Hom ⁡ ( T , g ) ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (T,\ker(f,g))\cong \ker(\operatorname {Hom} (T,f),\operatorname {Hom} (T,g))}

wobei

Hom ⁡ ( T , f ) : Hom ⁡ ( T , X ) → Hom ⁡ ( T , Y ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (T,f)\colon \operatorname {Hom} (T,X)\to \operatorname {Hom} (T,Y)}

Hom ⁡ ( T , f ) ( t ) := f t {\displaystyle \operatorname {Hom} (T,f)(t):=ft}

und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist, nicht der in der betrachteten Kategorie.

Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 natürlich in T {\displaystyle T} sein, das heißt: Nennen wir die Familie von Isomorphismen

φ T : Hom ⁡ ( T , ker ⁡ ( f , g ) ) → ker ⁡ ( Hom ⁡ ( T , f ) , Hom ⁡ ( T , g ) ) {\displaystyle \varphi _{T}\colon \operatorname {Hom} (T,\ker(f,g))\to \ker(\operatorname {Hom} (T,f),\operatorname {Hom} (T,g))}

dann gilt für alle a : T 0 → T {\displaystyle a\colon T_{0}\to T} und alle t {\displaystyle t} für die der folgende Ausdruck definiert ist, dass

φ T 0 ( t a ) = φ T ( t ) a {\displaystyle \varphi _{T_{0}}(ta)=\varphi _{T}(t)a}

• Differenzkokern

1. ↑ B. Pareigis: Kategorien und Funktoren, B. G. Teubner (1969), Kapitel 1.9: Differenzkerne und -kokerne
2. ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 16.2
3. ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiele 16.9
4. ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 16.4