Toplam

Matematik alanında, toplam veya genel toplam olarak sonuçlanan, toplananlar ya da toplamalar diye adlandırılan bir sayı dizisinin eklenme sürecine toplam/toplama denir. Sayıların yanı sıra, fonksiyonlar, vektörler, matrisler, polinomlar ve genelde "+" işareti ile tanımlanmış işleme sahip diğer tüm matematiksel nesne türleri de toplanabilir.

Sonsuz diziler üzerinde gerçekleştirilen toplam işlemleri seriler olarak isimlendirilir. Bu tür toplamlar, limit kavramını barındırır ve bu makale kapsamında değerlendirilmemektedir.

Belirli bir diziye ilişkin toplam, ardışık toplama işlemleri ile tanımlanır. Örnek olarak, [1, 2, 4, 2] elemanlarının toplamı 1 + 2 + 4 + 2 şeklinde ifade edilir ve bu işlem sonucunda 9 değeri elde edilir; bir diğer deyişle 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Toplama işleminin birleşme ve değişme özellikleri dolayısıyla, işlem sırasının değişmesinden bağımsız olarak sonuç değişmez ve parantez kullanımına gerek kalmaz. Tek bir eleman içeren bir dizinin toplamı, o elemanın kendisidir. Eleman barındırmayan boş bir dizinin toplamı ise, konvansiyonel olarak sıfır olarak kabul edilir.

Genellikle, bir dizinin elemanları, bu elemanların dizideki konumlarına bağlı olarak belirli bir düzen içinde bir fonksiyon olarak tanımlanmaktadır. Basit düzenlerde, uzun dizilerdeki toplamlar, birçok toplananın üç nokta ile yer değiştirmesi şeklinde ifade edilebilir. Örnek olarak, ilk yüz doğal sayının toplamı 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 biçiminde belirtilebilir. Diğer durumlarda, toplama işlemi Σ notasyonu ile ifade edilir; burada ∑ {\textstyle \sum } , büyütülmüş bir sigma harfine işaret eder. İlk n doğal sayının toplamı, örneğin, ∑ i = 1 n i , {\textstyle \sum _{i=1}^{n}i,} şeklinde tanımlanabilir.

Uzun toplam işlemleri ve değişken uzunlukta olan toplam işlemleri için (üç nokta veya Σ notasyonu ile ifade edilenler), sonucun kapalı form ifadesine ulaşmak sık karşılaşılan bir problemdir. Örneğin,^[a]

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2 . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.}

Bu tür formüllerin her zaman bulunabilir olmadığı durumlar olmakla birlikte, birçok toplam formülü tespit edilmiştir; bu makalede yer alan bölümler, en yaygın ve temel formüllerden bazılarını içermektedir.

Matematiksel notasyon, birçok benzer terimin toplamını kompakt bir şekilde temsil eden bir sembol kullanır: toplama sembolü, ∑ {\textstyle \sum } , dik büyük Yunan harfi sigma'nın büyük harfli formudur. Bu,

∑ i = ⁡ m n a i = a m + a m + 1 + a m + 2 + ⋯ + a n − 1 + a n {\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}

şeklinde tanımlanır; burada i toplama endeksi olarak adlandırılır; a_i toplamın her terimini temsil eden dizinli değişkendir; m toplamın alt sınırı ve n toplamın üst sınırıdır. Toplama sembolünün altında yer alan "i = m" ifadesi, indeks i'nin m ile başladığını belirtir. İndeks, i, her ardışık terim için bir arttırılarak, i = n olduğunda durur.^[b]

Bu ifade, "i = m ile başlayıp n ile biten değerlerin toplamı" şeklinde okunur.

Karelerin toplamını gösteren bir örnek aşağıda verilmiştir:

∑ i = 3 6 i 2 = 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 = 86. {\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}

Genelde, bir toplama işleminin indeksi olarak belirsizlik oluşturmayacak şekilde herhangi bir değişken kullanılabilir. Toplama indeksi olarak en sık kullanılan semboller arasında i {\displaystyle i} ,^[c] j {\displaystyle j} , k {\displaystyle k} ve n {\displaystyle n} yer alır; bunlardan sonuncusu sıklıkla toplamaların üst sınırını belirtmek için tercih edilir.

