Functor

Na matemática, mais precisamente teoria das categorias, um functor ou funtor^[1] é um mapeamento entre categorias, preservando domínios, contradomínios, identidades e composições, analogamente a como, por exemplo, um homomorfismo de grupos preserva o elemento neutro e a operação do grupo.

Segundo Saunders Mac Lane, o conceito de functor foi, pela primeira vez, reconhecido na topologia algébrica, no estudo de grupos de homologia.^[2]

Dadas categorias C e D, um functor de C até D, escrito F : C → D, consiste

• de uma atribuição, a cada objeto x ∈ C, de um objeto F(x) ∈ D,
• de uma atribuição, a cada morfismo f : x → y, de um morfismo F_{x, y}(f) = F(f) : F(x) → F(y), (equivalentemente, dom(F(f)) = F(dom(f)) e cod(F(f)) = F(cod(f)))

satisfazendo

• F(1_x) = 1_F(x) para cada objeto x ∈ C,
• F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f) para cada dupla de morfismos f : x → y e g : y → z.

Chama-se esse F : C → D mais explicitamente de functor covariante. Há, também, o conceito de functor contravariante^{[nota 1][3]} de C até D, atribuindo, a cada morfismo f : x → y, um morfismo G(f) : F(y) → F(x), satisfazendo G(1_x) = 1_G(x) e G(g ∘ f) = G(f) ∘ G(g); os functores contravariantes de C até D estão em correspondência biunívoca com os functores covariantes C^op → D, em que C^op denota a categoria oposta a C.

Por vezes, em vez de se dizer que F é functor (covariante ou contravariante), diz-se que a atribuição x ↦ F(x) é functorial.^[2][4][5][6]

• Dadas A e B categorias, com objeto b ∈ B, há o functor constante Δ(b) : A → B, com atribuição Δ ( b ) ( x → f y ) = b → 1 b b . {\displaystyle \Delta (b)(x{\xrightarrow {f}}y)=b{\xrightarrow {1_{b}}}b.}
• Se Set denota a categoria dos conjuntos pequenos, há Q functor contravariante de Set a Set, com atribuição Q ( A → f B ) = P ⁡ ( B ) → S ↦ f ← ( S ) P ⁡ ( A ) , {\displaystyle Q(A{\xrightarrow {f}}B)=\operatorname {P} (B){\xrightarrow {S\mapsto f^{\leftarrow }(S)}}\operatorname {P} (A),} em que P(A) é o conjunto de partes de A, e f^←(S) é a pré-imagem de S por f.
• Se K-Vet denota a categoria dos espaços vetoriais pequenos sobre um corpo K, há functor contravariante (_)^* de K-Vet de K-Vet, com correspondência ( U → Λ V ) ∗ = V ∗ → f ↦ f ∘ Λ U ∗ , {\displaystyle (U{\xrightarrow {\Lambda }}V)^{*}=V^{*}{\xrightarrow {f\mapsto f\circ \Lambda }}U^{*},} em que U^* = hom_K(U, K) denota o espaço dual a U.
• A atribuição de cada espaço com base (X, x) ao correspondente grupo fundamental π₁(X, x) é functorial.^[7][4]

Um bifunctor é um functor cujo domínio é um produto de categorias B × C. Dado bifunctor F : B × C → D e objeto c ∈ C, o functor F(–, c) : B → D é definido por: F ( − , c ) ( b → f b ′ ) = F ( ( b , c ) → ( f , 1 c ) ( b ′ , c ) ) . {\displaystyle F(-,c)(b{\xrightarrow {f}}b')=F((b,c){\xrightarrow {(f,1_{c})}}(b',c)).} De forma análoga, há o functor F(b, –) : C → D.^[8]

Para cada U universo de Grothendieck, há a categoria U - C a t {\displaystyle U{\text{-}}{\mathsf {Cat}}} (ou, brevemente, C a t {\displaystyle {\mathsf {Cat}}} ) cujos objetos são as categorias que pertencem a U e cujos morfismos são os functores entre essas categorias.^[9][4]

Um conceito similar é a categoria de functores D^C, cujos objetos são os functores C → D, e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.^[10]

Seja C {\displaystyle C} uma categoria. Denotando-se por Set {\displaystyle {\textsf {Set}}} uma categoria de conjuntos suficientemente grande, há functor^[11] h o m : C o p × C → Set {\displaystyle \mathrm {hom} :C^{\mathrm {op} }\times C\rightarrow {\textsf {Set}}} em que h o m ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {hom} (X,Y)} é o conjunto de morfismos X → Y {\displaystyle X\rightarrow Y} , e, dados f : X ′ → X {\displaystyle f:X'\rightarrow X} , g : Y → Y ′ {\displaystyle g:Y\rightarrow Y'} morfismos em C {\displaystyle C} , h o m ( f , g ) = g ∘ - ∘ f = ( k ↦ g ∘ k ∘ f ) : h o m ( X , Y ) → h o m ( X ′ , Y ′ ) . {\displaystyle \mathrm {hom} (f,g)=g\circ {\text{-}}\circ f=(k\mapsto g\circ k\circ f):\mathrm {hom} (X,Y)\rightarrow \mathrm {hom} (X',Y').}

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

• ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.] 
• ALUFFI, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. Col: Graduate Studies in Mathematics 1 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4781-7 
• MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8 
• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]