Teste Q

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Em estatística, na análise de delineamentos em blocos aleatorizados em que a variável de resposta pode assumir apenas dois valores possíveis (codificados como 0 e 1), o teste Q de Cochran é um teste estatístico não paramétrico para verificar se k {\displaystyle k} tratamentos têm efeitos idênticos. Recebe este nome em homenagem ao estatístico escocês William Gemmell Cochran.^[1] O teste Q de Cochran não deve ser confundido com o teste C de Cochran, que é um teste para valores atípicos de variância. Em termos menos técnicos, o teste Q exige apenas que haja uma resposta binária (sucesso ou fracasso, 1 ou 0) e que haja dois ou mais grupos pareados (grupos do mesmo tamanho). O teste avalia se a proporção de sucessos é a mesma entre os grupos. É frequentemente usado para avaliar se diferentes observadores do mesmo fenômenos têm resultados consistentes quando comparados entre si, ou seja, estudar a variabilidade entre observadores

O teste Q de Cochran assume que há k {\displaystyle k} tratamentos, sendo k > 2 {\displaystyle k>2} , e que as observações estão dispostas em b {\displaystyle b} blocos, isto é,

	Tratamento 1	Tratamento 2	⋯ {\displaystyle \cdots }	Tratamento k
Bloco 1	X11	X12	⋯ {\displaystyle \cdots }	X1k
Bloco 2	X21	X22	⋯ {\displaystyle \cdots }	X2k
Bloco 3	X31	X32	⋯ {\displaystyle \cdots }	X3k
⋮ {\displaystyle \vdots }	⋮ {\displaystyle \vdots }	⋮ {\displaystyle \vdots }	⋱ {\displaystyle \ddots }	⋮ {\displaystyle \vdots }
Bloco b	Xb1	Xb2	⋯ {\displaystyle \cdots }	Xbk

O resultado do teste Q de Cochran pode ser:^[2]

H 0 {\displaystyle H_{0}} : Os tratamentos são igualmente efetivos;

H a {\displaystyle H_{a}} : Há uma diferença de efetividade entre os tratamentos.

A fórmula do teste Q é:^[2]

T = k ( k − 1 ) ∑ j = 1 k ( X ∙ j − N k ) 2 ∑ i = 1 b X i ∙ ( k − X i ∙ ) {\displaystyle T=k\left(k-1\right){\frac {\sum \limits _{j=1}^{k}\left(X_{\bullet j}-{\frac {N}{k}}\right)^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{b}X_{i\bullet }\left(k-X_{i\bullet }\right)}}}

em que

k {\displaystyle k} é o número de tratamentos;

X ∙ j {\displaystyle X_{\bullet j}} é total da coluna para o j {\displaystyle j} -ésimo tratamento;

b {\displaystyle b} é o número de blocos;

X i ∙ {\displaystyle X_{i\bullet }} é o total da linha para o i {\displaystyle i} -ésimo bloco;

N {\displaystyle N} é o total da tabela.

Para um nível de significância α {\displaystyle \alpha } , a região crítica é^[2]

T > χ 1 − α , k − 1 2 {\displaystyle T>\chi _{1-\alpha ,k-1}^{2}}

em que χ 1 − α , k − 1 2 {\displaystyle \chi _{1-\alpha ,k-1}^{2}} é o ( 1 − α ) {\displaystyle (1-\alpha )} -quantil do qui-quadrado com k − 1 {\displaystyle k-1} graus de liberdade. A hipótese nula é rejeitada se a estatística do teste estiver na região crítica. Se o teste Q de Cochran rejeita a hipótese nula para tratamentos igualmente efetivos, podem ser feitas comparações múltiplas par a par pela aplicação de teste Q em dois tratamentos de interesse.

O teste Q de Cochran é baseado nos seguintes pressupostos:^[3]

1. Uma grande aproximação de amostras; em particular, pressupõe-se que b {\displaystyle b} é "grande";
2. Os blocos foram aleatoriamente selecionados a partir da população de todos os blocos possíveis;
3. Os valores observados dos tratamentos podem ser codificados como respostas binárias (isto é, 0 ou 1) em uma forma que é comum a todos os tratamentos no interior de cada bloco.

• Quando se usa este tipo de delineamento para uma resposta que não é binária, mas ordinal ou contínua, emprega-se o teste de Friedman ou os testes de Durbin.
• O caso em que há exatamente dois tratamentos é equivalente ao teste de McNemar, que é por sua vez equivalente ao teste do sinal bicaudal.

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