Alternatif bir yaklaşım olarak, eğer bağlam yeterince açıksa, toplama işlemi tanımından indeks ve sınırlar bazen çıkarılabilir. Bu durum, özellikle indeksin 1'den n'ye uzandığı hallerde uygulanır.^[1] Örnek olarak, aşağıdaki ifade kullanılabilir:

∑ a i 2 = ∑ i = 1 n a i 2 . {\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.}

Bu gösterimlerin çeşitli genellemeleri sıklıkla tercih edilir; burada, belirlenen keyfi bir mantıksal koşul altında, bu koşulu karşılayan tüm değerlerin toplamı gerçekleştirilmek üzere tasarlanmıştır. Örnek olarak:

∑ 0 ≤ k < 100 f ( k ) {\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}

∑ k = 0 99 f ( k ) , {\textstyle \sum _{k=0}^{99}f(k),} gösteriminin alternatif bir biçimidir ve belirlenen aralıkta yer alan tüm (tam sayılar) k {\displaystyle k} için f ( k ) {\displaystyle f(k)} değerlerinin toplamını temsil eder. Aynı şekilde,

∑ x ∈ ⁡ S f ( x ) {\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}

küme S {\displaystyle S} içerisindeki tüm elemanlar x {\displaystyle x} için f ( x ) {\displaystyle f(x)} toplamını ifade eder ve

∑ d , | , n ; μ ( d ) {\displaystyle \sum _{d,|,n};\mu (d)}

n {\displaystyle n} 'i bölen pozitif tam sayılar d {\displaystyle d} üzerinden μ ( d ) {\displaystyle \mu (d)} toplamını gösterir.^[d]

Çok sayıda sigma işaretinin kullanımı genelleştirilebilir şekilde ifade edilebilir. Örnek olarak,

∑ i , j {\displaystyle \sum _{i,j}}

ifadesi,

∑ i ∑ j . {\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}.}

ile aynı anlamı taşır.

Dizi çarpımı için benzer bir notasyon kullanılır; burada, Yunan alfabesinin büyük harfi pi'nin genişletilmiş formu olan ∏ {\textstyle \prod } , ∑ {\textstyle \sum } işaretinin yerine tercih edilir.

İki sayıdan daha az sayıda sayı ile toplam işlemi mümkündür:

• Eğer toplamda yalnızca bir toplama elemanı x {\displaystyle x} bulunuyorsa, bu durumda elde edilen toplam x {\displaystyle x} değeridir.
• Toplamda hiçbir toplama elemanı bulunmamaktaysa, elde edilen toplam sıfır olacaktır, çünkü sıfır toplama işlemi için birim eleman özelliği taşır. Bu durum, boş toplam olarak adlandırılır.

Bu türden niteliksiz durumlar genellikle toplama notasyonu özel bir durumda geçersiz bir sonuç ürettiğinde tercih edilir. Örneğin, tanımda n = m {\displaystyle n=m} olduğunda toplam içerisinde yalnızca bir eleman bulunur; n = m − 1 {\displaystyle n=m-1} olduğunda ise herhangi bir eleman bulunmamaktadır.

Toplam işlemi, yinelemeli olarak şöyle tanımlanabilir:

∑ i = a b g ( i ) = 0 {\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0} , b < a {\displaystyle b<a} durumunda;

∑ i = a b g ( i ) = g ( b ) + ∑ i = a b − 1 g ( i ) {\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)} , b ⩾ a {\displaystyle b\geqslant a} durumunda.

Ölçü ve integrasyon teorileri çerçevesinde, bir toplam belirli integral şeklinde gösterilebilir,

∑ k = ⁡ a b f ( k ) = ∫ [ a , b ] f , d μ {\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f,d\mu }

burada [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , a {\displaystyle a} 'dan b {\displaystyle b} 'ye kadar olan tam sayıların altkümesini ifade eder ve μ {\displaystyle \mu } , tam sayılar üzerinden alınan sayma ölçüsüdür.

Verilen bir f fonksiyonunun tam sayılar üzerinde tanımlandığı ve aralık [m, n] içerisinde yer aldığı durumda, aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

f ( n ) − f ( m ) = ∑ i = m n − 1 ( f ( i + 1 ) − f ( i ) ) . {\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}

Bu durum, teleskopik seri olarak tanımlanır ve sonlu farklar hesabı içindeki kalkülüsün temel teoremine benzer bir yaklaşım sunar. Bu teorem, şu şekilde ifade edilir:

f ( n ) − f ( m ) = ∫ m n f ′ ( x ) d x , {\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)dx,}

burada

f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

f fonksiyonunun türevi olarak belirtilir.

