Integral singular

Em matemática, as integrais singulares são centrais na análise harmônica e estão intimamente relacionadas com o estudo das equações diferenciais parciais. De modo geral, uma integral singular é um operador integral da forma:

T ( f ) ( x ) = ∫ K ( x , y ) f ( y ) d y , {\displaystyle T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}

cuja função núcleo K : Rⁿ×Rⁿ → R é singular ao longo da diagonal x = y. Especificamente, a singularidade é tal que |K(x, y)| é assintoticamente de tamanho |x − y|⁻ⁿ  como |x − y| → 0. Uma vez que tais integrais não são em geral absolutamente integráveis, uma definição rigorosa deve defini-las como o limite da integral no domíno restrito a  |y − x| > ε quando ε → 0, mas na prática, isso é apenas uma tecnicalidade. Geralmente ainda são necessárias hipóteses para a obtenção de resultados, tais como a sua limitação em L^p(Rⁿ).

O arquétipo do operador integral singular é a transformada de Hilbert H. É dada pela convolução com o kernel K(x) = 1/(πx) para x na reta real. Mais precisamente,

H ( f ) ( x ) = 1 π lim ε → 0 ∫ | x − y | > ε 1 x − y f ( y ) d y . {\displaystyle H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x-y|>\varepsilon }{\frac {1}{x-y}}f(y)\,dy.}

A mais simples e direta extensão de maior dimensão  são as transformadas de Riesz ,que substitui o núcleo K(x) = 1/x , com

K i ( x ) = x i | x | n + 1 {\displaystyle K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}}

onde i = 1, ..., n e {\displaystyle } é o i-ésimo componente de x em Rⁿ. Todos esses operadores são limitados em L^p e satisfazem estimativas fracas do tipo (1, 1).^[1]

Uma integral singular do tipo convolução é um operador T definido por convolução com um núcleo K que é localmente integrável em Rⁿ\{0}, no sentido de que

T ( f ) ( x ) = lim ε → 0 ∫ | y − x | > ε K ( x − y ) f ( y ) d y . {\displaystyle T(f)(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y-x|>\varepsilon }K(x-y)f(y)\,dy.}

(1)

Suponha que o núcleo satisfaz:

1. A condição de tamanho sobre sua transformada de Fourier de K

K ^ ∈ L ∞ ( R n ) {\displaystyle {\hat {K}}\in L^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}

2. A condição de suavidade: para algum C > 0,

sup y ≠ 0 ∫ | x | > 2 | y | | K ( x − y ) − K ( x ) | d x ≤ C . {\displaystyle \sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx\leq C.}

Então, pode-se mostrar que T é limitado em L^p(Rⁿ) e satisfaz  estimativa fraca do tipo (1, 1).

Propriedade 1. É necessário garantir que a convolução (1) com o distribuição temperada p.v. K dada pelo valor principal da integral

p . v . K [ ϕ ] = lim ϵ → 0 + ∫ | x | > ϵ ϕ ( x ) K ( x ) d x {\displaystyle \operatorname {p.v.} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx}

é  multiplicador de Fourier bem definido em L². Nenhuma das propriedades 1 ou 2 é necessariamente fácil de verificar, mas diversas condições suficientes existem. Normalmente em aplicações, também se tem uma condição de cancelamento:

∫ R 1 < | x | < R 2 K ( x ) d x = 0 ,   ∀ R 1 , R 2 > 0 {\displaystyle \int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0}

o que é bastante fácil de verificar. Ele é automático, por exemplo, se K é uma função ímpar. Se, além disso, supõe-se a condição 2 e a seguinte condição de tamanho:

sup R > 0 ∫ R < | x | < 2 R | K ( x ) | d x ≤ C , {\displaystyle \sup _{R>0}\int _{R<|x|<2R}|K(x)|\,dx\leq C,}

então, pode-se mostrar que 1. segue.

A condição de suavidade 2. é também, muitas vezes, de difícil verificação a princípio. A seguinte condição suficiente pode ser usada:

• K ∈ C 1 ( R n ∖ { 0 } ) {\displaystyle K\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\})}
• | ∇ K ( x ) | ≤ C | x | n + 1 {\displaystyle |\nabla K(x)|\leq {\frac {C}{|x|^{n+1}}}}

Observe que estas condições são satisfeitas para a transformada de Hilbert e Riesz transforma, de modo que este resultado é uma extensão dos resultados.^[2]

Esta é uma classe de operadores ainda mais gerais. No entanto, diante destas hipóteses mais fracas, estes operadores nem sempre são limitados em L^p.

Uma função K : Rⁿ×Rⁿ → R é dita ser um núcleo de Calderón–Zygmund  se ela satisfaz as seguintes condições para algumas constantes C > 0 e δ > 0.

