Gradyan

Kalkülüs
Temel Kalkülüsün temel teoremi Limit Süreklilik Rolle teoremi Ortalama değer teoremi Ters fonksiyon teoremi
Türev Çarpma kuralı Bölme kuralı Zincir kuralı Örtülü türev Taylor teoremi Bağımlı oranlar Türev listesi L'Hopital kuralı Diferansiyel denklemler
İntegral İntegral tablosu Has olmayan integral İntegralle hacim hesabı İntegral Alma Yöntemleri: Kısmi İntegrasyon değişken değiştirme
Çok değişkenli Kısmi türev Çokkatlı integral Çizgi integrali Yüzey integrali Hacim integrali
Vektör hesabı Matris Tensör Jacobi Hesse Gradyan
g t d

Bir skaler alanın yön türevi (gradyan) artımın en çok olduğu yere doğru yönelmiş bir vektör alanını verir ve büyüklüğü değişimin en büyük değerine eşittir.^[1]

Örneklemek gerekirse bir odadaki zamandan bağımsız sıcaklık dağılımı düşünülebilir. Sıcaklık dağılımı skaler bir alandır ve kartezyen koordinatlarda ϕ = ϕ ( x , y , z ) {\displaystyle \phi =\phi (x,y,z)\,} olarak gösterilebilir. Bu dağılımın yöntürevi en çok ısınan yeri işaret edecektir ve yöntürevi büyüklüğü de o yöndeki ısınmanın miktarını verecektir. Başka bir örnek olarak bir yokuş ele alınabilir. Yokuşa onu üstten kesen bir düzlemden bakılırsa ortaya çıkan fonksiyon yokuşun eğim profili H = H ( x , y ) {\displaystyle H=H(x,y)\,} 'i verir (basitlik için yokuşu iki boyutta düşünmek faydalı olacaktır). Bu fonksiyonun yöntürevi yokuşun en dik yerini, yöntürevinin büyüklüğü de bu yerin dikliğini verir.

x genelleştirilmiş koordinatların kapalı gösterimi olmak üzere x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})} bir f(x) fonksiyonunun yöntürevi

∇ f = ( ∂ f ∂ x 1 , … , ∂ f ∂ x n ) {\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}

şeklinde gösterilir. Burada ∇ {\displaystyle \nabla \,} , del işlemcisini temsil etmektedir. Başka bir gösterim ise grad' ftir.

f ( x , y , z ) = x 3 + e 2 y − cos ⁡ ( w z ) {\displaystyle f(x,y,z)=x^{3}+e^{2y}-\cos(wz)\,} olmak üzere f fonksiyonunun gradyanı:

∇ f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ) = ( 3 x 2 , 2 e 2 y , w sin ⁡ ( w z ) ) . {\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{3x^{2}},{2e^{2y}},{w\sin(wz)}\end{pmatrix}}.}

olarak elde edilir.

Herhangi bir f(x) göndermeyi, bir x 0 {\displaystyle x_{0}} noktasında

g ( x ) = f ( x 0 ) + ( ∇ x f ( x 0 ) ) T ( x − x 0 ) {\displaystyle g(x)=f(x_{0})+(\nabla _{x}f(x_{0}))^{T}(x-x_{0})}

yaklaşımı yapılarak doğrusallaştırılabilir. g(x) doğrusu f(x) göndermesinin x 0 {\displaystyle x_{0}} noktasında doğrusallaştırılmış halidir.

• Kısmi türev
• Diverjans
• Rotasyonel
• Del İşlemcisi

• Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. Dover Publications. ss. 157-160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC 43864234. 

Vikisözlük'te gradyan ile ilgili tanım bulabilirsiniz.

• "Gradient". Khan Academy. 11 Haziran 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• Kuptsov, L.P. (2001), "Gradient", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 .
• Eric W. Weisstein, Gradient (MathWorld)