Yukarıdaki eşitliğin bir uygulama örneği şöyledir:

n k = ∑ i = 0 n − 1 ( ( i + 1 ) k − i k ) . {\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).}

binom teoremi yardımıyla, bu ifade şu şekilde dönüştürülebilir:

n k = ∑ i = 0 n − 1 ( ∑ j = 0 k − 1 ( k j ) i j ) . {\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.}

Yukarıda verilen formül, aşağıda tanımı yapılan fark operatörü Δ {\displaystyle \Delta } için tersine çevirme işleminde genellikle tercih edilir:

Δ ( f ) ( n ) = f ( n + 1 ) − f ( n ) , {\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}

burada f, sıfır veya daha büyük tam sayılar üzerinde tanımlanmış bir fonksiyondur. Bu bağlamda, belirtilen f fonksiyonu için görev, f'nin ters farkını, yani F = Δ − 1 f {\displaystyle F=\Delta ^{-1}f} şeklinde tanımlanacak öyle bir fonksiyonu hesaplamaktır ki, Δ F = f {\displaystyle \Delta F=f} denklemini sağlar. Başka bir deyişle, F ( n + 1 ) − F ( n ) = f ( n ) . {\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n).} Bu fonksiyon bir sabit değer eklenmesi dışında belirlenmiştir ve şu biçimde ifade edilebilir:^[2]

F ( n ) = ∑ i = 0 n − 1 f ( i ) . {\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).}

Bu tip toplamlar için her zaman bir kapalı form ifadesi mevcut olmayabilir; fakat Faulhaber formülü, f ( n ) = n k {\displaystyle f(n)=n^{k}} durumunda ve doğrusallık prensibi gereği her polinom fonksiyonu için kapalı bir form sunar.

Birçok yaklaşım (İng. approximation), toplamlar ile integraller arasında kurulan ve herhangi bir artan f fonksiyonu için geçerli olan şu bağlantı ile sağlanabilir:

∫ s = a − 1 b f ( s )   d s ≤ ∑ i = a b f ( i ) ≤ ∫ s = a b + 1 f ( s )   d s . {\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}

ve herhangi bir azalan f fonksiyonu için:

∫ s = a b + 1 f ( s )   d s ≤ ∑ i = a b f ( i ) ≤ ∫ s = a − 1 b f ( s )   d s . {\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}

Daha kapsamlı yaklaşımlar için, Euler–Maclaurin formülü incelenebilir.

Toplama işlemi, indeksin bir integral fonksiyonu tarafından verilmiş veya bu yöntemle elde edilmişse, toplama işlemi ilgili belirli integralin tanımında yer alan bir Riemann toplamı olarak değerlendirilebilir. Bu bağlamda, örneğin

b − a n ∑ i = 0 n − 1 f ( a + i b − a n ) ≈ ∫ a b f ( x )   d x , {\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,}

beklenir; zira sağ tarafta yer alan ifade, sol tarafta yer alan ifadenin n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } limiti olarak tanımlanmıştır. Ancak, belirli bir toplam için n sabit kaldığından, f hakkında ek varsayımlar yapılmadan yukarıdaki yaklaşımdaki hata hakkında sınırlı bilgi verilebilir: Özellikle şiddetli dalgalanan fonksiyonlar için, Riemann toplamı, Riemann integralinden önemli ölçüde farklı olabilir.

Aşağıdaki formüller, sonlu toplamlar için geçerlidir.

∑ n = s t C ⋅ f ( n ) = C ⋅ ∑ n = s t f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad } (dağılma)^[3]

∑ n = s t f ( n ) ± ∑ n = s t g ( n ) = ∑ n = s t ( f ( n ) ± g ( n ) ) {\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad } (Değişme özelliği ve birleşme özelliği)^[3]

∑ n = s t f ( n ) = ∑ n = s + p t + p f ( n − p ) {\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad } (indeks öteleme)

∑ n ∈ B f ( n ) = ∑ m ∈ A f ( σ ( m ) ) , {\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad } (ifadesi, sonlu bir küme A üzerinden başka bir küme B'ye bir bijeksiyon σ aracılığıyla gerçekleşen bir eşleme durumunda geçerlidir; bu durum, önceki formülü daha genel bir bağlama taşır.)