( a ) | K ( x , y ) | ≤ C | x − y | n {\displaystyle (a)\qquad |K(x,y)|\leq {\frac {C}{|x-y|^{n}}}}

( b ) | K ( x , y ) − K ( x ′ , y ) | ≤ C | x − x ′ | δ ( | x − y | + | x ′ − y | ) n + δ  quando  | x − x ′ | ≤ 1 2 max ( | x − y | , | x ′ − y | ) {\displaystyle (b)\qquad |K(x,y)-K(x',y)|\leq {\frac {C|x-x'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x'-y|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ quando }}|x-x'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y|,|x'-y|{\bigr )}}

( c ) | K ( x , y ) − K ( x , y ′ ) | ≤ C | y − y ′ | δ ( | x − y | + | x − y ′ | ) n + δ  quando  | y − y ′ | ≤ 1 2 max ( | x − y ′ | , | x − y | ) {\displaystyle (c)\qquad |K(x,y)-K(x,y')|\leq {\frac {C|y-y'|^{\delta }}{{\bigl (}|x-y|+|x-y'|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ quando }}|y-y'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|x-y'|,|x-y|{\bigr )}}

T é dito ser um operador integral singular não-convolucional associado ao núcleo de Calderón–Zygmund K se

∫ g ( x ) T ( f ) ( x ) d x = ∬ g ( x ) K ( x , y ) f ( y ) d y d x , {\displaystyle \int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(x,y)f(y)\,dy\,dx,}

sempre que f e g são suaves e têm suporte disjunto. Tais operadores não precisam ser limitada em L^p

Uma integral singular não-convolucional T associada a um núcleo de Calderón–Zygmund  K é chamado de operador de Calderón–Zygmund  quando ele é limitado em L², isto é, existe um C > 0 tal que

‖ T ( f ) ‖ L 2 ≤ C ‖ f ‖ L 2 , {\displaystyle \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},}

para todas as funções ƒ suaves de suporte compacto.

Pode-se provar que tais operadores são, na verdade, também limitados em todo L^p com 1 < p < ∞.

A teorema T(b) fornece condições suficientes para um operador integral singular ser um operador de Calderón–Zygmund, isto é, condições para que um operador integral singular associado a um núcleo de Calderón–Zygmund seja limitado em L². A fim de enunciar o resultado, é preciso primeiro definir alguns termos.

Um função de teste normalizada é uma função suave φ em Rⁿ  cujo suporte está contido uma esfera de raio 1 e centrada na origem tal que |∂^α φ(x)| ≤ 1, para todo multi-ī índice |α| ≤ n + 2. Denote por τ^x(φ)(y) = φ(y − x) e φ_r(x) = r⁻ⁿφ(x/r) para todo x em Rⁿ e r > 0. Um operador é dito fracamente limitado se existe uma constante C tal que

| ∫ T ( τ x ( φ r ) ) ( y ) τ x ( ψ r ) ( y ) d y | ≤ C r − n {\displaystyle \left|\int T{\bigl (}\tau ^{x}(\varphi _{r}){\bigr )}(y)\tau ^{x}(\psi _{r})(y)\,dy\right|\leq Cr^{-n}}

para todas as funções de teste normalizadas  φ e ψ. Uma função é dita ser acretiva se existe uma constante c > 0 tal que Re(b)(x) ≥ c para todo x em I. Denotar por M_b o operador dado pela multiplicação por uma função de b.

A teorema T(b) afirma que um operador integral singular T associado a um núcleo de Calderón–Zygmund  é limitado em L² se ele satisfaz todas as três condições que se seguem para duas funções acretivas limitadas quaisquer b₁ e b₂:^[3]

(a) é fracamente limitadas;

(b) é função de oscilação média limitada;

(c) é função de oscilação média limitada, onde T^t é a transposta do operador T.

• Calderon, A. P.; Zygmund, A. (1952), «On the existence of certain singular integrals», Acta Mathematica, ISSN 0001-5962, 88 (1): 85–139, MR 0052553, Zbl 0047.10201, doi:10.1007/BF02392130 .
• Calderon, A. P.; Zygmund, A. (1956), «On singular integrals», The Johns Hopkins University Press, American Journal of Mathematics, ISSN 0002-9327, 78 (2): 289–309, JSTOR 2372517, MR 0084633, Zbl 0072.11501, doi:10.2307/2372517 .
• Coifman, Ronald; Meyer, Yves (1997), Wavelets: Calderón-Zygmund and multilinear operators, ISBN 0-521-42001-6, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 48, Cambridge University Press, pp. xx+315, MR 1456993, Zbl 0916.42023 .
• Mikhlin, Solomon G. (1948), «Singular integral equations», UMN, 3 (3(25)): 29–112, MR 27429  (in Russian).
• Mikhlin, Solomon G. (1965), Multidimensional singular integrals and integral equations, International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, 83, Oxford–London–Edinburgh–New York City–Paris–Frankfurt: Pergamon Press, pp. XII+255, MR 0185399, Zbl 0129.07701 .
• Mikhlin, Solomon G.; Prössdorf, Siegfried (1986), Singular Integral Operators, ISBN 0-387-15967-3, Berlin–Heidelberg–New York City: Springer Verlag, MR 0867687, Zbl 0612.47024 , (European edition: ISBN 3-540-15967-3).
• Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, ISBN 0-691-08079-8, Princeton Mathematical Series, 30, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. XIV+287, MR 0290095, Zbl 0207.13501 

• «Singular Integrals: The Roles of Calderón and Zygmund» (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 45