∑ n = s t f ( n ) = ∑ n = s j f ( n ) + ∑ n = j + 1 t f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad } (Birleşme özelliğini kullanarak toplamın parçalanması)

∑ n = a b f ( n ) = ∑ n = 0 b f ( n ) − ∑ n = 0 a − 1 f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad } (bir önceki formülün bir başka formu)

∑ n = s t f ( n ) = ∑ n = 0 t − s f ( t − n ) {\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad } (ifadesinde, serinin ilk elemanından son elemanına kadar olan toplamı, serinin son elemanından başlayıp ilk elemanına doğru olan toplamına eşdeğerdir. Bu durum, toplamın simetrisini ve ters çevrilebilirliğini vurgular.)

∑ n = 0 t f ( n ) = ∑ n = 0 t f ( t − n ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad } (bir önceki formülün bir başka formu)

∑ i = k 0 k 1 ∑ j = l 0 l 1 a i , j = ∑ j = l 0 l 1 ∑ i = k 0 k 1 a i , j {\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad } (değişme özelliği ve birleşme özelliği)

∑ k ≤ j ≤ i ≤ n a i , j = ∑ i = k n ∑ j = k i a i , j = ∑ j = k n ∑ i = j n a i , j = ∑ j = 0 n − k ∑ i = k n − j a i + j , i {\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad } (değişme ve birleşme özelliğinin bir başka uygulaması)

∑ n = 2 s 2 t + 1 f ( n ) = ∑ n = s t f ( 2 n ) + ∑ n = s t f ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad } ifadesi, bir toplamın tek ve çift bileşenlerine ayrılmasını ifade eder, burada çift sayılı indeksler için bu ayrım yapılmaktadır. Bu yöntem, toplamın daha sistemli bir şekilde incelenmesini sağlar.

∑ n = 2 s + 1 2 t f ( n ) = ∑ n = s + 1 t f ( 2 n ) + ∑ n = s + 1 t f ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad } (toplamın tek indeks ile çift ve tek unsurlarına ayrılması)

( ∑ i = 0 n a i ) ( ∑ j = 0 n b j ) = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 n a i b j {\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\biggr )}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad } (Dağılma özelliği)

∑ i = s m ∑ j = t n a i c j = ( ∑ i = s m a i ) ( ∑ j = t n c j ) {\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}={\biggl (}\sum _{i=s}^{m}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=t}^{n}c_{j}{\biggr )}\quad } (ifadesi, dağılma özelliğinin, çarpım işlemlerinin faktörler olarak ifade edilmesine olanak tanıdığını gösterir. Bu durum, iki farklı serinin çarpımının, her bir serinin toplamlarının çarpımına eşdeğer olduğunu ifade eder. Bu yöntem, serilerin çarpımını basitleştirerek analiz etmeyi kolaylaştırır.)

∑ n = s t log b ⁡ f ( n ) = log b ⁡ ∏ n = s t f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad } (ifadesi, bir çarpım işleminin logaritmasının, bu çarpımda yer alan bireysel terimlerin logaritmalarının toplamına denk olduğunu belirtir. Bu özellik, çarpım işlemlerinin logaritmik ifadesini analiz etmek için matematiksel bir kolaylık sağlar ve çarpım işlemlerinin logaritmalarını basitleştirerek toplama dönüştürmeyi mümkün kılar.)

∑ n = s t f ( n ) {\displaystyle \sum \limits _{n=s}^{t}f(n)} (ifadesinin C {\displaystyle C} tabanında üssü, n = s {\displaystyle n=s} 'den n = t {\displaystyle n=t} 'ye kadar olan f ( n ) {\displaystyle f(n)} fonksiyonunun her bir değeri için C {\displaystyle C} 'nin alınmış üslerinin çarpımına eşittir)

∑ k m = 0 ∑ m n = 0 f ( m , n ) = ∑ k m = 0 ∑ k n = m f ( n , m ) , {\displaystyle \sum ^{k}{m=0}\sum ^{m}{n=0}f(m,n)=\sum ^{k}{m=0}\sum ^{k}{n=m}f(n,m),\quad } (ifadesi, Z × Z {\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } üzerinde tanımlanmış herhangi bir f {\textstyle f} fonksiyonu için geçerlidir.)

∑ i = 1 n c = n c {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad } ifadesi, c sabiti i'den bağımsız olduğunda her n için geçerlidir.

∑ i = 0 n i = ∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad } (n doğal sayının toplamı, bu sayılar en basit aritmetik diziyi oluşturur.)^[2]:52

∑ i = 1 n ( 2 i − 1 ) = n 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad } (tek doğal sayıların toplamı)

∑ i = 0 n 2 i = n ( n + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad } (çift doğal sayıların toplamı)

∑ i = 1 n log ⁡ i = log ⁡ n ! {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad } (bir dizi logaritmanın toplamı, bu değerlerin çarpımının logaritması ile eşdeğerdir)

∑ i = 0 n i 2 = ∑ i = 1 n i 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 = n 3 3 + n 2 2 + n 6 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad } (kare sayıların toplamı, kare piramidal sayıyla ilgilidir.) ^[2]:52

∑ i = 0 n i 3 = ( ∑ i = 0 n i ) 2 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 = n 4 4 + n 3 2 + n 2 4 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad } (Nicomachus teoremine göre) ^[2]:52

Daha geniş bir perspektiften, p > 1 {\displaystyle p>1} durumu için Faulhaber'in formülü aşağıdaki gibidir:

∑ k = 1 n k p = n p + 1 p + 1 + 1 2 n p + ∑ k = 2 p ( p k ) B k p − k + 1 , n p − k + 1 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}},n^{p-k+1},}

Bu ifadede, B k {\displaystyle B_{k}} , bir Bernoulli sayısı olarak tanımlanır ve ( p k ) {\displaystyle {\binom {p}{k}}} , bir binom katsayısı olarak bilinir. Bu formül, polinom derecesinin kuvvetleri toplamını hesaplamada kullanılır ve Bernoulli sayıları ile bu toplamlar arasındaki ili

Aşağıdaki toplam ifadelerde, a değerinin 1'den farklı olduğu kabul edilmektedir.

∑ i = 0 n − 1 a i = 1 − a n 1 − a {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}} (bir geometrik dizinin toplamı olarak)

∑ i = 0 n − 1 1 2 i = 2 − 1 2 n − 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}} (a = 1/2 için özel bir durum)

∑ i = 0 n − 1 i a i = a − n a n + ( n − 1 ) a n + 1 ( 1 − a ) 2 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}} (geometrik dizinin a'ya göre türetilmiş ifadesinin a ile çarpılması sonucu)

∑ i = 0 n − 1 ( b + i d ) a i = b ∑ i = 0 n − 1 a i + d ∑ i = 0 n − 1 i a i = b ( 1 − a n 1 − a ) + d ( a − n a n + ( n − 1 ) a n + 1 ( 1 − a ) 2 ) = b ( 1 − a n ) − ( n − 1 ) d a n 1 − a + d a ( 1 − a n − 1 ) ( 1 − a ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}

(bir aritmetik-geometrik dizinin toplamı)

Binom katsayılarını içeren pek çok toplam özdeşliği mevcuttur; Concrete Mathematics adlı eserin bir bölümü bu temel tekniklerin incelenmesine özel olarak ayrılmıştır. Bu özdeşliklerin en temel olanlarından bazıları aşağıda sunulmuştur.

∑ i = 0 n ( n i ) a n − i b i = ( a + b ) n , {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},} ifadesi binom teoremini temsil eder.

∑ i = 0 n ( n i ) = 2 n , {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},} ifadesi, a = b = 1 durumunda, binom katsayılarının toplamının özel bir halidir.

∑ i = 0 n ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i = 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1} , ifadesi p = a = 1 − b durumunda olup, 0 ≤ p ≤ 1 , {\displaystyle 0\leq p\leq 1,} aralığında binom dağılımının toplam değerlerini gösterir.

∑ i = 0 n i ( n i ) = n ( 2 n − 1 ) , {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),} ifadesi, a = b = 1 durumunda, binom teoreminin türetilmiş formunu verir.

∑ i = 0 n ( n i ) i + 1 = 2 n + 1 − 1 n + 1 , {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},} ifadesi, a = b = 1 durumunda, binom teoreminin integral alınmış formunun bir değerini ifade eder.

Aşağıda verilen toplamlarda, n P k {\displaystyle {}_{n}P_{k}} , k-permutasyonlarından n sayısını temsil eder.

∑ i = 0 n i P k ( n i ) = n P k ( 2 n − k ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})} ifadesi, verilen kapsamdaki permutasyon sayılarının bir toplamını ifade eder.

∑ i = 1 n i + k P k + 1 = ∑ i = 1 n ∏ j = 0 k ( i + j ) = ( n + k + 1 ) ! ( n − 1 ) ! ( k + 2 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}} ifadesi, belirli bir kapsamdaki ardışık sayıların çarpımlarının toplamını ve bu toplamın matematiksel ifadesini gösterir.

∑ i = 0 n i ! ⋅ ( n i ) = ∑ i = 0 n n P i = ⌊ n ! ⋅ e ⌋ , n ∈ Z + {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}} ifadesi, faktöriyel ve permutasyon sayılarının toplamlarını hesaplar ve bu toplamların bir tam sayıya yuvarlanmış halini, yani taban fonksiyonunu kullanarak ifade eder.

∑ k = 0 m ( n + k n ) = ( n + m + 1 n + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}

∑ i = k n ( i k ) = ( n + 1 k + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}

∑ i = 0 n i ⋅ i ! = ( n + 1 ) ! − 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}

∑ i = 0 n ( m + i − 1 i ) = ( m + n n ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}

∑ i = 0 n ( n i ) 2 = ( 2 n n ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}

∑ i = 0 n 1 i ! = ⌊ n ! e ⌋ n ! {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}}

∑ i = 1 n 1 i = H n {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad } ifadesi, n'inci harmonik sayıyı temsil eder.

∑ i = 1 n 1 i k = H n k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}\quad } ifadesi, bir genelleştirilmiş harmonik sayıyı ifade eder.

Aşağıdaki ifadeler, çeşitli fonksiyonların büyüme hızlarını gösteren yaklaşık değerlerdir (theta notasyonu kullanılarak):

∑ i = 1 n i c ∈ Θ ( n c + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})} ifadesi, reel c değeri −1'den büyükse geçerlidir.

∑ i = 1 n 1 i ∈ Θ ( log e ⁡ n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)} .

∑ i = 1 n c i ∈ Θ ( c n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})} ifadesi, reel c değeri 1'den büyükse geçerlidir.

∑ i = 1 n log ⁡ ( i ) c ∈ Θ ( n ⋅ log ⁡ ( n ) c ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})} ifadesi, negatif olmayan reel c değeri için geçerlidir.

∑ i = 1 n log ⁡ ( i ) c ⋅ i d ∈ Θ ( n d + 1 ⋅ log ⁡ ( n ) c ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})} ifadesi, negatif olmayan reel c, d değerleri için geçerlidir.

∑ i = 1 n log ⁡ ( i ) c ⋅ i d ⋅ b i ∈ Θ ( n d ⋅ log ⁡ ( n ) c ⋅ b n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})} ifadesi, negatif olmayan reel b > 1, c, d değerleri için geçerlidir.

• 1675 yılında, Gottfried Wilhelm Leibniz, Henry Oldenburg'a gönderdiği bir mektupta, farklı diferansiyellerin toplamını göstermek için ∫ sembolünü önermiş ve bu öneri Latince 'calculus summatorius' (toplam hesabı) teriminden dolayı S şeklini almıştır.^[4][5][6] Bu sembolün integral olarak yeniden adlandırılması, sonradan Johann Bernoulli ile olan yazışmalar sırasında gerçekleşmiştir.^[6]
• 1755 yılında, sigma toplam sembolü, Leonhard Euler'ın Institutiones calculi differentialis adlı çalışmasında ilk kez kaydedilmiştir.^[7][8] Euler sembolü aşağıdaki denklikler için kullanmıştır:

Σ   ( 2 w x + w 2 ) = x 2 {\displaystyle \Sigma \ (2wx+w^{2})=x^{2}}

• 1772 yılında, Σ and Σⁿ sembolünün kullanımı Lagrange tarafından kayıt altına alınmıştır. ^[7][9]
• 1823 yılında, büyük 'S' harfi, seriler için bir toplam sembolü olarak kullanılmış ve bu kullanım geniş çapta yaygınlaşmıştır.^[7]
• 1829 yılında, Σ toplam sembolü, Fourier ve C. G. J. Jacobi tarafından kullanılmış ve bu kullanım belgelenmiştir.^[7] Fourier'in metodolojisi, belirli alt ve üst sınırlar dahilinde değerlendirmeleri içermektedir.^[10][11] Örneğin:

∑ i = 1 ∞ e − i 2 t … {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots } ifadesi, sonsuz bir serinin toplamını ve bu toplamın nasıl ele alınacağını gösterir. Bu tür bir ifade, matematiksel analizde sıkça karşılaşılan karmaşık seri hesaplamalarını temsil eder.

• Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. ISBN 978-0-486-67766-8. 

• Wikimedia Commons'ta toplam ile ilgili çoklu ortam belgeleri bulunur